2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）双曲线的焦点坐标是
A．B．C．D．
2．（5分）经过点，且与直线垂直的直线方程是
A．B．C．D．
3．（5分）两条平行直线和间的距离为，则，分别为
A．B．C．D．
4．（5分）若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为
A．1B．C．D．
5．（5分）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
6．（5分）椭圆与直线的位置关系是
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
8．（5分）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选的得0分.
9．（5分）已知双曲线，则下列选项正确的是
A．渐近线方程B．顶点坐标
C．离心率D．焦距为3
10．（5分）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
11．（5分）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
12．（5分）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是
A．若，则
B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
C．连接、并延长与抛物线交于点，若、的中点，则
D．点到直线的最短距离为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）抛物线的焦点到准线的距离是 ．
14．（5分）已知空间向量，若，则实数的值为 ．
15．（5分）双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率 ．
16．（5分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点．
（1）的周长为 ．
（2）若，且△的内切圆半径为，则椭圆焦距为 ．
四、解答题：本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线渐近线方程．
18．（12分）已知两直线，．当为何值时，和．
（1）平行；
（2）垂直．
19．（12分）已知圆．
（1）过点作圆的切线，求的方程；
（2）若直线方程为与圆相交于、两点，求．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
21．（12分）已知抛物线的焦点为．
（1）求；
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若求直线方程．
22．（12分）已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）双曲线的焦点坐标是
A．B．C．D．
【分析】求得双曲线的，，，以及双曲线的焦点在轴上，即可得到所求焦点坐标．
【解答】解：双曲线的，，
，
且双曲线的焦点在轴上，
可得焦点坐标为．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法，考查基本量，，的关系，以及运算能力，属于基础题．
2．（5分）经过点，且与直线垂直的直线方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用直线与直线垂直，求解直线的斜率，然后求解垂线方程．
【解答】解：设与直线垂直的直线方程斜率是，
在轴上的截距是1，
所以所求直线方程为：．
故选：．
【点评】本题考查直线与直线的垂线关系的应用，直线方程的求法，是基础题．
3．（5分）两条平行直线和间的距离为，则，分别为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：直线与直线平行，，解得，
直线方程化为，
两条平行直线和间的距离，
故，分别为，．
故选：．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，以及平行直线的距离公式，属于基础题．
4．（5分）若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】本题根据点到平面的距离公式，即可求解出答案．
【解答】解：，
点到平面的距离为．
故选．
【点评】本题考查空间向量点到平面的距离，属于中档题．
5．（5分）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：设点的坐标为，
，线段的中点为，
，
又点在圆上，
，
即．
故选：．
【点评】本题考查根据相关点法求解轨迹方程，属基础题．
6．（5分）椭圆与直线的位置关系是
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】
【分析】求得直线过定点，判断定点在椭圆内即可．
【解答】解：直线过定点，
又点在椭圆内，故直线与椭圆相交．
故选：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，属基础题．
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用双曲线与椭圆的标准方程及其性质可得：，，解得，，即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：，，
解得，，
双曲线的方程为，
故选：．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知可设，则，，得，在△中求得，从而可求解．
【解答】解：如图，由已知可设，则，，
由椭圆的定义有，．
在△中，由余弦定理推论得．
所以，则．
得，所以，又，得，
故的方程为．
故选：．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆的定义及其应用等知识，属于基础题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选的得0分.
9．（5分）已知双曲线，则下列选项正确的是
A．渐近线方程B．顶点坐标
C．离心率D．焦距为3
【答案】
【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程，点的坐标，离心率，焦距，判断选项的正误即可．
【解答】解：双曲线，焦点在轴上，其中，，，，
所以渐近线方程，即，
故正确，
顶点坐标，，
所以不正确．
离心率为，
故正确；
焦距为，故错误，
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
10．（5分）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
【答案】
【分析】根据题意，由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆的标准方程为，其圆心为，正确；
对于，由于，点在圆内，正确；
对于，圆的标准方程为，其半径为5，正确；
对于，由于，点在圆外，错误．
故选：．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
11．（5分）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
【答案】
【分析】利用椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程，依次进行判断即可．
【解答】解：对于，当时，曲线表示圆，故选项错误；
对于，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故选项正确；
对于，当时，曲线表示圆的方程，故选项正确；
对于，当曲线为双曲线时，则，解得或，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
12．（5分）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是
A．若，则
B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
C．连接、并延长与抛物线交于点，若、的中点，则
D．点到直线的最短距离为
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，点到直线的距离公式，函数思想，即可分别求解．
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程，
对选项，由抛物线的性质，
则，代入抛物线的方程可得，选项错误；
对选项中，，且抛物线方程为：，
又，点在抛物线的外面，
过有两条直线与抛物线相切，还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点，
有3条直线与抛物线有一个公共点，选项正确；
对选项，，选项正确；
对选项，点，到直线的距离为：
，
的最小值为，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，点到直线的距离公式，函数思想，化归转化思想，属中档题．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）抛物线的焦点到准线的距离是 2 ．
【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
【解答】解：根据题意可知焦点，准线方程，
焦点到准线的距离是
故答案为2．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
14．（5分）已知空间向量，若，则实数的值为 1 ．
【答案】1．
【分析】若，则，列方程求出的值即可．
【解答】解：空间向量，0，，，，，
由题意，可得，
可得．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查空间向量数量积的坐标运算及垂直的应用，属于基础题．
15．（5分）双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率 ．
【分析】由题意根据它的一条渐近线方程即，由此可得，结合双曲线的平方关系可得与的比值，求出该双曲线的离心率．
【解答】解：依题意知，所以．
故答案为：．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
16．（5分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点．
（1）的周长为 40 ．
（2）若，且△的内切圆半径为，则椭圆焦距为 ．
【答案】（1）40；（2）12．
【分析】（1）周长，计算即可；
（2）由余弦定理可得设，，可得，进而可求△的面积，进而可求△的周长，可求椭圆焦距．
【解答】解：（1）直线过点与椭圆交于，两点，
的周长，
（2）由椭圆，可得，
，设，，
则根据椭圆的定义可得：①，在△中，，
根据余弦定理可得：②，由①②得，
由三角形面积公式可得：①
又②
由①②可知或（舍
，椭圆的焦距为12．
故答案为：（1）40；（2）12．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线渐近线方程．
【答案】（1）双曲线的标准方程为．
（2）渐近线方程为．
【分析】（1）通过双曲线的离心率以及焦点坐标，求解，，顶点双曲线方程．
（2）直接求解双曲线的渐近线方程即可．
【解答】解：（1）由题意双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且，
，，解得，
所以双曲线的标准方程为．
（2），，，焦点在轴上，渐近线方程为．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，标准方程的求法，是基础题．
18．（12分）已知两直线，．当为何值时，和．
（1）平行；
（2）垂直．
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】由已知结合直线平行及垂直的条件分别求出（1）（2）．
【解答】解：（1）因为，
所以，解得或，
当时，两条直线重合，
故时，，
（2）因为，
所以，
解得或．
【点评】本题主要考查了直线平行及垂直条件的应用，属于基础题．
19．（12分）已知圆．
（1）过点作圆的切线，求的方程；
（2）若直线方程为与圆相交于、两点，求．
【答案】（1）或．
（2）．
【分析】（1）求得圆心与半径，分斜率是否存在两情况可求切线的方程；
（2）利用弦长公式可求．
【解答】解：（1）圆的方程可化为，
则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
①当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
②当过点的直线斜率存在时，设1的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
的方程为，即，
的方程为或．
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离，
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】证明：（1）平面，平面，
平面，
平面平面，平面，，
平面，
又平面，，
，又是的中点，，
又，平面，平面，
平面；
解：（2）平面，平面，，
以为坐标原点建立空间直角坐标系如图：
，，
，0，，，4，，，0，，，0，，
则，，
平面，
是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，则，，
即．
与平面所成的角的正弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
21．（12分）已知抛物线的焦点为．
（1）求；
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若求直线方程．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据题意可得，解得，即可得出答案．
（2）由（1）知抛物线方程为，设直线方程为，联立抛物线的方程，设，，，，由韦达定理可得，，由弦长公式可得，解得，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，
所以，
解得．
（2）由（1）知抛物线方程为，
因为直线与抛物线交于两点，
所以直线斜率不为0，
所以设直线方程为，
联立，整理得，
设，，，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以直线方程为．
【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】根据椭圆离心率和长轴长度即可求得椭圆的标准方程；再根据点斜式设出直线的方程与椭圆联立，根据点到直线的距离和韦达定理即可求得面积的最大值．
【解答】解：（1），
，，，
又椭圆焦点在轴上，
椭圆方程为；
（2）设，，，．设直线的方程为与椭圆方程联立，
得，
，，
又点到直线的距离，
的面积
，（当且仅当时等号成立），
面积的最大值为．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/18 0:18:00；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565