重庆市2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（五）数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3． 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，直接根据交集的概念得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2. 已知虚数满足，则的实部与虚部的比为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，依题意，根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充分条件得到方程，即可得到、的关系.
【详解】设，依题意，则，
，
又，即，
所以，所以，
则的实部与虚部的比为.
故选：A
3. 正四棱锥的侧棱长为 ，底边长为2，则该四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由勾股定理可得棱锥的高，再由棱锥的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为正四棱锥的侧棱长为 ，底边长为2，则底面面积为，
棱锥的高为，
由棱锥的体积公式可得.
故选：C
4. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A. 12个B. 10个C. 8个D. 7个
【答案】B
【解析】
【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，
当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数，
当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，
因此一共有个，
故选：B
5. 若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A. 21B. 22C. 23D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.
【详解】依题意，，则，
又，则，，
等差数列的公差，因此数列单调递减，
，且，
即任意正整数，恒成立，
所以对任意正整数，都有成立的.
故选：C
6. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得.
【详解】因为，所以，
又由，
所以.
所以
所以，又因为在中，，所以.
故选：A
7. 已知抛物线的焦点为 ，过 且斜率为的直线与抛物线交于、两点(在轴上方)，过点、作准线的垂线，垂足分别为、 线段中点为， 四边形和四边形的面积分别记为，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与轴交于点，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再计算面积即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，设准线与轴交于点，
依题意直线的方程为，
由，解得或，
所以，，
则，，，
所以
，
，
所以.
故选：D
8. 已知正实数 满足 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到.
【详解】由可得
因，则有即（*）
设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知空间中两条直线 和两个平面，则（ ）
A. 若 ，则 没有公共点
B. 若 ， 则m,n 没有公共点
C. 若 ， 则 可能互相平行
D 若 ， 则m,n 可能互相平行
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若 ，则或相交，故A错误；
若 ， 则 没有公共点，故B正确；
若 ， 则 可能互相平行也可能相交，故C正确；
若 ， 则 可能互相平行也可能相交还可能异面，故D正确；
故选：BCD
10. 已知且 则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为且，则，
所以，故B正确，A错误；
，故C正确，D错误；
故选：BC
11. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线过点，倾斜角为，且与双曲线的右支交于两点(在第一象限)，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当时，取得最小值
C. 当时，以为直径的圆与直线相切
D. 当时，内切圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质得渐近线方程，从而可得直线斜率的取值范围，设直线l方程为，与双曲线联立得交点坐标关系，从而可得相交弦长的表达式，逐项分析即可得得结论.
【详解】双曲线的渐近线为，
直线l过点于双曲线右支有两个交点，则直线l的斜率取值范围为，
即，可知，故A正确；
设直线l方程为（），
联立得，，所以，
则，
当时，取最小值，即，故B正确；
当时，即，此时，以AB为直径的圆的圆心到直线的距离为，不相切，故C不正确；
当时，，设，则有解得，，
设内切圆的半径为r，则有，可得，则面积为，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为________．
【答案】40
【解析】
【分析】由，写出展开式的通项，再由通项计算可得.
【详解】因为，
又展开式的通项为（且），
所以的展开式中含的项为，
故展开式中的系数为.
故答案为：
13. 已知，若是线段的中点，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出的坐标，再求，即可得答案.
【详解】因为为线段的中点，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知，且，则的最小值为________，最大值为________．
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】根据题意，采用换元的思想，先把问题转化成三角函数的值域问题，再次换元，转化成三次函数的值域问题，利用函数的单调性可求值域.
【详解】因为且，可设，，，
则，
再令，.则，原式，
设，所以在是增函数，且，.
所以有最小值为1，最大值为．
故答案为：1；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的最小正周期为，且
（1）求的解析式；
（2）设求函数在内的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据最小正周期确定的值，再根据特殊值求解，即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数的性质求解值域即可.
【小问1详解】
由周期，，
又得，即，因为，所以，
从而．
【小问2详解】
由题意，
所以，
因为，所以，
从而，则，所以的值域为．
16. 中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；
（2）按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）73.3分
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；
（2）确定抽取的“问界粉”人数，再确定的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.
小问1详解】
由频率分布直方图可知：
打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，
所以本次调查客户打分的中位数在[70，80）内，由，
所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；
【小问2详解】
根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，
则的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：，，，
所以ξ的分布列为：
所以数学期望．
17. 已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．

（1）当E,F为中点时，证明：平面；
（2）若平面，求的最大值及此时的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值为，
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可.
【小问1详解】
以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，

则，
设，
当E，F中点时，，有，
所以，，，有，，
所以，又平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可得，，，
若平面，则，，所以，
设，则，
由平面ACE，所以，
当时，，有，当时，等号成立，
所以，即，
综上，的最大值为，．
18. 已知函数
（1）若过点的直线与曲线切于点，求的值；
（2）若有唯一零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求，得到切点，再求导，求出得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，再由切线过点，可求的值.
（2）根据参数的不同取值范围，讨论函数的单调性，求出函数的极值，结合当趋近于0时，函数值的符号，又函数只有一个零点，就可以确定的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，，．
有，解得．
【小问2详解】
因为，
令，，，
，，
由，所以在上递减，在上递增..
所以，当时，
（ⅰ）当时，，，
由.
所以在上递减，在上递增，当时，，，
当时，，所以有1个零点．
（ⅱ）当时，由，所以在上递减，在上递增，，
①若，有唯一零点.
②若，，当时，，
当时，，所以有2个零点，不合题意；
③若，，无零点，
（ⅲ）当时，设满足，
①若，在上大于等于0，故有单调递增，
，故有唯一零点；
②若，在递增，在递减，在递增，
，有唯一零点；
③若，在递增，在递减，在递增，，有唯一零点；
综上，若有唯一零点，a的取值范围是或.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
19. 已知椭圆的离心率为且过点
（1）求方程；
（2）若点在上，在下面两个问题中选择一个，并作答．
①若证明直线经过定点．
②若直线的倾斜角互补，证明直线的斜率为定值．
【答案】（1）
（2）① 证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的上的点与离心率列方程组求解，即可得椭圆方程；
（2）解法一：设直线MN：，代入椭圆方程，选①可得，通过直线方程分析确定定点；选②可得，从而可得结论；
解法二：设，，讨论直线斜率是否存在，利用直线与椭圆相交，确定交点坐标关系，选①分析坐标关系得的关系，从而确定定点坐标；选②讨论直线特殊情况和，分析坐标关系即可得结论.
【小问1详解】
由可得，又点在C上有，
解得，，所以C的方程为．
【小问2详解】
解法一：设直线MN：，
由，
（★）
若选①，∵，则得到，
所以MN：，
，所以MN经过定点．
若选②，则DM，DN的斜率之和为0，由（★）式得
∴MN：
故MN的斜率为定值．
解法二：设，
若选①，若MN的斜率不存在，则，，不会存在，
所以设直线MN：，
联立得，
则有，，，，
又，则有，
即为，，
带入化简得，即为，
显然直线MN不过点，即，则有，
则直线MN恒过点．
若选②，若直线DM的倾斜角为0°或90°，则有直线DM，DN重合，则不符合题意，
由条件则有，设直线DM：，
联立，有，
则有，
设DN：，同理可知，
则有，，
则.0
1
2
P