南宁市第八中学2023-2024学年高二下学期期中模拟数学试卷(含答案)

这是一份南宁市第八中学2023-2024学年高二下学期期中模拟数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数,则( )
A.0B.2C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(决赛)于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行,赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影,若两名老师之间至少有一名同学,则不同的站法有( )种.
A.48B.64C.72D.120
4．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为( )
A.B.2C.3D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．设,分别是椭圆的右顶点和上焦点,点P在C上,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外,没有其他区别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球,则则错误的为( )
A.B.C.D.
8．边长为2的正方形,经如图所示的方式裁剪后,可围成一个正四棱锥,则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知样本数据,,,,的方差为,平均数,则( )
A.数据3的方差为
B.数据,的平均数大于0
C.数据,,,的方差大于
D.数据,,,的平均数大于
10．已知抛物线,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,设AB的中点为M,分别过A,B两点作抛物线的切线,相交于点P,则( )
A.点P必在抛物线的准线上
B.
C.面积的最小值为
D.过M作直线PF的平行线交y轴于点N,则
11．已知正三棱柱的各棱长都为1,E为AB的中点,则( )
A.直线与直线为异面直线
B.平面
C.二面角的正弦值为
D.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
三、填空题
12．已知数列中,,,,则的前n项和__________.
13．函数在点处的切线方程为________.
14．从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张,设这2张卡片上的数字之和为X,则________.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角C;
（2）若a,b,c成等差数列,且的面积为,求的周长.
16．某市组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数,得到下表:
（1）从这9天的数据中任选4天的数据,以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数,求X的分布列和数学期望;
（2）由于统计人员的疏忽,第5天的数据统计有误,如果去掉第5天的数据,试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
(参考数据:
,,,
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,)
17．受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲,乙,丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为,现从这三个市中任意选取一个人.
（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
（2）若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.
18．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面平面ABCD,,点E是线段AD的中点,.
（1）证明:平面BDM;
（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.
19．已知双曲线经过点,且离心率为2.
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线,交直线于点M,交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为,,若,求.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,选B.
2．答案：D
解析：由题可知,所以,所以(,故选D.
3．答案：C
解析：因为5人站成一排的站法有种,且两名老师之间没有学生的站法有
种,所以两名老师之间至少有一名同学的不同站法有种,故选C.
4．答案：B
解析：函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
则，
又因为在上为增函数，
所以，且，
解得：，故的最大值为2.
故选：B.
5．答案：C
解析：由,可得,又,
所以,即
,,
所以.所以.
6．答案：A
解析：,,,则,P在椭圆上,,故选A.
7．答案：C
解析：,A对.,B对.,C错.,D对,
选C.
8．答案：B
解析：如图所示,设围成的四棱柱为,PF为正四棱锥高,作交BC于E,连接PE,设,则,
在直角三角形PFE中由勾股定理得,
又因为正四棱锥的外接球球心在它的高PF上,
记球心为O,半径为R,连接OB,FB,则,
则在直角三角形OFB中,
即,解得,令,则,,令解得,所以R在上单调递减,在上单调递增,所以当时R取最小值,
所以,
所以该四棱锥外接球的表面积的最小值为,故选:B
9．答案：AD
解析：对于A,数据,,,,的方差为9,故A正确;
对于B,,,,,的平均数为,当时,不一定大于0,故B错误,
对于C,去掉一个极端数据,剩下的数据的方差有可能更小,故C错误;
对于D,因为,数据,,,的平均数为,,所以
数据,,,的平均数大于,故D正确.
10．答案：ABC
解析：设,与抛物线方程联立有,设,,有,,,的斜率分别为,,有,,解得,所以A正确;,,经计算,,B正确;
对C,,易知当时取最小值,C正确;
对D,由于轴,所以四边形PFNM为平行四边形,所以,而,D错误,选ABC.
11．答案：ABD
解析：连接、交于点F,连接EF,则F为的中点,
又E为AB的中点,所以,平面,平面,
所以平面,故B正确;
又,EF,平面,所以与不平行且无公共点,
所以直线与直线为异面直线,故A正确;
取的中点D,连接ED,则,又平面ABC,则平面ABC,又,
如图建立空间直角坐标系,则,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,取,
又平面ACE的法向量可以为,
设二面角为,显然为锐二面角,
则,所以,
即二面角的正弦值为,故C错误;
外接圆的半径,
所以正三棱柱外接球的半径,
所以该球的表面积,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：,所以,,所以,所以.填:
13．答案：(写成亦可)
解析：,,则,
因此,函数在点处的切线方程为即.
故答案为:(写成亦可).
14．答案：8
解析：从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片的所有10种结果中,
,,,,,,,,,,
张卡片上的数字之和分别为:3,4,5,6,7,8.10,11,12.14,
所以.
故答案为:8
15．答案：（1）
（2）15
解析：（1）由正弦定理,
.
由余弦定理.
又,.
（2）由a,b,c成等差数列,①
的面积为,,即②..
由（1）③
由①②③解得:,,
,故的周长为15
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天,则X的所有可能取值为0,1,2,3..
,,
,
故X的分布列为
.
（2）设原来数据的样本中心点为,去掉第5天的数据后样本中心点为
,
.
故
,
17．答案：（1）0.054
（2）
解析：（1）记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市,记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市,
,且E,F,G彼此互斥,
由题意可得,,,
,,,
由全概率公式可得
,所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054;
（2）由条件概率公式可得,
所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,连接交于,连接,由是的中点可得,
易得与相似,所以,
又,所以,
又平面BDM,平面BDM,所以平面BDM;
（2）因平面平面ABCD,且平面平面,由,点E是线段AD的中点可得
又平面PAD,故得平面ABCD.如图,取BC的中点为F,分别以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
,,则,.
设平面AMB的法向量为,由,,
则,故可取;
设平面BDM的法向量为,由,,
则,故可取.
故平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为,
所以平面AMB与平面BDM的夹角为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,解得,
所以C的方程为；
（2）由题意,点M坐标为,点N坐标为,
设,
方法一：
①若直线AB斜率存在,设直线AB方程为,
,消去y可得,
且,
且,
,
整理可得,
,
化简得,
即,
因为直线AB不过点,所以,
所以,即,
所以直线AB的方程为,恒过定点,
②若直线AB斜率不存在,则,
,
解得,所以直线AB的方程为,过定点,
综上,直线AB恒过定点,
设点M到直线AB的距离为,点N到直线AB的距离为,
.
方法二：
因为直线AB不过点,所以可设直线AB方程为,
由可得,
即,
,
得,
等式左右两边同时除以,
得,
,
,解得,
所以直线方程为,
即,恒过定点,
下同法一.
时间(天)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
X
0
1
2
3
P