2023-2024学年山西省长治市上党好教育联盟高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山西省长治市上党好教育联盟高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|2x≤4}，则A∩B=( )
A. [−2,2]B. [−2,+∞)C. (−∞,2]D. (−∞,3]
2.当x≠0时，x2+1x2的最小值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 2 2
3.函数f(x)=tan(3x−π3)的图象的一个对称中心是( )
A. (−π9,0)B. (−π18,0)C. (2π9,0)D. (π3,0)
4.若f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，则a的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.“a<2”是“函数f(x)=lg(x2+ax+1)的定义域为R”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知α∈(0,π)，且3cs2α+14csα+7=0，则tan2α=( )
A. −4 27B. − 23C. 23D. 4 27
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为高斯函数.例如，[2.1]=2，[−1.2]=−2，已知函数f(x)=1x−[1x](x≥12).则函数f(x)的值域为( )
A. [0,1)B. (0,2)C. {0,1}D. {0,1,2}
8.已知函数f(x)=2sin(ωx−π12)在区间(0,π3)上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数ω的取值范围是( )
A. (5,8)B. (5,8]C. (194,314]D. (194,314)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. −πrad=−180∘
B. 第一象限角都是锐角
C. 在半径为2的圆中，π6弧度的圆心角所对的弧长为π3
D. 终边在直线y=−x上的角的集合是{α|α=2kπ−π4,k∈Z}
10.若x>y，则( )
A. ln(x−y+1)>0B. 1x<1y
C. 3x>3yD. |x|>|y|
11.已知f(α)=−2sin(π2+α)cs(π−α)sin(−α)sin(3π2+α)，则下列说法正确的是( )
A. f(α)=−sin2αB. f(α)=sin2α
C. 若tanα=3，则f(α)=35D. 若sinα−csα= 22，则f(α)=12
12.已知正实数x，y满足x+y=2，则下列结论正确的是( )
A. x2+y2≥2B. xy>1C. x+ y≤2D. x3+y3≤2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= x−2ln(x+1)的定义域为______.
14.已知函数f(x)=ex−e−x，则不等式f(x−3)>f(1−x)的解集为______.
15.已知函数f(x)=lg3(−x2+4x+a−1)的最大值为2，则a=______.
16.将函数f(x)=cs(2x−π6)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知命题p：∀x∈R，x2−x−2>0.
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由.
18.(本小题12分)
已知3sinαsinα+csα=2.
(1)若α为锐角，求cs(α−π4)的值；
(2)求sin2α−2cs2α+1的值.
19.(本小题12分)
已知x>0，y>0，xy=x+y+a.
(1)当a=3时，求xy的最小值；
(2)当a=0时，求x+y+1x+1y的最小值.
20.(本小题12分)
某大学科研小组自2023年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为n(单位：m2)，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4m2，二月底测得绿球藻的生长面积为(4 2+2)m2，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积y(单位：m2与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是y=nax(n>0,a>1)；另一个是y=px12+n(p>0,n>0)，记2023年元旦最初测量时间x的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+aa×2x(a>0)满足[f(1)]2=f(2)+2.
(1)求实数a的值；
(2)求函数g(x)=f(2x)−2f(x)的值域.
22.(本小题12分)
函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F(0,3 32)，与x轴交于点B，C，M为最高点，△MBC的面积为3π4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈[0,π3]，都有|f(x)+3lg3k|≤3，求实数k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2x≤4，2x≤22，x≤2，B=(−∞,2],
A=[−2,3]，则A∩B=[−2,2].
故选：A.
根据集合运算的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：当x≠0时，x2+1x2≥2 x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x2=1时取等号．
故选：C.
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=tan(3x−π3)，
令3x−π3=kπ2，解可得x=kπ6+π9，k∈Z，
即函数f(x)=tan(3x−π3)的图象的对称中心为(kπ6+π9,0)，k∈Z，
分析选项：B符合．
故选：B.
根据题意，求出函数f(x)的对称中心，分析选项可得答案．
本题考查正切函数的对称性，注意正切函数的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，若f(x)=x(x+2)(x−a)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
即(−x)(−x+2)(−x−a)=−x(x+2)(x−a)，变形可得(x−2)(x+a)(x+2)(x−a)，
进而可得：(a−2)x=0，必有a=2.
故选：D.
根据题意，由奇函数的定义可得(−x)(−x+2)(−x−a)=−x(x+2)(x−a)，变形可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lg(x2+ax+1)的定义域为R
则Δ=a2−4<0，解得−2故“a<2”是“函数f(x)=lg(x2+ax+1)的定义域为R”的必要不充分条件．
故选：B.
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为α∈(0,π)，且3cs2α+14csα+7=0，
所以3(2cs2α−1)+14csα+7=0，
即3cs2α+7csα+2=0，
解得csα=−13或csα=−2(舍去)，
所以sinα= 1−cs2α= 1−(−13)2=2 23，
所以tanα=sinαcsα=−2 2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−2 2)1−(−2 2)2=4 27.
故选：D.
利用二倍角公式解方程3cs2α+14csα+7=0，求出csα，再利用同角的三角函数关系求出sinα和tanα，即可求得tan2α.
本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：当x=12时，f(12)=2−[2]=2−2=0，
当12则[1x]=1，
则f(x)=1x−[1x]=1x−1∈[0,1),
当x>1时，0<1x<1，
则[1x]=0，
则f(x)=1x−[1x]=1x∈(0,1)，
综上可得：函数f(x)的值域为[0,1).
故选：A.
先阅读题意，然后分：x=12时，当121时三种情况讨论即可．
本题考查了函数值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=2sin(ωx−π12)在区间(0,π3)上恰有一个最大值点与一个最小值点，ω>0，
∴3π2<ωx−π12≤5π2，
解得194<ω≤314.
故选：C.
依题意，可得3π2<ωx−π12≤5π2，解之可得答案．
本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：−πrad=−180∘，A正确；
对于B：角7π3也是第一象限角，不是锐角，B错误；
对于C：在半径为2的圆中，π6弧度的圆心角所对的弧长为π6×2=π3,C正确；
对于D：终边在y=−x上的角的集合是{α|α=kπ−π4,k∈Z}，D错误．
故选：AC.
由弧度制与角度的互化可得A正确；根据象限角的定义可得B错误；由弧长公式可求得C正确；利用终边相同的角的集合即可得D错误．
本题考查弧长公式，象限角的概念，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由x>y知，x−y+1>1，则ln(x−y+1)>0，A正确；
取x=1，y=−2满足x>y，此时1x>1y，|x|<|y|，BD错误；
由x>y，得3x>3y，C正确．
故选：AC.
利用指对数函数的单调性判断AC；举例说明判断BD作答．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(α)=−2sin(π2+α)cs(π−α)sin(−α)sin(3π2+α)=2csα⋅(−csα)⋅(−sinα)−csα=−sin2α.
故A正确、B错误．
若tanα=3，则f(α)=−sin2α=−2sinαcsαcs2α+sin2α=−2tanα1+tan2α=−35，故C正确．
若sinα−csα= 22，则平方可得1−sin2α=12，故sin2α=12，
故f(α)=−sin2α=−12，故D错误．
故选：AC.
由题意，利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，即可求解．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为正实数x，y满足x+y=2，
所以x2+y2≥2×(x+y2)2=2，当且仅当x=y=1时取等号，A正确；
因为2=x+y≥2 xy，当且仅当x=y=1时取等号，
所以xy≤1，B错误；
( x+ y2)2≤x+y2=1，当且仅当x=y=1时取等号，
所以 x+ y≤2，C正确；
x3+y3=(x+y)(x2+y2−xy)=2[(x+y)2−3xy]=8−6xy≥8−6=2，当且仅当x=y=1时取等号，D错误．
故选：AC.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】{x|x≥2或−1【解析】解：f(x)= x−2ln(x+1)，
则x−2ln(x+1)≥0x+1>0，解得x≥2或−1故函数f(x)的定义域为{x|x≥2或−1故答案为：{x|x≥2或−1根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
14.【答案】(2,+∞)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ex−e−x，
y=ex在R上为增函数，y=e−x在R上为减函数，
故f(x)在R上为增函数，
若f(x−3)>f(1−x)，必有x−3>1−x，解可得x>2，
即不等式的解集为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
根据题意，分析f(x)的单调性，由此可得原不等式等价于x−3>1−x，解可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：根据题意，设t=−x2+4x+a−1，则y=lg3t，
函数f(x)=lg3(−x2+4x+a−1)的最大值为2，则t=−x2+4x+a−1有最大值9，
而t=−x2+4x+a−1=−(x−2)2+a+3，则有a+3=9，解可得a=6.
故答案为：6.
根据题意，设t=−x2+4x+a−1，由对数的运算性质可得t=−x2+4x+a−1有最大值9，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及函数的最值，属于基础题．
16.【答案】π12.
【解析】解：将函数f(x)=cs(2x−π6)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，
得到函数g(x)=cs(2x+2φ−π6)的图象．
若g(x)是偶函数，则2φ−π6=kπ，k∈Z，故φ=π12.
故答案为：π12.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
17.【答案】解：(1)命题p：∀x∈R，x2−x−2>0，
则命题p的否定为∃x∈R，x2−x−2≤0；
(2)命题p为假命题，理由如下：
当x=0时，x2−x−2<0，故命题p为假命题．
【解析】(1)结合命题否定的定义，即可求解；
(2)结合特殊值法，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵3sinαsinα+csα=2，
∴sinα=2csα，
∴4cs2α+cs2α=1，α为锐角，
∴csα= 55，sinα=2 55，
∴cs(α−π4)= 22csα+ 22sinα=3 1010；
(2)由sinα=2csα得tanα=2，
∴sin2α−2cs2α+1=2sinαcsα−2(cs2α−sin2α)+sin2α+cs2α
=2sinαcsα−cs2α+3sin2α
=2sinαcsα−cs2α+3sin2αsin2α+cs2α
=2tanα−1+3tan2αtan2α+1
=4−1+124+1
=3.
【解析】(1)根据条件可求出sinα和csα，然后根据两角差的余弦公式即可得解；
(2)根据(1)得出tanα=2，根据二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系即可得出：原式=2tanα−1+3tan2αtan2α+1，然后代入tanα=2即可得解．
本题考查了二倍角的正余弦公式，同角三角函数的基本关系，是中档题．
19.【答案】解：因为x>0，y>0，xy=x+y+a.
(1)当a=3时，xy=x+y+3≥2 xy+3，当且仅当x=y=3时取等号，
解得xy≥9，即xy的最小值为9；
(2)当a=0时，xy=x+y，
所以1x+1y=1，
x+y+1x+1y=x+y+x+yxy=x+y+1=(x+y)(1x+1y)+1=3+yx+xy≥3+2 yx⋅xy=5，当且仅当x=y=2时取等号，
故x+y+1x+1y的最小值为5.
【解析】(1)由已知结合基本不等式可直接求解；
(2)先对所求式子进行变形，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为两个函数模型y=nax(n>0,a>1)，y=px12+n(p>0,n>0)在(0,+∞)上都是单调增函数，
随着x的增大，y=nax(n>0,a>1)的函数值增加得越来越快，不满足题意；
函数y=px12+n(p>0,n>0)的函数值随x的增加越来越慢，满足题意；
所以函数模型y=px12+n(n>0,p>0)满足要求，
由题意知，(p+n)−n=4p⋅ 2+n=4 2+2，
解得p=4，n=2，
所以y=4 x+2，x≥0，且x∈N；
(2)由题意知，令4 x+2=7×2，
化简得 x=3，解得x=9，
所以该水域中绿球藻生长面积在9月底达到其最初的生长面积n的7倍．
【解析】(1)根据两个函数模型的单调性和函数值随x的增加变化情况，判断并求出函数解析式；
(2)根据函数解析式，列方程求解即可．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)∵[f(1)]2=f(2)+2，
所以(4+a2a)2=16+a4a+2，且a>0，
解得a=1；
(2)由(1)可得f(x)=4x+12x，
所以g(x)=f(2x)−2f(x)=42x+122x−2⋅4x+12x=(2x)2+(12x)2−2⋅(2x+12x)=(2x+12x)2−2(2x+12x)−2，
令t=2x+12x≥2 2x⋅12x=2，当且仅当2x=1，即x=0时取等号，
设h(t)=t2−2t−2，t≥2，
开口向上，对称轴t=1，所以函数在[2,+∞)单调递增，
所以h(t)≥h(2)=22−2×2−2=−2.
所以函数的值域为[−2,+∞).
【解析】(1)由题意可得关于a的方程，解得a的值；
(2)由(1)可得g(x)的解析式，换元整理，由二次函数的单调性可得函数的值域．
本题考查函数的解析式的求法及二次函数的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由题意得，f(0)=3sinφ=3 32，0<φ<π2，
所以φ=π3，
又△MBC的面积S=12|BC|×3=3π4，
所以|BC|=π2=T2，
所以T=π，ω=2，
所以f(x)=3sin(2x+π3)；
(2)当0≤x≤π3时，π3≤2x+π3≤π，
所以0≤sin(2x+π3)≤1，0≤f(x)≤3，
若对任意的x∈[0,π3]，都有|f(x)+3lg3k|≤3，
则−3−f(x)≤3lg3k≤3−f(x)，
所以−3≤3lg3k≤0，
解得13≤k≤1，
故k的范围为[13,1].
【解析】(1)由函数过F，代入可求φ，结合三角形面积公式可求|BC|，进而可求周期，结合周期公式求出ω，从而可求函数解析式；
(2)先由已知x的范围求f(x)的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．