高考数学公式大全-2024届高三数学三轮复习冲刺必备

这是一份高考数学公式大全-2024届高三数学三轮复习冲刺必备，共33页。试卷主要包含了并集， 交集， 补集，德·摩根定律，实数指数幂的运算性质，对数与指数的关系，复数的除法运算， 共轭复数的性质等内容，欢迎下载使用。
1.并集
运算性质：A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪⌀=⌀∪A=A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B=B
2. 交集
运算性质：A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩⌀=⌀∩A=⌀，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B=A
3. 补集
运算性质：∁UA⊆U，∁UU=⌀，∁U⌀=U，∁U(∁UA)=A，A∪(∁UA)=U，A∩(∁UA)=⌀
4.德·摩根定律
（1）∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)；
（2）∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
5.常用的正面叙述词语和它的否定词语.
02等式与不等式
1.不等式的性质
2.基本不等式：两个重要不等式
均值不等式串
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
*绝对值不等式
， 当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立
3.柯西不等式
二维柯西不等式的向量形式
二维柯西不等式的概率形式
三维柯西不等式
4.伯努利不等式
5.权方和不等式
5.不等式倒数和分数性质
03函数性质与指对幂函数
2.函数的单调性
∀x1，x2∈D，当x10，r，s∈R)；
3. (ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).
4. 拓展：aras=ar-s(a>0，r，s∈R).
8.对数与指数的关系
当a>0，a≠1时，ax=N⇔x=lgaN，这是指数式与对数式互化的依据相关结论如下：
(1)负数和0没有对数；
(2)lga1=0，lgaa=1(a>0，且a≠1)；
(3) =N，lgaaN=N(a>0，且a≠1，N>0).
9、对数的运算性质
1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN；(2)lgaMN=lgaM-lgaN；(3)lgaMn=nlgaM (n∈R).
10、对数换底公式
1. 对数换底公式：lgab=lgcblgca (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
2. 相关结论：lgab=1lgba，lganbm=mnlgab(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).
13.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
(2) 若Ai(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An)>0，则P(A1A2…An)=P(A1)·
P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
18.全概率公式
1. 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= i=1n P(Ai)P(B|Ai). 称此公式为全概率公式.
19.贝叶斯公式*
1. 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)= P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)k=1n P(Ak)P(B|Ak)，
i=1，2,…,n.
20.离散型随机变量X的分布列
1. 定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
2. 分布列的表格表示
3. 离散型随机变量分布列具有的两个性质
(1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1.
21.两点分布(0—1分布)
1. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， A表示“失败”，定义
X= 1，A发生，0，A发生.
2. 如果P(A)=p，则P(A)=1-p，那么X的分布列如表所示.
我们称X服从两点分布或0—1分布.
22.离散型随机变量的均值
1. 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示.
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1n xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简
称期望.
2. 性质：若X是一个离散型随机变量，则有E(aX+b)=aE(X)+b.
23.离散型随机变量的方差、标准差
1. 设离散型随机变量X的分布列如表所示.
则称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=i=1n (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
离散型随机变量的方差的性质
1. 设a，b为常数，则D(aX+b)=a2D(X).
2. 均值与方差的性质公式：D(X)=E(X 2)-(E(X))2.
两点分布的方差
1. 若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)(其中p为成功概率).
9.离散型随机变量的方差
1. 方差概念的理解
方差刻画的是一组数据的离散程度，可按如下步骤定义随机变量的方差：
(1)计算随机变量X的可能取值与均值的偏差(xi-E(X))，i=1，2，…，n.
(2)为避免正、负偏差相互抵消，取偏差的平方(xi-E(X))2，i=1，2，…，n.
(3)为了体现X取各值的概率不同，定义偏差平方关于取值概率的加权平均
i=1n (xi-E(X))2P(X=xi)为离散型随机变量的方差.
由方差的定义可以看出，本质上方差是随机变量X的函数(X-E(X))2的均值(期望)，
即 D(X)=E(X-E(X))2.
11.二项分布
1. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程，表示以−D2，−E2为圆心， 12D2+E2−4F为半径的圆.
说明：对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
①当D2+E2-4F0.
2.点与圆的位置关系
1. 点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)的位置关系及判断方法：
3.直线与圆的位置关系
1. 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0).
圆心C(a，b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2. 由(x−a)2+(y−b)2=r2，Ax+By+C=0，
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
3. 过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论
(1)若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2；
(2)若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2；
(3)若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的圆的切线方程为
x0x+y0y+D·x0+x2+E·y0+y2+F=0.
4. 过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论
(1)若点P(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图1，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.

(2)若点P(x0，y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图2，则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)若点P(x0，y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y+D·x0+x2+E·y0+y2+F=0.
4.直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
1. 直线与圆相交的弦长的求法
三、圆锥曲线
1.椭圆的标准方程与简单几何性质
2.点与椭圆的位置关系
1. 已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，则
①|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上⇔x02a2+y02b2=1；
②|PF1|+|PF2|1.
3.直线与椭圆的位置关系
1. 联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系). 直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系的判断方法：
由y=kx+m，x2a2+y2b2=1消去y(或x)得到一个一元二次方程，则
2. 弦长公式
设直线斜率为k，直线与椭圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2−4x1x2
或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2(y1+y2)2−4y1y2 (k≠0).
3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为2b2a.
4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短.
4.双曲线的标准方程与简单几何性质
1. 双曲线的标准方程与简单几何性质
2. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=±a2
(a≠0)，等轴双曲线的离心率e=2，两条渐近线互相垂直.
3. 双曲线的焦点到渐近线的距离d=a×0±b×ca2+b2=b.
4. 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a.
5.直线与双曲线的位置关系
1. 联立直线与双曲线的方程，根据方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个数(位置关系). 设直线l：y=kx+m(m≠0)①，双曲线C： x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)②，
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0，即k=±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点
(2)当b2-a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ=(−2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δk(x10
点M在圆内
|CM|b>0)
性
质
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c(c=a2−b2)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
顶点
(±a，0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b，0)
轴长
长轴(线段A1A2)长为2a，短轴(线段B1B2)长为2b
离心率
e=ca=1−b2a2 (00)
y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)
性
质
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c(c2=a2+b2)
范围
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
轴
实轴(线段A1A2)的长：2a；
虚轴(线段B1B2)的长：2b；
实半轴长：a；
虚半轴长：b
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca=1+b2a2 (e>1)
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R，且α≠0)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cs x
f(x)=cs x
f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0，且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=lgax(a>0，且a≠1)
f'(x)= 1xlna
f(x)=ln x
f'(x)= 1x
名称
内容
和、差的导数
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
积的导数
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数)
商的导数
f(x)g(x)'=f'(x)g(x)−f(x)g'(x)[g(x)]2 (g(x)≠0)