2024年河北省保定市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则“□”表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算．根据有理数的加减法法则计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
2. 如图，琪琪家位于点O北偏西70°方向，则点A，B，C，D中可能表示琪琪家的是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义求解即可．
【详解】解：观察发现，点A位于点O北偏西方向．
故选A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断即可．
【详解】解：A．没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 某地2024年3月份的旅游收入可以写成（是整数）元，把这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故选：C．
5. 如图，轴，点，，则点N的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的平移，考查学生的几何直观，熟练掌握知识点是解题的关键．
将点M向下平移3个单位即可求解．
【详解】解：由题意得，将点M向下平移3个单位，纵坐标为，
∴，
故选：B．
6. 如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解．
【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是点．
故选：D．
7. 关于x的不等式组的最大整数解是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为，
故选；A．
8. 如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据，得出，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，即，
解得．
故选：C．
9. 某次测试结束，嘉琪随机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的扇形统计图，则该班学生的平均成绩为（ ）
A. 9分B. 分C. 分D. 8分
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，直接利用加权平均数的含义计算即可．
【详解】解：平均成绩为：
（分）．
故选 A．
10. 下列各数中，可以表示为（n为整数）的是（ ）
A. 86B. 230C. 462D. 480
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式分解因式，考查学生的运算能力及推理能力．
对因式分解，发现能被8整除，即可求解．
【详解】由题意，得 ，故该数一定能被8整除，符合题意的只有480，
故选：D．
11. 如图，对角线交于点O．分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于E，F两点；作直线，交于点G，连接．若，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查基本作图—垂直平分线的作图、平行四边形的性质、中位线定理，考查学生的几何直观．
由作图知是垂直平分线，则G是的中点，可证是中位线，即可求解．
【详解】解：由作图得，是的垂直平分线，则G是的中点，
∵的对角线交于点O，
∴O是的中点，
∴，
故选：A．
12. 现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（ ）
A. 甲种纸片剩余张B. 丙种纸片剩余张
C. 乙种纸片缺少张D. 甲种和乙种纸片都不够用
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握整式的乘法运算法则．根据长方形的面积公式可得，结合图形即可求解．
【详解】解：，
要拼接一个长、宽分别为和的长方形，需要甲种纸片张，乙种纸片张，丙种纸片张，
乙种纸片缺少张．
故选：C．
13. 如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握正多边形的性质和圆周角定理．连接，，，根据正多边形的性质可得，，进而得到，最后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
则，°，
，
则．
故选:B．

14. 如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点，，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线间的距离、三角形的中位线定理，解题的关键是掌握平行线间的距离、三角形的中位线定理．连接，则的面积是定值，由，分别是，的中点，得到，根据平行线间的距离处处相等可得到的底和底边上的高都是定值，即可求解．
【详解】如图，连接，则的面积是定值．
，分别是，的中点，
，
的底和底边上的高都是定值，
四边形的面积是定值，
与的函数图象是平行于轴的线段．
故选：B．
15. 若分式与的值相等，则m的值不可能是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解分式方程及分式有意义的条件，考查学生的运算能力、推理能力．
根据题意得，解得，再根据分式有意义的条件，得出，即，求解即可．
【详解】解：由题得：，
解得．
又∵，
∴，则．
故选：C．
16. 题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 只有乙答的对
C. 只有丙答的对D. 乙、丙合在一起才完整
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或．
【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况．
∵，，
∴点A到边的距离．
∵，
∴，
∴，，
∴或．
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题3分，18小题每空2分，19小题每空1分）
17. 如图，已知两块正方形草地的面积分别为，，则直角三角形的面积______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的运算，根据题意求出直角三角形的两直角边，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：两块正方形草地的面积分别为，，
直角三角形的两直角边分别为、，
，
故答案为：．
18. 如图，点，均为格点，反比例函数的图象为．

（1）若经过点，则______；
（2）若与线段有交点（包括端点），则满足条件的整数的个数是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．（1）由图可知，将代入反比例函数，即可求解；（2）由（1）知当经过点时，，再求出当经过点时的值，进而求出的范围，即可求解．
【详解】（1）由图可知，
若经过点，
则；
（2）由图可知
若经过点，
则，
与线段有公共点，
，
故整数的个数是，
故 答 案 为：；．
19. 如图，，（为锐角），，以为斜边，在四边形内部作，．
（1）的面积为______；
（2）当平分时，______（用含的式子表示）；
（3）连接，则长的最小值为______．
【答案】 ①. 30 ②. ③.
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、三角形的面积、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理等，考查学生的运算能力、推理能力和几何直观．
（1）过点B作于点F，求出高即可；
（2）通过三角形内角和定理及等腰三角形性质得到：，再证明，由平行线性质即可求解；
（3）取中点为点O，连接，过点C作于点H，由得，当三点共线时，等号成立，对，，即可求解．
【详解】（1）如图，过点B作于点F，
则，
所以
故答案为：30．
（2）延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）取中点点O，连接，过点C作于点H，
∵，为中点，
∴，
由得，当三点共线时，等号成立，
同（1）可得，则，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为，．把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上，并在胶片上描出线段（点A，B分别对应点，）．左右平移该胶片，平移后的点表示的数为a，点表示的数为b．
（1）计算：；
（2）若胶片向右平移m个单位长度，求的值（用含m的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可以理解为胶片向右平移1个单位长度，即可求解；
（2）根据、向右平移m个单位长度，得到、的值，代入即可求解；
本题考查了，数轴上的动点，解题的关键是：表示出平移后的数．
【小问1详解】
解：，
故答案为：，
小问2详解】
解：根据题意得：，
故答案为：．
21. 我国古代的“九宫格”是由的方格构成，每个方格内均有不同的数字，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，设这个和为，下图给出了一个“九宫格”的部分数字．
计算：求的值；
探究：设数字左面方格的数为，求的值；
发现：直接写出的值．
【答案】；；
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，理解题意．由可求出；根据可求出；求出右面方格的数即可求出．
【详解】解：计算：由题意得：，
解得：；
探究：由题意得：，
解得：；
发现：设数字右面方格的数为，
则，
解得：，
．
22. 先在纸上写第一组数据：，，．如图，现有四张规格、质地完全相同的卡片，正面分别写有数字，，，，背面相同，将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取若干张，把抽到卡片上的数字与第一组数据合在一起，得到第二组数据．将第二组数据与第一组数据进行比较．

（1）若随机抽取一张，求中位数不变的概率；
（2）若随机同时抽取两张，请用画树状图法或列表法，求众数不变的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查数据的中位数和众数、用列表法或画树状图法求事件的概率，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据第一组数据的中位数是，若随机抽取一张，中位数不变，则抽取卡片上的数字是，即 可 求 解；
（2）若随机同时抽取两张，众数不变，则抽取卡片上的数字有，列表得出所有等可能的情况数和有数字的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：第一组数据的中位数是．
若随机抽取一张，中位数不变，则抽取卡片上的数字是，
则所求概率为；
【小问2详解】
第一组数据的众数是．
若随机同时抽取两张，众数不变，则抽取卡片上的数字有．
列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，有数字的结果有种，
所以所求概率为．
23. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求与线段的长度，并比较二者的大小．
【答案】（1），理由见解析
（2），，的长度比的长度长
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接，，由是的切线可得，根据点是的中点和圆周角定理，推出，进而得到，根据平行线的性质即可求解；
（2）由可得，根据弧长公式求出，由，可得，得到，根据勾股定理可求出，最后比较即可．
【小问1详解】
解：．
理由：如图，连接，，
是的切线，
，即．
点是的中点，
，
，
，即；
【小问2详解】
，，
则，，
，
，
，，
．
，
，
，
的长度比的长度长．
24. 嘉嘉从图书馆回家，途中他经过一家商店买文具，然后又从商店回到家中．如图表示的是嘉嘉从图书馆出发后所用的时间与嘉嘉离家的距离之间的对应关系．已知图书馆、商店、嘉嘉家在同一条直线上．根据图中相关信息，解答下列问题：
（1）嘉嘉从图书馆到商店的平均速度为______．
（2）若嘉嘉从商店离开后用了正好到家．
①求这个过程中与的函数解析式；（不必写范围）
②求嘉嘉从商店离开时与家的距离．
（3）同在图书馆的哥哥在嘉嘉离开后直接回家，哥哥离家的距离与的关系满足，若哥哥路过商店时，嘉嘉正在商店里面选文具，请直接写出符合条件的的一个整数值．
【答案】（1）
（2）①与的函数解析式为；②嘉嘉从商店离开时与家的距离为
（3）的整数值为（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质，数形结合．
（1）根据“速度路程时间”，即可求解；
（2）①设这个过程中与的函数解析式为，由题意可得它的图象经过点，，利用的待定系数法求解即可；②求出时的函数值即可；
（3）由题意得，直线过点，再结合，，求出的范围，即可求解．
【小问1详解】
解：嘉嘉从图书馆到商店的平均速度为，
故答案为：；
【小问2详解】
① 设这个过程中与的函数解析式为，
由题意，得它的图象经过点，，
则，
解得：，
与的函数解析式为；
② 当时，，
嘉嘉从商店离开时与家的距离为；
【小问3详解】
由题意得，直线过点，
若再过，则，
解得：；
若再过，则，
，
，
的整数值为（答案不唯一）．
25. 如图，直线l：与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A．
（2）若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作轴，交l于点E．
①当时，求的长；
②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围．
（3）若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值．
【答案】（1），抛物线L经过点A
（2）①，②
（3）
【解析】
【分析】（1）先求点，用待定系数法求解析式，再将点A坐标代入解析式判断即可；
（2）①先求点，根据对称性求出，再求出即可；
②设，表示出，
根据对称轴及开口方向求取值范围；
（3）如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F，发现是等腰直角三角形是关键，则，则，即可求出最值．
【小问1详解】
解：对于，时，，则点,
∴代入抛物线得： ，
解得：
∴抛物线L的解析式为，
把代入，得，则，
把代入，得，
∴抛物线L经过点A．
【小问2详解】
解：① 当时， ，
∴，
由知，抛物线L的对称轴为直线，
∴ ，
将代入得：，
∴，
∴，
② 设，由点D与点P关于对称轴对称
得，
∵点E在直线上，
∴，即，
∴，
又，
∴若的长随m的增大而增大，m的取值范围是．
【小问3详解】
解：如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F．
在中，，则，
可知中，，
于是，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
则，
∴的最大值为（此时符合题意）．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等，考查运算能力、推理能力、几何直观．
26. 如图，四边形中，，，，，．点从点出发沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为．
（1）______°．
（2）若点在上（除外）．
①求证：；
②当点落在上时，求的值．
（3）作的中线，若与线段有交点，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理逆定理可得到，即可得；
（2）①根据题意可得，，进而得到，可证明，根据全等三角形的性质即可证明；②由，，可得，推出，求出，根据即可求解；
（3）分为：点在上时，点在上时，两种情况讨论．
【小问1详解】
解：，，，
，
，，
，
，即，
故答案为：；
【小问2详解】
① 证明：由题意，得，，
，
即，
又，
在和中，
，
，
；
②，，
，
若点在上，则，
，
而，，，
，
，
，
即；
【小问3详解】
如图1，过点作于点，则，．
而，
点在上时，，，
，
又，
，
有，
，
则，
此时，；
如图2，过点作于点，过点作于点．
点在上时，，
根据题意可得：，，
，即，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，即，
，，
，
，
，
，
，
解得:，
此时，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．