2024徐州一中高二下学期4月期中考试数学含解析

这是一份2024徐州一中高二下学期4月期中考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 时长：120分钟）
一、单选题
1. 若，则的值可以是（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
2. 已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ）
A 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
4. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种.
A. 6B. 9C. 12D. 24
5. 下列选项中，不正确的命题是（ ）
A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则
B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心
C. 若是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底
D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使
6. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A. 128种B. 96种C. 72种D. 48种
二、多选题
9. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
10. 在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 随机变量X服从二项分布
C. 随机变量X服从超几何分布
D.
11. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题
12. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______．
13. 用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是______.
14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______．
四、解答题
15. 已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.
（1）求；
（2）求展开式中的常数项.
16. 袋中有大小形状相同5个球，其中3个红色，2个黄色.
（1）两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率；
（2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：
①的值；②随机变量的概率分布和数学期望.
17. 三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
18. 随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
19. 对任意，定义+，其中为正整数.
（1）求值；
（2）探究是否为定值，并证明你的结论；
（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.徐州一中2022级高二第二学期期中考试
数学试卷
（满分：150分 时长：120分钟）
一、单选题
1. 若，则的值可以是（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据组合数的运算性质求解即可.
【详解】根据组合数的性质，若，满足，解得，
且，或者，解得或，只有A符合题意.
故选：A
2. 已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解.
【详解】如图，四面体，是的中点，

因为是的中点，所以
所以.
故选：A.
3. 已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布函数的对称性即可求解.
【详解】由题可知服从正态分布，
则，又，故，
故.
故.
故选：B.
4. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种.
A. 6B. 9C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】男生的分配方法有,女生的分配方法有，
所以总的分配方法有，
故选：C
5. 下列选项中，不正确的命题是（ ）
A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则
B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心
C. 若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据直线方向向量定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断.
【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
所以，所以，
设为的中点，所以，所以，
所以点在平面内，且为的重心，所以B正确，
对于C，因为，所以共面，
所以不是空间向量的一组基底，所以C错误，
对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使，所以D正确，
故选：C.
6. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解．
【详解】由题得任意放球共有种方法，如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法．
由古典概型的概率公式得恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为，
故选:B
7. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组
所以，，
所以.
故选：D
8. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）
A. 128种B. 96种C. 72种D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端，
第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端，
第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端，
第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：B.
二、多选题
9. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
10. 在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 随机变量X服从二项分布
C. 随机变量X服从超几何分布
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答.
【详解】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，，
因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确；
，，，
，，A正确；
，D正确.
故选：ACD
11. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可判断AD，根据线面角的几何法可判断的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，即可判断B，根据展开图，转化为平面中两点距离最小，结合余弦定理即可求解C.
【详解】A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，，
所以，，
则，，设平面的法向量为，
所以令，则，即平面的一个法向量为．
若平面，则，即，
，令，解得．
即为中点时，有平面，且，故A错误；
B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故B正确；
C选项：当时，,此时点在线段上运动，
如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，利用余弦定理可知
，所以，故C错误；
D选项：当时，,故点在线段上运动,
正方体经过点、、的截面为平行四边形，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
，，所以点到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确．
故选：BD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
三、填空题
12. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______．
【答案】72
【解析】
【分析】对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.
【详解】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种；
②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种．
故答案为：72
13. 用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，则剩下个数有种排法，从而求出，再根据组合数公式及性质计算可得.
【详解】因为，所以，剩下个数有种排法，
所以满足的五位数有个，即，
所以，
其中展开式中含项的系数为，
所以其展开式中含项的系数为
.
故答案为：
14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.
【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率，
第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
所以盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.
四、解答题
15. 已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.
（1）求；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）6 （2）15
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简求解即可；
（2）利用二项展开式的通项求解.
【小问1详解】
由题意得，即，
化简得，解得或（负值舍去）．
所以.
小问2详解】
由二项展开式的通项得，
因为，令，得，
所以常数项为．
16. 袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色.
（1）两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率；
（2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：
①的值；②随机变量的概率分布和数学期望.
【答案】（1）
（2）①；②分布列见解析，的数学期望为
【解析】
【分析】（1）利用不放回模型，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）①分析表示的意义，结合古典概型即可得解；②由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
【小问1详解】
依题意，所求概率为；
【小问2详解】
①由已知得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，
事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，
故事件包含种取法，
所以；
②，，
则的概率分布为
所以的数学期望为.
17. 三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）（3）由（1）中坐标系，利用面面角、点到平面距离的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在三棱台中，平面，，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

由，得，
由M，N分别是，中点，得，则，
因此，而点直线，则，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，
设平面法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值.
【小问3详解】
由（1）知，，由（2）知，平面的法向量，
所以点C到平面的距离.
18. 随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）33
【解析】
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明；
（3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解.
【小问1详解】
设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”，
则“第1天不选择B套餐”.
根据题意可知：.
由全概率公式可得.
【小问2详解】
设“第天选择B套餐”，则，
根据题意.
由全概率公式可得
，
整理得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
【小问3详解】
第二天选择A类套餐的概率
由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为，
所以，则，
当取最大值时，则，
即，解得，
且，所以.
19. 对任意，定义+，其中为正整数.
（1）求的值；
（2）探究是否为定值，并证明你的结论；
（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ,; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.
【解析】
【分析】(1)由题意求出的值，即可求出的值.
(2)根据，，结合平方差公式即可求出的值.
(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，结合等差数列定义可得
，结合已知进行推导，可推出当且仅当时，等号成立，不成立，从而可证明.
【详解】解：(1)由题意知，，
，
所以，
(2)是定值，证明:由题意知，，，
则，
所以.
(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则，
当时，，即，即，因为，
所以，，
整理得，，其中为正整数，，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，
所以不存在存在正整数，使得成等差数列.
【点睛】关键点睛:
本题第二问应将看作，从而代入已知条件即可求解.
2
3
4