浙江省稽阳联谊学校2024届高三下学期4月联考（二模）数学试卷（扫描版附答案）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-4．ADBC 5-8．CBCD
1．【解析】当时，，位于第二象限，正确选项为A．
2．【解析】，故，正确选项为D．
3．【解析】由二项式定理展开，中的常数项为．
4．【解析】，即，而，即
，由，则“”是“”的充分不必要条件．
5．【解析】如图，在两圆及其内部的范围内，故得最大值为4．
6．【解析】设数列，， 由成等比数列，公比为2，则，，故由成等差数列，得，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铢的环权，故需要3枚．
7．【解析】样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，，而样本方差，则．
8．【解析】取，则，故，选项A正确．
取，则，则，选项B正确．
取，则，则，
取，，，则是奇数，选项C正确．
取函数，符合题目条件，但此时无最小值，故选项D错误．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC10．BCD11．ACD
9．【解析】关于中心对称，故A正确；
令，解得或，所以极小值为，极大值为，
故只有唯一解，B错误；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，故C正确；
过点作的切线，有2条，故D错误．
10．【解析】由，则，若时，为等差数列，B正确；
若时，，则，则，故A错误；
若，，，故C正确；
若，，，
故D正确．
11．【解析】对选项A，取中点分别为，再取中点为，则,球内切于棱台，则点即为梯形内切圆心，易知为SR中点，且均为角平分线，故，则，故球的表面积，故A正确．
对选项B，由上述分析可得，，则正四棱台侧棱．
作，垂足为，则为三等分点（靠近）．
设，由勾股定理即得，则，的外接圆心为三等分点（靠近），则三棱锥的外接球球心满足，显然，故三棱锥的外接球球心不可能为，故B错误．
对选项C，若直线面，作，垂足为，则的轨迹为以为直径的圆，圆所在的平面与垂直，又点为侧面上一点（含边界），取中点，作，垂足为，此时．
对选项D，平面与球的截面为圆，半径满足，故只需找离最远的平面即可，显然观察四个顶点即可，其中取时为同一平面，此时显然离较近．
当取时，作，垂足为，则OF⊥平面PBC1，；
当取时，作，垂足为，则OG⊥平面PBC1， ，故，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． （填也对）13．14．
12．【解析】由，几何意义为平行四边形的两条对角线互相垂直，即菱形，故．由，，容易得，则，均可．
13．【解析】，当且时等号成立．
14．【解析】与轴的交点为，．
根据阿波罗尼斯圆的定义，得到,又,则，
因为,代入，得到，
在中，余弦定理得到，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解析】
（Ｉ）选①：,即,
又，则,又,故．-------------------------------------------------------------- 6分
选②：，即，所以，
解得，故．---------------------------------------------------------------------------------------6分
选③：,则，所以，故．
------------------------------------------6分
（Ⅱ）,所以, --------------------------------------------------------------8分
又,
故．------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10分
又,-----------------------------------------12分
所以．---------------------------------------------------------------------------------------------------- 13分
16．（本小题满分15分）
【解析】
（Ｉ）取中点，连接，因为，所以．
又因为面面，且面面，
所以． -------------------------------------------------------3分
面，所以，
又因为，且，
所以，所以，
又，所以．----------------------------------------------6分
（Ⅱ）因为在直角梯形中，,,，易求得,又,，所以三角形为等边三角形， -----------------------------8分
如图，以为原点建立直角坐标系
,,,, ----------------------------------------------------------9分
因为是中点，所以点坐标为
所以 ---------------------------------------------------------------------------------------------10分
,
设面BDF的法向量为,
,即则可取 -----------------------------------------------------13分
所以．---------------------------------------------------------------------- 15分
17． （本小题满分15分）
【解析】
（Ｉ）若，设抽取次中抽中黑球的次数为，
则，故．------------------------------------------------------4分
由，，故 最大值为或，即．--------------------------7分
（Ⅱ）（i）,-------------------------------------------9分
，-----------------------------------------------------10分
，（写出一个2分，后面2个每个1分）----11分
（ii）由（i）可进行猜测，抽取次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，
则．---------------------------------15分
18．（本小题满分17分）
【解析】（Ｉ）因为，线段是抛物线的通径，，得到．
抛物线方程为．---------------------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）（i）因为，在以为直径的圆上，得到．
设，则，直线方程为；
，所以．
方程为，直线过定点；-------------------------------------------------8分
（ii）设，为的角平分线，则;
，整理得；
因为，解得；------------------------------------------------------------------------------10分
即，不妨设，因为，则，同理;
直线的方程为，
与直线的交点横坐标，同理,--------------------------------------------12分
,
，
，
，-------------------------15分
令，则，，
当且仅当，取到最大值．------------------------------------------------------------------------------17分
19．（本小题满分17分）
【解析】
（Ｉ）当时，，．------------------------------------------2分
由，则易知在单调递增，且．
故时，，单调递减，时，，单调递增．
则的最小值为．----------------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）若在定义域内单调递增，则在上恒成立．
，令，
则且可知．------------------------------------------------------------8分
下证时，．
由关于单调递增，则，
令，则，
故在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，．
综上所述，时，在定义域上单调递增．---------------------------------------------------11分
（Ⅲ），，则在上单调递增 ，且存在唯一，使得，故在上单调递减，上单调递增，其中，且由，则．
而，
故存在唯一极大值点与极小值点，满足．
又，则．
由，故．---------------------------------------------------------------14分
，
令，，
则，，.．-------17分