上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(无答案)

这是一份上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．直线的倾斜角为________。
2．若直线与平行，则________。
3．直线过点，法向量，则的一般式方程为________。
4．已知一个球的体积为，则该球的表面积为________。
5．正四面体的侧面与底面所成二面角的余弦值为________。
6．的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示）
7．已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则________。
8．如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________。
9．已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________。
10．已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为________。
11．已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________。
12．已知是曲线上的动点，则的取值范围是________。
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ）
A．小麦麦穗长度的极差是3.9B．小麦麦穗长度的中位数等于众数
C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6
15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．与是对立事件B．与是互斥事件
C．与是相互独立事件D．与是相互独立事件
16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为的最小值为
B．的最六徝当的最大值为
C．的最小值大于的最小值大于
D．的最大值小于的最大值小于
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线，圆．
（1）求直线与圆相交所得的弦长；
（2）求圆关于直线对称所得的圆的方程．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为．
（1）求圆锥的体积；
（2）设是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式．
②柱体的体积为底面积乘以高．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线的焦点为，过在第一象限上的任意一点作的切线，直线交轴于点．过作的垂线，交于两点．
（1）若点在的准线上，求直线的方程；
（2）求的中点的轨迹方程；
（3）若三角形面积为，求点的坐标．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为．
（1）若三角形的面积为2，求点的坐标；
（2）若，证明：直线过定点；
（3）若，求满足的关系式．