海南省海南华侨中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份海南省海南华侨中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.2
2．已知复数,其中i虚数单位,则( )
A. B. C. D.
3．设平面向量,,且,则( )
A.1B.14C.D.
4．过点作圆的两条切线,设切点分别为A,B,则( )
A.B.C.D.
5．已知定义在R上的偶函数在上单调递减,则( )
A.
B.
C.
D.
6．如图为“杨辉三角”示意图,已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为,设,将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为,则的值为( )
A.24B.26C.29D.36
7．若,则( )
A.B.
C.D.
8．若,则的值为( )
A.-7B.-14C.D.
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则( )
A.B.是奇函数
C.若,则D.
10．,分别为随机事件A,B的对立事件,下列命题正确的是( )
A.若A,B为相互独立事件且,则
B. 若,则
C.
D.若,,则
11．定义在的函数满足,且,若都有成立,若方程的解构成单调递增数列,则下列说法中正确的是( )
A.
B.若数列为等差数列,则公差为6
C.若,则
D.若,则
三、填空题
12．已知,,且,则的最小值为__________．
13．米斗是称量粮食的量器,是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用,米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化韵味,如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台,已知该米斗的侧棱长为,两个底边长分别为和,则该米斗的外接球的表面积是__________．
14．在平面直角坐标系中,双曲线的左、右焦点分别是,,过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,点T在x轴上,满足,且经过的内切圆圆心,则C的离心率为__________．
四、解答题
15．已知平面四边形（图1）中,,均为等腰直角三角形,M,N分别是,的中点,,,沿将翻折至位置（图2）,拼成三棱锥．
（1）求证：平面平面;
（2）当二面角的平面角为时,求C点到面的距离．
16．已知中,,在的内部有一点M满足且．
（1）若为等边三角形,求值;
（2）若,,求的长．
17．如图,已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,椭圆E的离心率为,的面积为1,若过点的直线与E相交于M,N两点,过点M作x轴的平行线分别与直线,交于点C,D．
（1）求椭圆E的方程;
（2）求证：M,C,D三点的横坐标,,满足关系式．
18．某学校有甲,乙两个餐厅,经统计发现,前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为,第二天选择餐厅乙就餐的概率为;前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为,第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是,选择餐厅乙就餐的概率是,记某同学第n天选择餐厅甲就餐的概率为．
（1）求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率;
（2）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求随机变量X的分布列及期望;
（3）求出的通项公式,并证明：当时,．
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中,e为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
（1）证明：;
（2）设,证明：;
（3）设,若是的极小值点,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为或,
所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：,
则.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,所以又,
则
所以,
则,
故选：B.
4．答案：C
解析：因为,即,故圆心为,半径为,
又,所以,故切线长,
由,得到,
故选：C.
5．答案：B
解析：因为偶函数在上单调递减,
所以函数在单调递增,且,,
又,,
所以,,
所以,即.
故选：B.
6．答案：B
解析：依题意,题中的等比数列为1,2,4,8,16,故该数列前n项和,
则,
要使数列中只取得整数项,需使是5的正整倍数即可,即使的最末位是1或6即可,
于是新的数列的项依次为：4,6,9,11,14,16,19,21,24,26,29,31,,
故
故选：B.
7．答案：D
解析：因（*）
对于A项,当时,代入（*）可得,故A项错误;
对于B项,当时,代入（*）可得,故B项错误;
对于C项,当时,代入（*）可得,
则,故C项错误;
对于D项,当时,代入（*）可得,
则,故D项正确.
故选：D.
8．答案：B
解析：一方面由题意,且注意到,
联立得,解得,,
所以,
另一方面不妨设,且,
所以有,解得或（舍去）,即,
由两角和的正切公式有,
所以
.
故选：B.
9．答案：AD
解析：根据条件及三角函数的定义知,,,
对于选项A,,所以选项A正确,
对于选项B,,
所以,即为偶函数,所以选项B错误,
对于选项C,因为,解得,所以选项C错误,
对于选项D,,
故选项D正确,
故选：AD.
10．答案：ABC
解析：对于A,由A,B为相互独立事件且,
得,A正确;
对于B,由,得,即,B正确;
对于C,事件互斥,则,C正确;
对于D,由选项C同理得,与不一定相等,
因此不一定成立,D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于A,因为,所以定义在的函数是周期函数,且,
所以,所以A正确,
对于B,又因为,都有成立,令,得到,
当时,,所以,
当时,,所以,
所以在上的图象如图所示,
由图象知,若数列为等差数列,
则,此时与在内有且仅有一个交点,
又,即有,所以数列是公差为的等差数列,故B正确,
对于C,若,即,
可得,则,
即与在内有且仅有2个交点,结合图象可得,所以C错误,
对于D,若,则与在内有且仅有3个交点,
且,因为,
则,
所以数列是以为首项,公差的等差数列,
可得,
所以,故D正确,
故选：ABD.
12．答案：16
解析：
当且仅当时等号成立.即当时,取得最小值为16.
故答案为：16.
13．答案：
解析：由题意,米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为,下底面中心为,
由棱台的性质可知,外接球的球心O落在直线上,
由题意该四棱台上下底面边长分别为和,侧棱长为,
则,,,
所以,
设外接球的半径为R,设,
若O在线段上,则,
因为垂直于上下底面,
所以,即,
又,即,
联立解得,,
所以该米斗的外接球的表面积为．
若O在的延长线上,则,
同理有,解得（舍）.
故答案为：.
14．答案：
解析：, , ,
经过内切圆圆心, 为的角平分线,
． ,,
,,
,
,于是,
为正三角形,．
中,由余弦定理,.
.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为M,N分别是,的中点,所以,
又,所以,因为,所以．
又,,平面,
所以平面,因为平面,所以平面平面．
（2）因为,,
所以就是二面角的平面角,所以,
因为为以为斜边的等腰直角三角形,M为的中点,
所以,又,所以为等边三角形,
取中点O,连接,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以面,如图,以直线为z轴,以为x轴建立空间直角坐标系,
,,,,
所以,,
设面的一个法向量,则有,得到．
取,则,,所以为平面的一个法向量,
又,所以C点到面的距离．
16．答案：（1）
（2）2
解析：（1）若为等边三角形,则．如图,
在中,,
所以,．
又知,
所以．
（2）设,,则．如图所示,
在中,因为,所以．
由正弦定理,得,即．所以①．
在中,由余弦定理,得,
所以．所以②．
由①②,解得,,所以．
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意：①,②,
由①②两式,解得,,
所以椭圆E的方程为：．
（2）设直线,直线过点,．
联立方程组,可得,
,
设,,则：,,
,,
,令可得：,
下面证明：．即证：,
即证：,
整理得即证：,
即证：,
整理可得即证：,即证：,
,上式成立,原式得证．
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
（3）,证明见解析
解析：（1）设某同学第二天选择餐厅甲就餐为事件A,则,
所以某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率为．
（2）由（1）可知,3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为,
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,X所有可能的取值为0,1,2,3,
则（,1,2,3）．
所以X的分布列为：
．
（3）依题意,,即,
则有,当时,可得,
数列是首项为公比为的等比数列,则,
所以,当且为偶数时,;
当且为奇数时,,因此,当时,恒成立．
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设,则.
当时,：当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,,即.
（2）由泰勒公式知,①
于是,②
由①②得
所以
即.
（3）,
则,设,
由基本不等式知,,当且仅当时等号成立
所以当时,,所以在R上单调递增.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,是的极小值点.
下面证明：当时,不是极小值点.
当时,,
又因为是R上的偶函数,且在上单调递增,
所以当时,.
因此,在上单调递减.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
因此,是的极大值点,不是的极小值点.
综上,实数a的取值范围是.
X
0
1
2
3
P