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    2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二(下)期中数学试卷
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    2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二(下)期中数学试卷

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二(下)期中数学试卷,共19页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(5分)双曲线的焦点坐标是
    A.B.C.D.
    2.(5分)经过点,且与直线垂直的直线方程是
    A.B.C.D.
    3.(5分)两条平行直线和间的距离为,则,分别为
    A.B.C.D.
    4.(5分)若平面的一个法向量为,则点到平面的距离为
    A.1B.C.D.
    5.(5分)点,点是圆上的一个动点,则线段的中点的轨迹方程是
    A.B.
    C.D.
    6.(5分)椭圆与直线的位置关系是
    A.相离B.相交C.相切D.无法确定
    7.(5分)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则双曲线的方程为
    A.B.C.D.
    8.(5分)已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为
    A.B.C.D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共计20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得2分,有错选的得0分.
    9.(5分)已知双曲线,则下列选项正确的是
    A.渐近线方程B.顶点坐标
    C.离心率D.焦距为3
    10.(5分)已知圆的标准方程为,则下列说法正确的是
    A.圆的圆心为B.点在圆内
    C.圆的半径为5D.点在圆内
    11.(5分)若方程所表示的曲线为,则下面四个说法中正确的是
    A.若,则为椭圆
    B.若为椭圆,且焦点在轴上,则
    C.曲线可能是圆
    D.若为双曲线,则
    12.(5分)已知抛物线的焦点为,,是抛物线上一个动点,点,则下列说法正确的是
    A.若,则
    B.过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
    C.连接、并延长与抛物线交于点,若、的中点,则
    D.点到直线的最短距离为
    三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
    13.(5分)抛物线的焦点到准线的距离是 .
    14.(5分)已知空间向量,若,则实数的值为 .
    15.(5分)双曲线的一条渐近线方程为,则它的离心率 .
    16.(5分)已知,分别为椭圆的左、右焦点,直线过点与椭圆交于,两点.
    (1)的周长为 .
    (2)若,且△的内切圆半径为,则椭圆焦距为 .
    四、解答题:本题共6小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(10分)已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点,且
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)求双曲线渐近线方程.
    18.(12分)已知两直线,.当为何值时,和.
    (1)平行;
    (2)垂直.
    19.(12分)已知圆.
    (1)过点作圆的切线,求的方程;
    (2)若直线方程为与圆相交于、两点,求.
    20.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,,,,是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求与平面所成的角的正弦值.
    21.(12分)已知抛物线的焦点为.
    (1)求;
    (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,若求直线方程.
    22.(12分)已知焦点在轴上椭圆,长轴长,离心率.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)已知,过原点且斜率为的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
    2022-2023学年广东省深圳市东北师大附中深圳学校高二(下)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.(5分)双曲线的焦点坐标是
    A.B.C.D.
    【分析】求得双曲线的,,,以及双曲线的焦点在轴上,即可得到所求焦点坐标.
    【解答】解:双曲线的,,

    且双曲线的焦点在轴上,
    可得焦点坐标为.
    故选:.
    【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是焦点的求法,考查基本量,,的关系,以及运算能力,属于基础题.
    2.(5分)经过点,且与直线垂直的直线方程是
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】利用直线与直线垂直,求解直线的斜率,然后求解垂线方程.
    【解答】解:设与直线垂直的直线方程斜率是,
    在轴上的截距是1,
    所以所求直线方程为:.
    故选:.
    【点评】本题考查直线与直线的垂线关系的应用,直线方程的求法,是基础题.
    3.(5分)两条平行直线和间的距离为,则,分别为
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】根据已知条件,结合直线平行的性质,以及平行直线的距离公式,即可求解.
    【解答】解:直线与直线平行,,解得,
    直线方程化为,
    两条平行直线和间的距离,
    故,分别为,.
    故选:.
    【点评】本题主要考查直线平行的性质,以及平行直线的距离公式,属于基础题.
    4.(5分)若平面的一个法向量为,则点到平面的距离为
    A.1B.C.D.
    【答案】
    【分析】本题根据点到平面的距离公式,即可求解出答案.
    【解答】解:,
    点到平面的距离为.
    故选.
    【点评】本题考查空间向量点到平面的距离,属于中档题.
    5.(5分)点,点是圆上的一个动点,则线段的中点的轨迹方程是
    A.B.
    C.D.
    【答案】
    【分析】根据相关点法,即可求解.
    【解答】解:设点的坐标为,
    ,线段的中点为,

    又点在圆上,

    即.
    故选:.
    【点评】本题考查根据相关点法求解轨迹方程,属基础题.
    6.(5分)椭圆与直线的位置关系是
    A.相离B.相交C.相切D.无法确定
    【答案】
    【分析】求得直线过定点,判断定点在椭圆内即可.
    【解答】解:直线过定点,
    又点在椭圆内,故直线与椭圆相交.
    故选:.
    【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,属基础题.
    7.(5分)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则双曲线的方程为
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】利用双曲线与椭圆的标准方程及其性质可得:,,解得,,即可得出结论.
    【解答】解:由题意可得:,,
    解得,,
    双曲线的方程为,
    故选:.
    【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    8.(5分)已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为
    A.B.C.D.
    【答案】
    【分析】由已知可设,则,,得,在△中求得,从而可求解.
    【解答】解:如图,由已知可设,则,,
    由椭圆的定义有,.
    在△中,由余弦定理推论得.
    所以,则.
    得,所以,又,得,
    故的方程为.
    故选:.
    【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,椭圆的定义及其应用等知识,属于基础题.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共计20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得2分,有错选的得0分.
    9.(5分)已知双曲线,则下列选项正确的是
    A.渐近线方程B.顶点坐标
    C.离心率D.焦距为3
    【答案】
    【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程,点的坐标,离心率,焦距,判断选项的正误即可.
    【解答】解:双曲线,焦点在轴上,其中,,,,
    所以渐近线方程,即,
    故正确,
    顶点坐标,,
    所以不正确.
    离心率为,
    故正确;
    焦距为,故错误,
    故选:.
    【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基础题.
    10.(5分)已知圆的标准方程为,则下列说法正确的是
    A.圆的圆心为B.点在圆内
    C.圆的半径为5D.点在圆内
    【答案】
    【分析】根据题意,由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确,综合可得答案.
    【解答】解:根据题意,依次分析选项:
    对于,圆的标准方程为,其圆心为,正确;
    对于,由于,点在圆内,正确;
    对于,圆的标准方程为,其半径为5,正确;
    对于,由于,点在圆外,错误.
    故选:.
    【点评】本题考查圆的标准方程,涉及点与圆的位置关系,属于基础题.
    11.(5分)若方程所表示的曲线为,则下面四个说法中正确的是
    A.若,则为椭圆
    B.若为椭圆,且焦点在轴上,则
    C.曲线可能是圆
    D.若为双曲线,则
    【答案】
    【分析】利用椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程,依次进行判断即可.
    【解答】解:对于,当时,曲线表示圆,故选项错误;
    对于,当曲线为焦点在轴上的椭圆时,则,解得,故选项正确;
    对于,当时,曲线表示圆的方程,故选项正确;
    对于,当曲线为双曲线时,则,解得或,故选项错误.
    故选:.
    【点评】本题考查了椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程的理解与应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题.
    12.(5分)已知抛物线的焦点为,,是抛物线上一个动点,点,则下列说法正确的是
    A.若,则
    B.过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
    C.连接、并延长与抛物线交于点,若、的中点,则
    D.点到直线的最短距离为
    【答案】
    【分析】根据抛物线的几何性质,抛物线的焦半径公式,点到直线的距离公式,函数思想,即可分别求解.
    【解答】解:由抛物线的方程可得焦点,准线方程,
    对选项,由抛物线的性质,
    则,代入抛物线的方程可得,选项错误;
    对选项中,,且抛物线方程为:,
    又,点在抛物线的外面,
    过有两条直线与抛物线相切,还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点,
    有3条直线与抛物线有一个公共点,选项正确;
    对选项,,选项正确;
    对选项,点,到直线的距离为:

    的最小值为,选项错误.
    故选:.
    【点评】本题考查抛物线的几何性质,抛物线的焦半径公式,点到直线的距离公式,函数思想,化归转化思想,属中档题.
    三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
    13.(5分)抛物线的焦点到准线的距离是 2 .
    【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程,进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离.
    【解答】解:根据题意可知焦点,准线方程,
    焦点到准线的距离是
    故答案为2.
    【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用.属基础题.
    14.(5分)已知空间向量,若,则实数的值为 1 .
    【答案】1.
    【分析】若,则,列方程求出的值即可.
    【解答】解:空间向量,0,,,,,
    由题意,可得,
    可得.
    故答案为:1.
    【点评】本题主要考查空间向量数量积的坐标运算及垂直的应用,属于基础题.
    15.(5分)双曲线的一条渐近线方程为,则它的离心率 .
    【分析】由题意根据它的一条渐近线方程即,由此可得,结合双曲线的平方关系可得与的比值,求出该双曲线的离心率.
    【解答】解:依题意知,所以.
    故答案为:.
    【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.
    16.(5分)已知,分别为椭圆的左、右焦点,直线过点与椭圆交于,两点.
    (1)的周长为 40 .
    (2)若,且△的内切圆半径为,则椭圆焦距为 .
    【答案】(1)40;(2)12.
    【分析】(1)周长,计算即可;
    (2)由余弦定理可得设,,可得,进而可求△的面积,进而可求△的周长,可求椭圆焦距.
    【解答】解:(1)直线过点与椭圆交于,两点,
    的周长,
    (2)由椭圆,可得,
    ,设,,
    则根据椭圆的定义可得:①,在△中,,
    根据余弦定理可得:②,由①②得,
    由三角形面积公式可得:①
    又②
    由①②可知或(舍
    ,椭圆的焦距为12.
    故答案为:(1)40;(2)12.
    【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属中档题.
    四、解答题:本题共6小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(10分)已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点,且
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)求双曲线渐近线方程.
    【答案】(1)双曲线的标准方程为.
    (2)渐近线方程为.
    【分析】(1)通过双曲线的离心率以及焦点坐标,求解,,顶点双曲线方程.
    (2)直接求解双曲线的渐近线方程即可.
    【解答】解:(1)由题意双曲线的离心率是双曲线的两个焦点,且,
    ,,解得,
    所以双曲线的标准方程为.
    (2),,,焦点在轴上,渐近线方程为.
    【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,渐近线方程的求法,标准方程的求法,是基础题.
    18.(12分)已知两直线,.当为何值时,和.
    (1)平行;
    (2)垂直.
    【答案】(1);
    (2)或.
    【分析】由已知结合直线平行及垂直的条件分别求出(1)(2).
    【解答】解:(1)因为,
    所以,解得或,
    当时,两条直线重合,
    故时,,
    (2)因为,
    所以,
    解得或.
    【点评】本题主要考查了直线平行及垂直条件的应用,属于基础题.
    19.(12分)已知圆.
    (1)过点作圆的切线,求的方程;
    (2)若直线方程为与圆相交于、两点,求.
    【答案】(1)或.
    (2).
    【分析】(1)求得圆心与半径,分斜率是否存在两情况可求切线的方程;
    (2)利用弦长公式可求.
    【解答】解:(1)圆的方程可化为,
    则圆心,半径为1,
    由,可得点在圆外,
    ①当过点的直线斜率不存在时,的方程为,此时与圆相切,
    ②当过点的直线斜率存在时,设1的方程为,即,
    则圆心到直线的距离为,解得,
    的方程为,即,
    的方程为或.
    (2)直线方程为,
    则圆心到直线的距离,

    【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属中档题.
    20.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,,,,是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求与平面所成的角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析.
    (2).
    【分析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可.
    (2)建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
    【解答】证明:(1)平面,平面,
    平面,
    平面平面,平面,,
    平面,
    又平面,,
    ,又是的中点,,
    又,平面,平面,
    平面;
    解:(2)平面,平面,,
    以为坐标原点建立空间直角坐标系如图:
    ,,
    ,0,,,4,,,0,,,0,,
    则,,
    平面,
    是平面的一个法向量,
    设与平面所成的角为,则,,
    即.
    与平面所成的角的正弦值为.
    【点评】本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的求解,利用线面垂直的判定定理以及建立坐标系求出平面的法向量,利用向量法进行求解是解决本题的关键,是中档题.
    21.(12分)已知抛物线的焦点为.
    (1)求;
    (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,若求直线方程.
    【答案】(1).
    (2).
    【分析】(1)根据题意可得,解得,即可得出答案.
    (2)由(1)知抛物线方程为,设直线方程为,联立抛物线的方程,设,,,,由韦达定理可得,,由弦长公式可得,解得,即可得出答案.
    【解答】解:(1)因为抛物线的焦点为,
    所以,
    解得.
    (2)由(1)知抛物线方程为,
    因为直线与抛物线交于两点,
    所以直线斜率不为0,
    所以设直线方程为,
    联立,整理得,
    设,,,,
    所以,,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以,
    所以直线方程为.
    【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题中需要一定的计算能力,属于中档题.
    22.(12分)已知焦点在轴上椭圆,长轴长,离心率.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)已知,过原点且斜率为的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
    【答案】(1).
    (2).
    【分析】根据椭圆离心率和长轴长度即可求得椭圆的标准方程;再根据点斜式设出直线的方程与椭圆联立,根据点到直线的距离和韦达定理即可求得面积的最大值.
    【解答】解:(1),
    ,,,
    又椭圆焦点在轴上,
    椭圆方程为;
    (2)设,,,.设直线的方程为与椭圆方程联立,
    得,
    ,,
    又点到直线的距离,
    的面积
    ,(当且仅当时等号成立),
    面积的最大值为.
    【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,属于中档题.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/3/18 0:18:00;用户:初中数学;邮箱:szjmjy@xyh.cm;学号:29841565
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