2024届广东省深圳市高三年级二模数学试题

这是一份2024届广东省深圳市高三年级二模数学试题，共12页。
数学
2024.4
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n为正整数，且，则
A．B．C．D．
2．已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
3．对于任意集合M，N，下列关系正确的是
A．B．
C．D．
4．已知，且，则函数的图象一定经过
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
5．已知，其中为虚数单位，则
A．B．C．D．
6、已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有
A．72种B．96种C．144种D．288种
7．P是椭圆C：（）上一点，、是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为原点，，且．则C的离心率为
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为
A．B．1C．2D．e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知m，n是异面直线，，，那么
A．当，或时，
B．当，且时，
C．当时，，或
D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行
10，已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则
A．B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数，存在且唯一D．是周期函数，且最小正周期为
11．设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ．
13．已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14．已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 ；的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．
（1）证明：平面ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）
已知函数，是的导函数，且．
（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：．
17．（15分）
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明：．
18．（17分）
设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
（1）求C的方程；
（2）若直线，且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于．
19．（17分）
无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
（1）写出这个数列的前7项；
（2）如果且，求m，n的值；
（3）记，，求一个正整数n，满足．
2024年深圳市高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．14．；（注：第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
证明：
（1）取BC的中点M，连结MA、．
因为，，所以，．
由于AM，平面，且，
因此平面．
因为平面，所以．
又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，
且平面，所以平面ABC．
因为，所以平面ABC．
解：
（2）（法一）因为，且，所以．
以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（法二）将直三棱柱补成长方体．
连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ．
因为平面，且平面，
所以．
又因为，由于BD，平面，且，所以平面．
由于平面，所以．
因为CQ，平面CPQ，且，
所以平面CPQ．
因为平面CPQ，
所以．
则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得．
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为．
16．（15分）
解：
（1）因为，所以，
则．
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）证：设函数，，
则．
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，所以，当时，．
17．（15分）
解：
（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
，
计算得．
所以．
X的可能取值为0，1，2，3，，
，
，，
，．
所以，X的分布列为：
证明：
（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以．
即．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
即得，
所以．
即．
又因为，，
所以．
因为，，
所以．
即得证．
18．（17分）
解：
（1）设点，，
由题可知，当时，显然有；
当时，直线OM的方程为，点．
联立直线AB与C的方程得，，
所以，，
因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，
所以．
即，，
化简得．
将代入上式得，
则，
所以曲线C的方程为．
（2）（法一）设直线l＇：，联立C的方程，得．
由，得，点，
设AB的中点为E，
因为，，则点．
因为，
所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，
所以△AMN面积为△ABM面积的．
记△AMN的面积为S，点到直线AB：的距离，
所以，
当时，等号成立．
所以命题得证．
（法二）设直线l＇：，联立C的方程，得．
由，得，点．
所以直线MN与x轴垂直．
分记△AMN的面积为S，
所以
．
当时，等号成立．
所以命题得证．
19．（17分）
解：
（1），，，，，，．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．
所以，n为正奇数．
又，所以．
设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，
即．
注：只要给出，并满足条件m，，中的其一组m，k的值，就认为是正确的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
B
C
C
B
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
ABD
X
0
1
2
3
P