2024南阳六校高一下学期期中联考试题数学含解析

这是一份2024南阳六校高一下学期期中联考试题数学含解析，共12页。试卷主要包含了已知向量，，且，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知非零向量，，若，则（ ）
A．8B．C．6D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，为边AB的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．已知向量满足，则在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，为常数，满足条件的唯一确定，则的值可能为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知向量，，且，则（ ）
A．与同向的单位向量为B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量是
11．已知函数（注：），则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递减
C．的图象关于点中心对称D．图象的一条对称轴为直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为__________．
13．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则__________．
14．如图，在面积为3的中，E，F分别为边AB，AC的中点，点在直线EF上，则的最小值为__________．．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知向量满足，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在中，若，，求．
16．（15分）
已知函数的图象关于直线对称．
（Ⅰ）求的解析式及零点；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．
17．（15分）
已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
（Ⅲ）当时，求的值域．
18．（17分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（Ⅰ）求面积的最大值；
（Ⅱ）若为边BC的中点，求线段AD的长度．
19．（17分）
如图，记，，，已知，．
（Ⅰ）若点在线段OA上，且，求的值；
（Ⅱ）若向量与方向相同，且，求；
（Ⅲ）若，求的最大值．
2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 B
命题意图 本题考查由三角函数的定义求参数．
解析 由题知，解得．
2．答案 C
命题意图 本题考查由向量平行的坐标表示求出，再求向量的模．
解析 ，，（舍去），或，，即．
3．答案 A
命题意图 本题考查正切函数的诱导公式．
解析 ．
4．答案 D
命题意图 本题考查平面向量基本定理在平面几何中的应用．
解析 为AB的中点，，．
5．答案 C
命题意图 本题考查利用正弦定理解决高度测量问题．
解析 在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．
6．答案 B
命题意图 本题考查投影数量的定义及平面向量数量积的运算．
解析 ，，在方向上的投影数量为．
7．答案 D
命题意图 本题考查利用余弦函数图像求解析式，利用余弦函数的对称性求参数．
解析 由图可知，则，又，，又，根据五点法作图原理，得，解得，从而，的图象关于轴对称，为偶函数，，得．
8．答案 C
命题意图 本题考查余弦定理．
解析 因为，，所以是等边三角形，所以．因为，所以，所以．设，则，在中，由余弦定理可得，所以．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 ABD
命题意图 本题考查判定三角形解的个数问题．
解析 若满足条件的唯一确定，则或，故A，B，D正确．
10．答案 ACD
命题意图 本题考查向量的垂直、夹角、模、投影向量及单位向量等概念．
解析 ，，，解得或（舍去）．
对于A，，与同向的单位向量为，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确．
11．答案 BC
命题意图 本题考查诱导公式，求正（余）弦型函数的最小正周期、单调性、对称中心及对称轴．
解析 对于A，，不是的周期，故A错误；
对于B，当时，，，又时，，在上单调递减，故B正确；
对于，设图象上任意一点，则关于点的对称点为，，的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，设图象上任意一点，则关于直线的对称点为，，的图像不关于直线对称，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案
命题意图 本题考查扇形的弧长、面积的有关计算．
解析 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l．，即，，．
13．答案
命题意图 本题考查正（余）弦定理的应用．
解析 ，由正弦定理变形得，，又由余弦定理得，．
14．答案 6
命题意图 本题考查平面向量在平面几何中的应用．
解析 如图，取BC边的中点，连接．，，当且仅当时取等号．设点到BC边的距离为，则，当时取等号，的最小值为6，当且仅当且时取得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图 本题考查平面向量及其应用．
解析 （Ⅰ），
，
，
又，．
（Ⅱ）在中，，
，
．
16．命题意图 本题考查三角函数的对称性、单调性以及图象变换．
解析 （Ⅰ）的图象关于直线对称，
，
得，又，，．
令，得，
的零点为．
（Ⅱ），
令，，
可得，，
故的单调递减区间为．
17．命题意图 本题考查求函数解析式、用“五点法”画图、求三角函数的值域．
解析 （Ⅰ）由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，可知最小正周期，．
由一个最高点为，得，
由，即，
可得，得，
又，，
．
（Ⅱ）完善表格如下：
在上的大致图象如图：
（Ⅲ），∴，故的值域为．
18．命题意图 本题考查正（余）弦定理、三角形面积公式以及不等式的应用．
解析 （Ⅰ），
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
又，故．
，，当且仅当时取等号．
，
故面积的最大值为．
（Ⅱ）是边BC的中点，，
．
，，，
又由（Ⅰ）知，，
，，
即线段AD的长度为．
19．命题意图 本题考查向量的基本运算．
解析 （Ⅰ）由题可知，，
又，
．
（Ⅱ）设，则，
，
解得或（舍去）．
，，
，，
，
．
（Ⅲ），，
，
．
四点均在以OB为直径的圆上，
的最大值为该圆的直径，为2，
即的最大值为2．
x
0
0
0
x
0
1
2
0
0
1