2024年通用版高考数学二轮复习专题4.5 恒成立问题和存在性问题(学生版)

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题型一最值法
例1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的及任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数.
(1)若直线是函数图像的一条切线，求实数的值；
(2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练习1．（2023·全国·高三专题练习）函数，若存在使得，则实数的取值范围是______．
练习2．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数，若存在实数x使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
练习4．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
练习5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）若不等式在有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型二分离参数法
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于，均有，则实数b的取值范围为_____
例4．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知，.
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练习6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
练习7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知.
(1)求函数的最小值；
(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切，都有成立．
练习8．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
练习9．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若不等式对恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
练习10．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．
题型三分类讨论法
例5．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数，.
(1)若恒成立，求实数的取值范围.
(2)证明：当时，.
6．（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________.
练习12．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.
练习13．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若对于任意，若函数恒成立，求实数k的取值范围．
练习14．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知在上恒成立，则实数a的取值范围________．
练习15．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________.
题型四指对数同构
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______．
练习16．（2023春·湖北·高二校联考期中）若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
练习17．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）若不等式对任意成立，则实数的取值范围为__________．
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则的取值范围为______.
练习19．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
练习20．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数.
(1)试求函数的极值；
(2)若存在实数使得成立，求实数的取值范围.
题型五双变量问题
例9．（2023春·贵州·高三校联考期中）（多选）已知，且恒成立，则k的值可以是（ ）
A．－2B．0C．2D．4
例10．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(2)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
练习21．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若（其中），证明：；
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数设.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:;对,使得总成立.
练习23．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
练习24．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知函数.
(1)当时，求的图像在点处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的取值集合.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
题型一
最值法
题型二
分离参数法
题型三
分类讨论法
题型四
指对数同构
题型五
双变量问题