江苏省南通市田家炳初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 据统计，至2023年底，南通市常住总人口数约为人，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）．
A. 210B. 120C. 504D. 60
8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ）
A. B. C. 或D. 或
10. 已知实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
12. 分解因式：______．
13. 已知关于一元二次方程，若方程的两个实数根为、，且，则的值为___________．
14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，且已知的面积为2，则的面积是________．
15. 如图，在中，延长斜边到点，且，连接，若，则______．
16. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．

17. 如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为______．
18. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上动点，且，将绕点顺时针旋转至，则线段长的最小值等于________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
20. 随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中的值为 ；
（2）小佳此次大赛成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
21. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
22. 南通体育中考选考项目共有9项，每个考生需要任选3项．甜甜和冰冰已经选择了篮球运球投篮和跳绳，他们决定从“实心球，200米，立定三级蛙跳”三项中选一项参加考试，若这三项被选中的机会均等．
（1）甜甜从三个项目中选中“实心球”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法说明他们恰好都选中“实心球”的概率．
23. 如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、．
（1）若，，求的半径；
（2）在（1）的条件下，求弦的长．
24. 为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元）
（1）厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资；
（2）设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值．
25. 如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点，分别在和上．
（1）若，则 （直接写结果，不需要解题过程）；
（2）若，与的周长分别为，，求的值；
（3）如图2，在中，，，点，分别在边，上，将沿向下翻折至，连结，平分．若，，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标．
年级统计量
平均数
中位数
七年级
八年级
目的地
生产厂家
甲
乙
A
20
25
B
15
24