海南省2024届高三下学期高考全真模拟（六）数学试卷(含答案)

这是一份海南省2024届高三下学期高考全真模拟（六）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.R
3．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则( )
A.-8B.-4C.0D.4
5．等差数列的前n项和为，已知，，则的前100项中，为整数的各项之和为( )
A.1089B.1099C.1156D.1166
6．在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面BAC，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为( )
A.B.C.D.
8．若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B.若一组数据，，…，的方差为0.2，则，，…，的方差为1
C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D.若变量，，则
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B.直线是函数的一条对称轴
C.当时，x的取值范围为
D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，，图形如图所示.当时，点，在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．已知函数，过原点作曲线的切线l，则切线l的斜率为______.
13．设，分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为______.
14．已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为______.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求B；
（2）若点D在AC上，且，求.
16．2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会.某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.
（1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值.
附：
参考公式：，其中.
17．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形ABCD为矩形，，，，二面角的大小为，M，N分别为BC，的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面BCN所成角的正弦值.
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为.
（1）求C的标准方程；
（2）过点F且相互垂直的两条直线l和分别与C交于点A，B和点P，Q，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点.
19．已知函数，且的图象在处的切线斜率为2.
（1）求m；
（2）求的单调区间；
（3）若有两个不等的实根，，求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：，，，在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.
2．答案：D
解析：由中恰有两个元素，可知，故，即.
又方程的，故在R上恒成立，故实数m的取值范围为R，故选D.
3．答案：B
解析：的展开式的通项为.
令，得，则的常数项为.
当时，常数项为60；
当常数项为60时，，
“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件，故选B.
4．答案：A
解析：如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，
，
，故选A.
5．答案：C
解析：设等差数列的公差为d，
由，，解得，
所以.
要使为整数，则是3的倍数，又，，
所以可令.
记的前100项中的整数项构成的数列为，
则，
所以的前34项的和，故选C.
6．答案：A
解析：根据题意作出图形如图所示，连接OB，，
则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点.
，.
设点O到平面的距离为h，则由，
可得，解得，故选A.
7．答案：B
解析：根据题意得直线，
由，得.
设，，，，则，
故，
解得，代入式，解得，.
将代入直线l的方程中，
解得，故，故选B.
8．答案：C
解析：设，
则，
时，，在上单调递增.
，即，
，.
设，则，
当时，，即在上单调递增.
，，，即
综上，故选C.
9．答案：CD
解析：对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，
第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，，，…，的方差为，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；
对于D，，，
，
故D正确，故选CD.
10．答案：AD
解析：对于A，由图可知，，
，.
又，
即，
，，
，.
，，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，即，
，，
解得，，故C错误；
对于D，当时.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
，，，
要使方程在上有两个不相等的实数根，
则，故D正确，故选AD.
11．答案：ACD
解析：依题意，心形线C的直角坐标方程为，过原点.
由，可知，，三点共线，
可设直线，由，
消去y，得.
不妨设，，
则，.
，故A正确；
，
当时，，故B错误；
设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为，
即，
，又，
，故C正确；
由，可知.
令，则心形线C的方程可化为，，
，当，得或0，
当时，方程无整数解；
当时，
C上有4个整点，，，，故D正确，故选ACD.
12．答案：
解析：根据题意得，.设切点坐标为，则，
所以切线l的方程为，
将点代入，可得，
整理得，故，解得，
故，即切线的斜率为.
13．答案：
解析：不妨设，，，则.
在中，由余弦定理得，.
由，且，
可得，
即，
所以，，
所以内切圆半径为，
所以的内切圆的面积为.
14．答案：
解析：数列是递减数列，
，即，
化简得.
当时，，的值有正有负，
不恒成立；
当时，，，
不成立；
当时，，，
由题意得，，
当时，取得最小值，
即有，解得，
实数t的取值范围为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
，
由正弦定理得，，
即，
故.
，
，，
故.
（2），，
，
，即，
整理得，
，
即，.
16．答案：（1）认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联
（2）当时，取得最大值
解析：（1）由题意，完成列联表如下：
零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联.
，
依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联.
（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，
随机变量，
.
要使取得最大值，
则需，
解得，
，
当时，取得最大值.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN.
在菱形中，易知，且
又，故即为二面角的平面角，
故.
所以为等边三角形，所以.
显然，且，
所以平面MON
又平面MON，所以，
又，所以，
故.
（2）由（1）可知，平面ADN.
又平面ABCD，
所以平面平面ABCD.
又平面平面，平面ADN，且，
故平面ABCD，故OA，OM，ON两两相互垂直.
以O为原点，以OA，OM，ON所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，.
设平面BCN的法向量，
则.，
取，则.
记直线与平面BCN所成角为，
则，
故直线与平面BCN所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设双曲线C的半焦距为c，根据题意得解得，
的标准方程为.
（2）当直线l和斜率均存在时，
设直线l的方程为，，，中点，
由，消去x，得，.
，.
.
设直线的方程为，
，，中点.
同理可得.
，，.
当时，，此时，直线MN的方程为，
当时，，此时直线MN的斜率，
直线MN的方程为，
即.
此时直线MN过定点.
当直线l和其中一条直线的斜率不存在时，易知MN所在直线为x轴.
综上所述，直线MN过定点.
19．答案：（1）
（2）的单调递增区间为R，无单调递减区间
（3）证明见解析
解析：（1）因为，
所以，
根据题意得，
解得.
（2）由（1）可知，
，又，
所以，故的单调递增区间为R，无单调递减区间.
（3）由有两个不等的根，（不妨设），可得，
整理得.
令，
则，
故在上单调递增，
因为，所以，
即，那么，
结合（*）式，可得.
下面证明，
等价于证明.
令，设，
，则在上单调递减，
所以，
故，
即得证，
由不等式的传递性知，
即.
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200