内蒙古通辽市2024届高三下学期4月统考文科数学试卷

这是一份内蒙古通辽市2024届高三下学期4月统考文科数学试卷，共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，设，满足约束条件则的最大值为，在中，，，，，则等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．设，满足约束条件则的最大值为（ ）
A．11B．7C．D．
5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．3B．C．7D．
7．在中，，，，，则（ ）
A．B．4C．D．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，若上恰有4个不同的点，使得为直角三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知变量与具有线性相关关系，在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，，，，，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
10．已知函数在上的图象大致如图所示，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
11．已知递增数列的前项和为，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（ ）
A．0B．50C．2499D．2509
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为______．
14．在等差数列中，，则的前19项和______．
15．已知，是方程的两个根，则______．
16．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）
为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．整理得到如下频率分布直方图．
（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在[30，40），[80，90）内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，是的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）
已知函数．
（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．
21．（12分）
设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6．
（1）求抛物线的方程．
（2）设是坐标原点，点，，是抛物线上异于点的两点，直线，与轴分别相交于，两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若和恰有一个公共点，求．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）对于任意的，都有，求的取值范围．
高三数学考试参考答案（文科）
1．D 因为，，所以．
2．A ，故在复平面内对应的点位于第一象限．
3．C 因为的一条渐近线方程为，所以，解得．
4．A 由约束条件作出可行域（图略）可知，当直线经过点时，取得最大值11．
5．B 若，则与的位置关系不确定，A不正确．若，则，B正确．若，则与的位置关系不确定，C不正确．若，则与的位置关系不确定，D不正确．
6．C 由，得，当时，．因为曲线在处的切线与直线垂直，所以，解得．
7．A 因为，所以，则．
8．D 设的上顶点为，因为上恰有4个不同的点，使得为直角三角形，所以，则，所以，即，故的离心率的取值范围为．
9．C 设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，剔除两对数据后的，的平均数分别为，．因为，所以，则．因为两对数据为（6，28）和（0，28），所以，所以，所以，解得．
10．B 由图可知，，则，，，解得，，故，则，所以，故的最小正周期为．
11．C 当时，，则．当时，由，得，则，即．因为，所以是首项为1，公比为的等比数列．又单调递增，所以，解得．
12．C 因为的图象关于点对称，所以，则，即，则的图象关于点对称．又的图象关于直线对称，所以是以4为周期的函数，即．因为，，，，所以．
13． 由，得，故事件“”发生的概率为．
14．76 设的公差为，则，即．故．
15． 因为，是方程的两个根，所以，，则．
16． 设圆锥的底面半径为，高为，则，所以该圆锥的体积，．当时，，当时，，故当时，取得最大值，且最大值为．
17．解：（1）因为，所以．
又，所以，即．
因为，所以．
（2）由（1）可知，．
因为，，所以，
则的面积．
18．解：（1）由图可知，，解得．
该村村民成绩的平均数约为．
（2）从成绩在[30，40），[80，90）内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在内的村民有人，记为，，则成绩在内的村民有4人，记为，，，．
从中任选2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
其中成绩不在同一组的情况有，，，，，，，，共8种，故这2人成绩不在同一组的概率为．
19．（1）证明：连接．因为底面为菱形，，所以是正三角形．
又为的中点，所以，则．
因为平面平面，平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，则．
因为，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）解：因为，，所以，，则．，由（1）可得，所以．设点到平面的距离为，则．
由，得，解得，
故点到平面的距离为．
20．解：（1）由，得．
因为在定义域内单调递增，所以，即在上恒成立．
由，得，故的取值范围为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
，当时，，当时，，且当时，，所以当时，的图象与直线恰有两个交点，
即当恰有两个零点时，的取值范围为．
21．解：（1）点的坐标为，
点到圆上一点的距离的最大值为，解得，
则抛物线的方程为．
（2）直线经过定点，理由如下：
设直线的方程为，，．
联立方程组整理得，
则，，．
直线的方程为，令，得，同理可得．
因为是线段的中点，所以，整理得，即，则，所以．
若，则直线经过点，不符合题意．
若，则直线的方程为，经过定点．
22．解：（1）消去参数，可得的直角坐标方程为．由可得的直角坐标方程为，即．
（2）由（1）可知，是以为圆心，为半径的圆．
因为和恰有一个公共点，所以，解得．
又为的倾斜角，所以．
23．解：（1）因为，所以．
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，不等式无解．
当时，原不等式转化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
（2）因为，所以等价于，
即，
则整理得则，故的取值范围为．