安徽省合肥市瑶海区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1. 你拿到的试卷满分为150分，考试时间共120分钟．
2. 考生答题时独立思考，诚信答题．
一．选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在、、、中，最简二次根式有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式可得答案．
【详解】二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．
故选A．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，关键是掌握最简二次根式的概念．
2. 方程的解为是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程解即可．
【详解】解：移项得，
，
或，
解得：，
故选：D．
3. 图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是（ ）
A. a【答案】C
【解析】
【详解】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可．
解答：解：∵AC==5=，BC=AB=4=，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b．
故选C．
4. 已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A. 10B. 11C. 10或11D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．
详解】∵，
解得
∴三角形三边长可能的情况为：
①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形
②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故选B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，注意用三角形三边关系验证是否能构成三角形是解决本题的关键．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的乘法，二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的乘法，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
6. 如图，已知 AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=8，BE=3，则 AC 等于（ ）
A. 8B. 5C. 3D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC=.
故选D.
7. 已知一元二次方程的一个根m，则的值是（ ）
A. 2020B. C. 2023D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，求代数式的值，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．根据题意得出，将其代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根m，
∴，则，
∴，
故选：B．
8. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了化简二次根式，先根据绝对值的规律判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵
∴， 则
∴
故选：C．
9. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A. 5B. 5或C. 或D. 5或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
10. 如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交，于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确；②设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；④分别表示和的长，可判断④不正确；⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断⑤正确．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
设，则，
∵，
∴，
∴，，
中，，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③如图，过N作于H，连接，

在等边三角形中，
∵，
∴平分，，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵是的垂直平分线，
∴，
等边中，，
∴，
∴，故④错误；
∵，
∴，，
∵，
∵，
∴，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
11. 比较大小：________(填，，或).
【答案】.
【解析】
【分析】把根号外的数移入根号内，再比较即可．
【详解】解：= ， ，
∵ ，
∴．
故答案为.
【点睛】本题考查实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键．
12. 如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足______________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：依题意， 且，
解得：且，
故答案为：且．
13. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0 (a≠0)的一个根是x＝2018,，则方程a(x＋2)2＋bx＋2b＝0的根是___________________．
【答案】x1＝2016，x2＝－2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可得出答案
【详解】由ax2＋bx＝0，得x（ax+b）=0，
∴x=0，ax+b=0，
x1=0x2=，
∵一元二次方程ax2＋bx＝0 (a≠0)的一个根是x＝2018，
∴=2018，
∵a(x＋2)2＋bx＋2b＝0，
∴a(x＋2)2＋b（x+2）=0，
设y= x＋2，则y（ay+b）=0，
∴y1=0，y2=，
∴x＋2=2018，即x1＝2016，
∴x＋2=0，即x2＝－2，
故答案为x1＝2016，x2＝－2
【点睛】本题考查根与系数的关系
14. 如图，直角三角形纸片中，，，为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点则：
（1）__________
（2）当折叠2024次之后， _____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先写出，，，的长度，然后可发现规律推出的表达式，继而根据即可得出的表达式，也可得出的长．
【详解】解：由题意得：，
，，，，，
，，，
，
，
故，．
三、（本大题共4小题，每题8分，满分32分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂，二次根式的乘法，以及完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的乘法，以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B在小正方形的顶点上．
（1）连接，则的长为 个单位长度．
（2）在图a中画出 (点C在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形且为钝角三角形；
（3）图b中画出 (点D在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形
【答案】（1）5 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出的长度；
（2）去格点C，使即可；
（3）以为边，为直角顶点，画出等腰直角三角形即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：5；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问3详解】
解：如图，即为所求，
．
18. 先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
（1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
（3）应用上述结论，请计算的值．
【答案】（1），见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．
（2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可．
（3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果．
【小问1详解】
解：的结果为；
验证：
【小问2详解】
第n个等式的左边为，等式右边为1与的和，
故等式如下：
【小问3详解】
四、（本大题共2小题，每题10分，满分20分）
19. 某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
【答案】3、4月份销售额的月平均增长率为．
【解析】
【分析】设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x．由题意得2月份的销售额是万元，在此基础上连续两年增长，达到了万元，列方程求解．
【详解】解：由题意得：2月份的销售额（万元），
设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x．
，
∴，
∴或（负值舍去）．
答：3、4月份销售额的月平均增长率为．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
20. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】m的值为14，方程的另一个根为
【解析】
【分析】设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，，
解得，
即m的值为14，方程的另一个根为．
【点睛】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有．
五、（本大题共2小题，每题12分，满分24分）
21. 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求原长方形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的应用；
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和近似数，再根据题意解答．
【小问1详解】
解：两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原长方形木板的面积=；
【小问2详解】
最多能裁出块这样的木条．理由如下：
，，
块，
块，
块．
从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条．
故答案为：．
22. 如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；设每只油桶底面的直径为，，得到，，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图，设每只油桶底面的直径为，，则，，
这堆油桶的高度为
．
因此，遮雨棚的高度起码要有．
六、（本大题共1小题，每题14分，满分14分）
23. 某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．
（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
（2）如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)
【答案】（1）
（2）辆
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用；
（1）利用每辆汽车的进价（月销售量），即可求出结论；
（2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为（）万元，分及＞两种情况考虑，利用总利润每辆的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：
万元，
每辆汽车的进价为万元．
故答案为：；
【小问2详解】
设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为万元．
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)；
当时，，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)．
答：需要销售辆汽车．