2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了实数相反数的求解能力，根据实数a的相反数是进行求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【详解】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；
．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
4. 将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点D落在边上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，先根据平行线的性质得出，求出，根据四边形内角和求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
5. 如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可．
【详解】解：作出该几何体的俯视图，画出数字，如图所示，
则搭成该几何体的小正方体的个数最少是4 ，
故选:B．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，画出相应的俯视图是解本题的关键．
6. 已知关于x的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
方程的解为非正数，
，
解得，
又，
，
，
，
的取值范围是．
故选：B．
7. 2024年第六届黑龙江省旅游产业发展大会将在齐齐哈尔市召开，某旅行社推出“鹤城景点惠民日”活动．王先生准备在惠民日当天上午从扎龙自然保护区、明月岛、龙沙动植物园中随机选择一个景点游玩；下午从龙沙公园、和平广场、鹤城公园中随机选择一个景点游玩．王先生恰好上午选中明月岛、下午选中鹤城公园这两个景点概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到王先生恰好上午选中明月岛、下午选中鹤城公园这两个景点的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C、D、E、F表示扎龙自然保护区、明月岛、龙沙动植物园，龙沙公园、和平广场、鹤城公园，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中王先生恰好上午选中明月岛、下午选中鹤城公园这两个景点的结果数有1种，
∴王先生恰好上午选中明月岛、下午选中鹤城公园这两个景点的概率为，
故选：C．
8. 如图，正方形的边长是4，点E，F分别是，AD的中点，点P，Q为正方形边上的两个动点，点P从点D出发，沿匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿匀速运动，动点P，Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点的函数图像，根据点Q在上运动时和Q在上运动时分别表示出的面积，然后根据一次函数和二次函数的图像性质即可得出答案．
【详解】解：当Q在上运动时，
的面积为：，
当Q在上运动时，
的面积为，
综上：当时， ，为一次函数，且y随x的增大而增大．
当时， 为二次函数，且开口向下，
故选：D．
9. 某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ）
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有5种购买方案．
【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或或，
共有5种购买方案．
故选：A．
10. 如图，抛物线的图象与x轴交于，，其中．有下列五个结论：①；②；③；④；⑤若m，为关于x的一元二次方程的两个根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与各项系数的符号，根据二次函数图象判断式子的符号，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象与性质是解题的关键，注意数形结合．
根据抛物线开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置，可确定a、b、c的符号，则判定①；观察图象知，当时，函数值为正，可判定②；抛物线过，得，由图象知，当时，函数值为负，则可判定③；把代入中，结合③中的结论可判定④；由一元二次方程根与系数的关系得，根据，即可判定⑤，最后即可得到答案．
【详解】解：由图象知，抛物线的开口向下，故；抛物线的对称轴在y轴左边，则，故；抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则，所以，故①正确；
观察图象知，当时，函数值为正，即，故②正确；
抛物线过，即，得，由图象知，当时，函数值为负，即，所以，故③错误；
由得，故④错误；
关于x的一元二次方程整理得：，
由一元二次方程根与系数的关系得，根据，则，则，故⑤正确，故正确的序号为①②⑤．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 齐齐哈尔是历史文化名城，拥有“世界大湿地、中国鹤家乡”的美誉，位于中国东北松嫩平原，总面积约平方千米．将用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查由自变量的取值范围，分式、二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：中，，，
解得，，
故答案为：且．
13. 如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，结合，得到，，根据侧面积公式计算即可，被看出来圆锥侧面积计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，，以点O为圆心，为半径作弧，交于点C；分别以点O，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点Q，作射线，点P为射线上任意一点，连接．当__________时，四边形是菱形．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，由作图可知，，是线段的垂直平分线，证明是等边三角形，则，证明，可得，即在的角平分线上，由是菱形，可得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由作图可知，，是线段的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在的角平分线上，
∵是菱形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，余弦等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，余弦是解题的关键．
15. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在y的正半轴上，四边形为矩形，点D为中点，反比例函数的图象过点D，且与相交于点E，连接，若，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．设，则，，然后根据列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵点D为中点，
∴，
把代入，得，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 将矩形纸片沿过顶点的直线折叠，使矩形纸片的一个顶点落在矩形的一条边上，折痕交矩形另一边于点，若，，则折痕__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，分当在上，在上时，分别画出图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，当在上时，如图所示，
依题意，，
∴
∴，
当在上时，如图所示，
设，则，
∵
∴
∴
在中，
解得：,
∴
∴，
故答案为：或．
17. 如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合．点P是两锐角平分线的交点，第一次滚动后得到对应点为；第二次滚动后得到对应点为；……按此规律，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，直角三角形内切圆，能通过三角形的运动方式，依次求出点的坐标并发现规律是解题的关键．根据三角形的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：过点作，垂足分别为，分别过点作轴，轴，轴，垂足为，以点为圆心，长为半径作，
点P是两锐角平分线的交点，
点P为的内心，
又，
，，
A，B，
，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
在中，
，
横坐标为，
，
同理可得，，
由此可见，每滚动三次一个循环，且横坐标的增加为三角形的周长，
，
则的横坐标为，
故点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. （1）计算：．
（2）分解因式：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，涉及求特殊角三角函数值、零指数幂的计算、负整数指数幂的计算及实数的绝对值，分解因式：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】根据因式分解法，即可求解，本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：，
则或，
解得：，．
20. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
安全知识竞赛成绩频数分布直方图 安全知识竞赛成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为__________度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1）150；36；
（2）见解析 （3）144
（4）240人
【解析】
分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）根据A等级的频数和所占的百分比，可以求得m的值，根据C等级的频数即可求出n的值；
（2）根据（1）中m的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出B等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用乘以B等级的百分比即可；
（4）利用3000乘以A等级的百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：150；36；
【小问2详解】
解：B等级的人数为：人，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：，
∴扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：144；
【小问4详解】
解：人，
∴估计该校参加竞赛的1500名学生中达到“优秀”等级的学生人数有240人．
21. 如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，证明即可得到；
（2）根据，，求得，利用勾股定理计算，继而求得，结合,求的长即可．
【小问1详解】
连接，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握切线性质，勾股定理，三角函数的活用是解题的关键．
22. 在一条笔直公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发沿这条公路以m千米/时的速度匀速向C地行驶，中途到达B地并在B地停留1小时后按原速行驶至C地；同时乙车从C地出发也沿这条公路以n千米/时的速度匀速向A地行驶，到达A地后，立即按原路以n千米/时的速度匀速返回到C地．甲、乙两车距A地的距离y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：

（1）__________，__________，A，B两地间的距离为__________千米；
（2）求线段对应的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出乙车返回到C地之前，两车出发多长时间距B地的距离相等．
【答案】（1），，120
（2）
（3）2小时或小时或5小时或7小时
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由题意知A，B两地间的距离为120千米，A，C两地间的距离为320千米，根据路程、速度、时间的关系求解即可；
（2）求得两点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）分四种情况讨论，列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知A，B两地间的距离为120千米，A，C两地间的距离为320千米，
甲车从A地到B地用时3小时，乙车从C地到A地用时4小时，
∴甲车速度千米/时，
乙车速度千米/时，

故答案为：40，80，120；
【小问2详解】
解：由题意知C，两地间的距离为200千米，甲车速度为40千米/时，
∴甲车从B地到C地用时小时，
∴，，
设的函数解析式为，
则，
解得，
∴线段对应的函数解析式为；
【小问3详解】
解：当甲车还未到B地，同时乙车从C地到A也未到B地时，
由题意得，解得；
当甲车还未到B地，同时乙车从C地到A已过B地时，
由题意得，解得；
当甲车从B地出发，而乙车从A地返回但未到B地时，
由题意得，解得；
当甲车从B地出发，而乙车从A地返回且已过B地时，
由题意得，解得；
综上，乙车返回到C地之前，两车出发2小时或小时或5小时或7小时时距B地的距离相等．
23. 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形都是正方形．
（1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若，，，则__________；
（3）连接，如图3，则与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）运用勾股定理的逆定理证明再求的度数即可；
（3）连接，先证明，再由相似三角形的性质得出结论即可；
（4）连接，过点A作，先求出的长，再证明，再由相似三角形的性质得出结论即可．
【详解】（1），理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
；
（2）如图，连接，
正方形中，，
，，
由（1）得，，
，
，
故答案为：；
（3）如图，连接，
四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：；
（4）如图，连接，过点A作，
，，
，
，
，
四边形ABCD和四边形AEFG都是平行四边形，，
，
，
，
即，
故答案为：
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．
24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上，且坐标为，点为直线下方抛物线上的一点，连接与交于点．点是线段上的一动点，从点出发向点匀速运动，同时点从点出发，以与大小相同的速度沿轴负方向匀速运动，当点到达点时停止运动，此时点也随之停止运动，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当时，则的面积为__________；
（3）当时，求点的坐标；
（4）的最小值是__________．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）代入求出即可；
（2）连接，根据以及可以得到是等腰直角三角形，再根据三角比即可求解；
（3）由已知条件得到：为中点，设，则点为，根据坐标中点公式得到，求出，代入可得；（4）先证明，则求最小值也就是求的最小值，连接，分情况讨论：当不共线时以及当共线时，与之间的关系，最终得到的最小值就是，求出即可．
【小问1详解】
将代入二次函数中，得：，
解得：，
抛物线函数解析式是：；
【小问2详解】
当时，对应为，如图，连接，
，
轴，即轴，
，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问3详解】
，
，即：为中点，
设，则点的坐标为，
又在上，
，
解得：，
，
；
【小问4详解】
在第三象限，作，取，连接，
根据题意可知：，
由（2）知：，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
如图，连接，
当不共线时，构成，，
当共线时，为与轴交点，，
，
即：最小值为，也就是最小值为，
，
，
，，
，
即最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、三角比、全等三角形的判定等，解题的关键在于正确画出辅助线．
D：
C：
B：
A：