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2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟预测试卷
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这是一份2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟预测试卷，文件包含2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟预测试卷解析docx、2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟预测试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选不得分）
1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图中所给的几何体可得它的主视图为；
故选A．
2 . 据估计，年温州市初中学业水平考试共计有位考生参加．
其中数据用科学记数法表示为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选C．
如图是某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图．若棋类小组有60人，
则劳动实践小组的人数为（ ）
A. 75B. 90C. 108D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，用棋类的人数除以其占比即可得到总人数，再用总人数乘以劳动实践的人数占比即可得到答案．
【详解】解：人，
∴劳动实践小组的人数为90人，
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，平方差公式，幂的乘方，合并同类项依次进行判断即可．
【详解】故A选项不符合题意；
故B选项符合题意；
故C选项不符合题意；
∵ 不能合并，故D选项不符合题意，
故选：B．
5 .如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
6. 如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，
则根据题意，列方程式组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系即可解答．
【详解】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故选：C．
如图，直线分别与轴，轴交于点，，
将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，
则，，
∴，
故选：C．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
10 .如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，
小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．
若是的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答．
【详解】解：过点作于点，设，
∵是的中点，
∴，
∴,
∵在正方形中，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故选．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．
每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，
通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有 个．
【答案】14
【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
估计袋子中的红球有14个，
故答案为：14．
13. 不等式组的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，然后求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分．
年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，
小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
16 .如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，
点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，
若，，则的长为 ，的值为 ．
【答案】 2
【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．
【详解】解： 与关于直线对称，矩形
矩形
为的中点，
如图， 四边形都是矩形，
设 则
解得：
经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数、0指数幂、化简二次根式和绝对值，再计算加减即可；
（2）根据同分母分式的加减法则解答即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，
按下列要求画格点三角形．
（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A′B′C′．
（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）（注：图1，图2在答题卡中）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得出旋转后图形△A′B′C′；
（2）利用旋转的性质画出旋转后图形△DEF，且点P在△DEF内．
【小问1详解】
解：如图，△A′B′C′即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，△DEF即为所求，点P在△DEF内部．
．
为落实“双减”政策，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天课外完成作业所用的时间，
并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级： ，，，．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．
(1)本次调查的七年级学生共有多少人？
(2)补全频数分布直方图；
(3)在扇形统计图中，m＝______，n＝______；
(4)根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天课外完成作业所用的时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，84，87，93，98，88．如果该校七年级学生总数为600人，请估计该校七年级学生中有多少人每天课外完成作业所用的时间最合适？
【答案】(1)50
(2)见解析
(3)34；72
(4)288
【分析】（1）根据A等级人数和占的百分比求出总数即可；
（2）求出B、C等级人数，然后补全条形统计图即可；
（3）算出D等级人数和总数算出其占的百分比和扇形圆心角度数即可；
（4）根据所调查的这50人中每天课外完成作业所用的时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数和总人数，估算出该校七年级学生中每天课外完成作业所用的时间最合适的人数即可．
【详解】（1）解：8÷16%＝50（人），
故调查的七年级学生共50人．
（2）B等级的人数为（人），
C等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）C等级占的百分比为：，
∴，
D等级扇形的圆心角为：，
即．
故答案为：34；72．
（4）（人），
答：该校七年级学生中有288人每天完成作业时间最合适．
20. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式解集．
【答案】（1），；
（2）点P的坐标为；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
22 .在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，
若，．
（1）求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
（2）若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
【答案】（1）对称轴为直线，其图象与x轴有1个交点
（2）a的最大值为1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出．
（1）根据，，先确定抛物线的对称轴为直线，然后得出，代入得出函数解析式为：，令，根据一元二次方程根的判别式，判断根的情况，即可得出答案；
（2）将四个点的坐标分别代入函数解析式中求出a的值，然后比较大小即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得：，
令，
∵，
∴有一个解，
∴该二次函数图象与x轴有1个交点．
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴a的最大值为1．
23 .如图，等腰内接于，，D是上一点，，
与的延长线交于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）求与的值；
（3）若点P，Q分别是四边形相邻两条边上的点（包括端点），当P，Q，A，O四点组成的图形为平行四边形时（点P在点Q上方），求所有满足条件的的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或或5
【解析】
【分析】（1）过点O作交于F，交于G，由垂径定理可得，，则，再由三线合一定理得到，进而推出四点共线，则，再证明，即可证明；
（2）先证明，根据相似三角形的性质求出，则，利用勾股定理得到，则；由勾股定理得，则由垂径定理得；
（3）先利用勾股定理求出；再分如图3-1所示，当四边形是平行四边形时，如图3-2所示，当四边形是平行四边形时，如图3-3所示，当四边形是平行四边形时，则此时点P与点C重合，三种情况通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，过点O作交于F，交于G，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，，
∴；
如图3-1所示，当四边形是平行四边形时，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图3-2所示，当四边形是平行四边形时，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图3-3所示，当四边形是平行四边形时，则此时点P与点C重合，
∴；
综上所述，的长为或或5．
24. 【基础巩固】
（1）如图①，在四边形中，对角线平分，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在四边形中，，，对角线平分，若的面积为6，求对角线的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在中，，，，D是上一点，连结，点E，P分别在，上，连结，，，若，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据两组对角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）利用三角形内角和定理，通过导角证明，同（1）推出，利用的面积求出，即可求解；
（3）过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，通过证明，，求出和，进而求出，再证求出，最后证明，即可求出的值．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2），平分，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，
，，
，，
在中，，，
，
，
；
，
，
又，
，
，即，
，
同理，可证，
，即，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
，
，
，
，
，即，
又，即，
，
，
；
，
，，
，
．
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选不得分）
1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图中所给的几何体可得它的主视图为；
故选A．
2 . 据估计，年温州市初中学业水平考试共计有位考生参加．
其中数据用科学记数法表示为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选C．
如图是某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图．若棋类小组有60人，
则劳动实践小组的人数为（ ）
A. 75B. 90C. 108D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，用棋类的人数除以其占比即可得到总人数，再用总人数乘以劳动实践的人数占比即可得到答案．
【详解】解：人，
∴劳动实践小组的人数为90人，
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，平方差公式，幂的乘方，合并同类项依次进行判断即可．
【详解】故A选项不符合题意；
故B选项符合题意；
故C选项不符合题意；
∵ 不能合并，故D选项不符合题意，
故选：B．
5 .如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
6. 如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，
则根据题意，列方程式组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系即可解答．
【详解】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故选：C．
如图，直线分别与轴，轴交于点，，
将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，
则，，
∴，
故选：C．
赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
10 .如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，
小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．
若是的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答．
【详解】解：过点作于点，设，
∵是的中点，
∴，
∴,
∵在正方形中，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故选．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．
每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，
通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有 个．
【答案】14
【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
估计袋子中的红球有14个，
故答案为：14．
13. 不等式组的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，然后求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分．
年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，
小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
16 .如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，
点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，
若，，则的长为 ，的值为 ．
【答案】 2
【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．
【详解】解： 与关于直线对称，矩形
矩形
为的中点，
如图， 四边形都是矩形，
设 则
解得：
经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数、0指数幂、化简二次根式和绝对值，再计算加减即可；
（2）根据同分母分式的加减法则解答即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，
按下列要求画格点三角形．
（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A′B′C′．
（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）（注：图1，图2在答题卡中）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得出旋转后图形△A′B′C′；
（2）利用旋转的性质画出旋转后图形△DEF，且点P在△DEF内．
【小问1详解】
解：如图，△A′B′C′即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，△DEF即为所求，点P在△DEF内部．
．
为落实“双减”政策，教育局随机调查了某校七年级部分学生每天课外完成作业所用的时间，
并按完成作业所用时间x（分钟）的范围分为四个等级： ，，，．根据调查得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图．
(1)本次调查的七年级学生共有多少人？
(2)补全频数分布直方图；
(3)在扇形统计图中，m＝______，n＝______；
(4)根据有关规定，经过科学分析认为，初中生每天课外完成作业所用的时间超过60分钟，且不超过90分钟最合适．已知调查的学生中，这组的学生完成作业的时间（分钟）分别为82，89，95，85，90，84，87，93，98，88．如果该校七年级学生总数为600人，请估计该校七年级学生中有多少人每天课外完成作业所用的时间最合适？
【答案】(1)50
(2)见解析
(3)34；72
(4)288
【分析】（1）根据A等级人数和占的百分比求出总数即可；
（2）求出B、C等级人数，然后补全条形统计图即可；
（3）算出D等级人数和总数算出其占的百分比和扇形圆心角度数即可；
（4）根据所调查的这50人中每天课外完成作业所用的时间超过60分钟，且不超过90分钟的人数和总人数，估算出该校七年级学生中每天课外完成作业所用的时间最合适的人数即可．
【详解】（1）解：8÷16%＝50（人），
故调查的七年级学生共50人．
（2）B等级的人数为（人），
C等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）C等级占的百分比为：，
∴，
D等级扇形的圆心角为：，
即．
故答案为：34；72．
（4）（人），
答：该校七年级学生中有288人每天完成作业时间最合适．
20. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式解集．
【答案】（1），；
（2）点P的坐标为；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
22 .在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，
若，．
（1）求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
（2）若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
【答案】（1）对称轴为直线，其图象与x轴有1个交点
（2）a的最大值为1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出．
（1）根据，，先确定抛物线的对称轴为直线，然后得出，代入得出函数解析式为：，令，根据一元二次方程根的判别式，判断根的情况，即可得出答案；
（2）将四个点的坐标分别代入函数解析式中求出a的值，然后比较大小即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得：，
令，
∵，
∴有一个解，
∴该二次函数图象与x轴有1个交点．
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴a的最大值为1．
23 .如图，等腰内接于，，D是上一点，，
与的延长线交于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）求与的值；
（3）若点P，Q分别是四边形相邻两条边上的点（包括端点），当P，Q，A，O四点组成的图形为平行四边形时（点P在点Q上方），求所有满足条件的的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或或5
【解析】
【分析】（1）过点O作交于F，交于G，由垂径定理可得，，则，再由三线合一定理得到，进而推出四点共线，则，再证明，即可证明；
（2）先证明，根据相似三角形的性质求出，则，利用勾股定理得到，则；由勾股定理得，则由垂径定理得；
（3）先利用勾股定理求出；再分如图3-1所示，当四边形是平行四边形时，如图3-2所示，当四边形是平行四边形时，如图3-3所示，当四边形是平行四边形时，则此时点P与点C重合，三种情况通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，过点O作交于F，交于G，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，，
∴；
如图3-1所示，当四边形是平行四边形时，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图3-2所示，当四边形是平行四边形时，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图3-3所示，当四边形是平行四边形时，则此时点P与点C重合，
∴；
综上所述，的长为或或5．
24. 【基础巩固】
（1）如图①，在四边形中，对角线平分，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在四边形中，，，对角线平分，若的面积为6，求对角线的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在中，，，，D是上一点，连结，点E，P分别在，上，连结，，，若，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据两组对角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）利用三角形内角和定理，通过导角证明，同（1）推出，利用的面积求出，即可求解；
（3）过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，通过证明，，求出和，进而求出，再证求出，最后证明，即可求出的值．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2），平分，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，
，，
，，
在中，，，
，
，
；
，
，
又，
，
，即，
，
同理，可证，
，即，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
，
，
，
，
，即，
又，即，
，
，
；
，
，，
，
．
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