陕西省西安市第一中学校2024届高三阶段性测试（八）理科数学试题及参考答案

这是一份陕西省西安市第一中学校2024届高三阶段性测试（八）理科数学试题及参考答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温（单位：），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A．10B．12C．13D．14
4．已知非零向量满足，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（ ）
A．42种B．210种C．300种D．480种
8．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A．1B．C．D．
10．已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A．B．C．D．
11．已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设等差数列的前项和为，则 .
14．设实数满足约束条件，则的最小值为 .
15．已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 .
16．设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为 .（填写所有符合题意的条件的序号）
①；
②或；
③；
④.
三、解答题
17．设等比数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
18．2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男､女生各100人，发现选择《红楼梦》的有90人，其中女生占.
(1)补充完整下述列联表，并判断能否有的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关；
(2)已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
19．如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.
(1)求证：平面平面；
(2)若为等边三角形，求平面和平面的交线与平面所成角的正弦值.
20．已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
21．已知函数.
(1)求曲线与的公切线的条数；
(2)若，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程；
(2)设直线与圆的两个交点分别为，求的最大值.
23．已知，函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若的最小值为2，证明：.
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
男生
女生
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】根据复数四则运算法则化简复数，即可得到虚部.
【详解】，所以虚部为1.
故选：B.
2．D
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】根据最大温度与最小温度的差即可求.
【详解】这8天的气温的最大值为21，最小值为8，所以极差为13，
故选：C
4．B
【分析】根据向量数量积的运算可得，即可根据不等式得，进而可判断必要性，举反例即可求解不充分性.
【详解】,
由于，所以，
故能得到，
但不一定能得到，比如，满足，但无法得到，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5．A
【分析】根据流程图模拟执行程序即得.
【详解】，
输入，进入循环：
，进入循环：
，进入循环；
，进入循环；
，进入循环；
，结束循环，
所以输出的.
故选：A.
6．A
【分析】根据二倍角公式可得，即可由求解.
【详解】由可得，
解得，或（舍去）
故，故，
故选：A
7．C
【分析】根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
【详解】从5个人中任选一个人连续参加三天的活动，由5种选择，
若剩下的4个人中有2人参加了此项活动，则有一个人参加了其中两条的活动，此时有种方法，
若剩下的4个人中有3人参加了此项活动，则这三个人每人参加其中一天的活动，此时有种方法，
因此一共有种，
故选：C
8．A
【分析】根据即可求解最小值时，即可求解，利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角，由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故当时，此时最小，线段的长度最小值，
由于线段的最小值为，故此时，为中点，故，
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角，
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
9．D
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，不妨设且，求得，得出直线的方程，求得的坐标，即可求解.
【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即，
又由椭圆的上顶点的坐标为，可得，
因为，可得，所以椭圆的方程为，
又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且，
将点代入椭圆的方程，可得，可得，即，
因为点为椭圆的右顶点，可得，所以，
则直线的方程为，令，可得，即，
所以.
故选：D.
10．B
【分析】根据函数相等得到，再化简得出的值和的解析式，最后求出的单调增区间即可.
【详解】由题意可知，，所以，即，
又因为，所以，
所以，解得，即.
令，
解得，
所以的单调递增区间为
所以在上单调递增.
故选：B.
11．C
【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】过分别作，
则是梯形的中位线，故,
由于,
所以,
故,
,
当且仅当时取等号，
故，故的夹角最大值为，
故选：C
12．D
【分析】根据体积公式可得，即可根据不等式求解的最值，即可得到，,根据勾股定理即可求解球半径.
【详解】设圆锥的底面圆半径以及圆锥的高分别为，
故，所以，
由于，
当且仅当，即时等号成立，
故此时，,
设为球O的半径，则,解得,
故球的表面积为
故选：D

13．
【分析】根据题意结合等差数列的通项与前项和公式列出方程组求解即可.
【详解】设公差为，
由，
得，解得.
故答案为：.
14．
【分析】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，然后平移直线，找到当直线在纵轴上的截距最大时所经过的点，把该点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组的表示的平面区域，如下图所示：
平移直线，当直线经过点：时，直线在纵轴上的截距最大，
此时最小，解得点的坐标为，所以的最小值为，
故答案为：.
15．
【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为.
【详解】由于直线与平行，且均与相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即，
又在上，所以为切点，
故过且与垂直的直线方程为，
联立，
所以与相切于点，
故圆心为与的中点，即圆心为，
故圆的方程为，
故答案为：
16．②③④
【分析】根据，分别根据所给条件，作出函数图象，将有5个实数根，转化或有5个交点，即可结合图象求解为.
【详解】由可得或，而，
当时，令，所以，
此时，如图，则，由图象知有4个不同的交点，
故只能有一个交点，显然不符合要求，故不满足题意，①舍去，

当由图象知有3个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有2个交点，故或，故②可能，

若由图象知有2个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故③可能，

当时，作出图象如下：
令，
此时，由图象可知有2个不同的交点，
要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故④可能，
故答案为：②③④

【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，，即可求解公比得解，
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
又，故，
因此公比，
故
（2），
则,
,
两式相减可得，
，
，
.
18．(1)有的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关；
(2)见解析
【分析】（1）完成列联表，求出，即可求解
（2）依题意．根据二项分布的概率公式求解概率，由此能求出的分布列和期望．
【详解】（1）男､女生各100人，选择《红楼梦》的有90人，其中女生有.
补全二联表：
所以，
故有的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关；
（2）依题意．
，
，
，
．
的分布列为：
．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据和可得线线平行，即可得线面平行，进而由面面平行的判定求解，
（2）根据为等边三角形可得,进而,,为中点，即可建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角求解即可.
【详解】（1）证明：由于垂直下底面圆,
故,
平面，平面，所以平面
又,所以，
平面，平面，所以平面
平面,所以平面平面
（2）由题意可得四边形为等腰梯形，且，故，,
由于为等边三角形，，,
又，在圆上，所以,,
故为中点，
过作交圆于点，又 ，故，
则为平面和平面的交线,
建立如图所示的空间直角坐标系系，
,
则,
设平面的法向量为，则，
取，则，
，
所以，
故与平面所成角的正弦值为
20．(1)过定点.
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据题意设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等式，再通过斜率之间的关系即可得出，即可得出定点坐标.
（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于的等式，从而得到定直线方程.
【详解】（1）由题意可知，设直线的方程为.
由消去，可得，
则，，即，
.
因为
，
所以，
故直线的方程为，恒过点.
（2）由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
所以，故点在定直线上.

21．(1)2条
(2)
【分析】（1）设切点，求导，分别求解的切线方程，根据公切线可得，即可求解或，从而得解，
（2）将问题转化为对于恒成立，根据可得，进而构造函数证明，即可先求解，构造函数，求导，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
,故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于 ，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
22．(1)
(2)4
【分析】（1）消去参数可得普通方程，再将代入方程即可求解；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，再由的几何含义表达出，代入化简计算即可求出最大值.
【详解】（1）消去参数，可得圆的普通方程为，
即.
将代入可得圆的极坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程可得，
所以.
易知直线过定点，设对应的参数分别为.
如图，可知，所以，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4.
23．(1)
(2)证据见解析
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，再解不等式；
（2）先根据绝对值的三角不等式求出函数的最小值，即可得出的关系，再根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上所述，不等式的解集为；
（2），
当且仅当时取等号，
又因为的最小值为2，所以，
则，
故
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
110
200
0
1
2
3