2023-2024学年广西桂林市高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西桂林市高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从15名男生、10名女生中选1人参加比赛，则不同的选法共有( )
A. 25种B. 150种C. 20种D. 100种
2.若函数f(x)的定义域为R，f(x)的导函数为f′(x)，则Δx→0limf(11+Δx)−f(11)3Δx=( )
A. 3f′(11)B. 13f′(11)C. f′(11)D. −f′(11)
3.袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为( )
A. 58B. 38C. 37D. 27
4.已知数列{an}满足an+1=an2an−1，且a1=3，则a8=( )
A. 3B. 13C. 53D. 35
5.一质点A沿直线运动，其位移(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=2t2+t，则A在t=2的瞬时速度为( )
A. 7m/sB. 8m/sC. 9m/sD. 10m/s
6.在等比数列{an}中，a5=1，a6=3，则a8=( )
A. 81B. 243C. 9D. 27
7.广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. 93%B. 93.5%C. 94%D. 94.5%
8.72026被5除所得的余数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导错误的是( )
A. (e3)′=e3B. (xlnx)′=lnx+1
C. (2xx+1)′=x2x(x+1)2D. (e2x+1)′=e2x+1
10.若(3x+2 x)n各项的二项式系数之和为32，则( )
A. (3x+2 x)n的展开式共有5项
B. Cn1=Cn4
C. (3x+2 x)n的展开式的常数项为40
D. (3x+2 x)n的展开式的第5项的系数为5
11.平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则( )
A. 这两组平行线有70个交点B. 这两组平行线可以构成140条射线
C. 这两组平行线可以构成525条线段D. 这两组平行线可以构成945个平行四边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列{an}中，a3+a5+a11+a13=56，则a8= ______．
13.在集合A={−1,1,2,3,4,5,6}的子集中，含有3个元素的子集的个数为______．
14.已知函数f(x)=x3+x，若第一象限内的点P在曲线y=f(x)上，则P到直线l：4x−y−4=0的距离的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序．
(1)共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=−1处取得极大值5．
(1)求a，b的值；
(2)求与直线l：x−12y+3=0垂直，并与曲线y=f(x)相切的直线的方程．
17.(本小题15分)
已知(1+2x)m+(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn,m,n∈N+,m≤n，且a1−a0=2．
(1)求2m−n；
(2)若m+1=n，求a0+a2+a4+a6．
18.(本小题17分)
在数列{an}中，a2=2，a1=0，an+2=3an+1−2an．
(1)证明：{an+1−an}是等比数列．
(2)求{an}的通项公式．
(3)求数列{nan+2n}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax2+2ax+2有两个不同的极值点x1，x2(x1(1)求a的取值范围；
(2)证明：x2−1<1x1−1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由分类加法计数原理可得N=15+10=25．
所以不同的选法共有25种．
故选：A．
根据题意，由分类加法计数原理即可得到结果．
本题考查分类加法计数原理，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：Δx→0limf(11+Δx)−f(11)3Δx=13Δx→0limf(11+Δx)−f(11)Δx=13f′(11)．
故选：B．
根据给定条件，利用导数的定义求解即得．
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设事件A表示第1次摸到红球，事件B表示第2次摸到蓝球，
则P(A)=58，P(AB)=58×37=1556，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=155658=37．
故选：C．
根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查条件概率，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意1an+1=2−1an，即1an+1−1=−(1an−1)，
所以数列{1an−1}是以1a1−1=−23为首项，−1为公比的等比数列，
从而1an−1=23×(−1)n，
所以1a8−1=23×(−1)8=23，解得a8=35．
故选：D．
由递推关系证明数列{1an−1}是等比数列从而得1an−1=23×(−1)n，代入n=8即可求解．
本题主要考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得y′(t)=4t+1，
故A在t=2的瞬时速度为y′(2)=4×2+1=9(m/s)．
故选：C．
求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案．
本题主要考查了变化的快慢与变化率，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为数列{an}为等比数列，且a5=1，a6=3，
则q=a6a5=3，所以a8=a6⋅q2=3×32=27．
故选：D．
根据题意，由条件可得公比q=3，即可得到结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：记事件A=“任取一件，取得优品”，事件B1=“取到甲车间的产品”，事件B2=“取到乙车间的产品”，
则P(B1)=60%，P(B2)=40%，P(A|B1)=95%，P(A|B2)=90%，
所以取到优品的概率P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=95%×60%+90%×40%=93%．
故选：A．
根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：72026=(50−1)1013=50[501012−C10131⋅501011+C10132⋅501010−C10133⋅501009+⋯+C10131012)−1,
而M=501012−C10131⋅501011+C10132⋅501010−C10133⋅501009+⋯+C10131012是整数，50M能被5整除，
所以72026被5除所得的余数为4．
故选：D．
根据给定条件，利用二项式定理求出按5展开的表达式即可．
本题考查的知识点：展开式的应用，整除问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，(e3)′=0，故A错误；
对于B，(xlnx)′=lnx+x⋅1x=lnx+1，故B正确；
对于C，(2xx+1)′=2x⋅ln2⋅(x+1)−2x(x+1)2，故C错误；
对于D，(e2x+1)′=e2x+1⋅(2x+1)′=2e2x+1，故D错误．
故选：ACD．
利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：已知(3x+2 x)n各项的二项式系数之和为32，
则2n=32，
即n=5，
对于选项A，(3x+2 x)n的展开式共有6项，
即选项A错误；
对于选项B，C51=C54，
即选项B正确；
又(3x+2 x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k(3x)5−k(2 x)k=C5k2kx10−5k6，
对于选项C，令10−5k6=0，
得k=2，
即(3x+2 x)5的展开式的常数项为C5222=40，
即选项C正确；
对于选项D，(3x+2 x)5的展开式的第5项的系数为C5424=80，
即选项D错误．
故选：BC．
由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，两组平行线相交有10×7=70个交点，A正确；
对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成4×70=280条射线，B错误；
对于C，10条平行线中的每一条有C72条线段，7条平行线中的每一条有C102条线段，
则可以构成10C72+7C102=525条线段，C正确；
对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，
则可以构成C102C72=945个平行四边形，D正确．
故选：ACD．
根据给定条件，利用两个计数原理，结合组合应用问题逐项分析计算得解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
12.【答案】14
【解析】解：等差数列{an}中，a3+a13=a5+a11=2a8，
故a3+a5+a11+a13=4a8=56，∴a8=14．
故答案为：14．
根据等差数列的性质，即可求得答案．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】35
【解析】解：集合A={−1,1,2,3,4,5,6}中有7个元素，
所以含有3个元素的子集的个数为C73=35．
故答案为：35
根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得．
本题考查集合子集的定义，属于基础题．
14.【答案】2 1717
【解析】解：由f(x)=x3+x，可得f′(x)=3x2+1，又点P在曲线y=f(x)上，
设P(x0,y0)，x0>0，则过点P和l：4x−y−4=0平行的切线的斜率为4，
令f′(x0)=3x02+1=4，得x0=1，
又f(1)=2，∴P(1,2)，
即得y=f(x)在P处的切线方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0，
故4x−y−2=0和l：4x−y−4=0间的距离为d=|−2+4| 42+12=2 1717．
故P到直线l：4x−y−4=0的距离的最小值为2 1717．
故答案为：2 1717．
求出函数的导数，根据导数的几何意义求得过点P的直线和l：4x−y−4=0平行时的切点的坐标，即可求得切线方程，继而求得两平行线间的距离，即可得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，
共有A55=120种不同的安排方案；
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有A41A44=96种不同的安排方案；
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有A22A44=48种不同的安排方案．
【解析】(1)将5项活动进行全排列，即可求得答案；
(2)先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案；
(3)利用捆绑法，即可求得答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx，得f′(x)=3x2+2ax+b，
由于函数f(x)=x3+ax2+bx在x=−1处取得极大值5．
故f′(−1)=3−2a+b=0f(−1)=−1+a−b=5，解得a=−3b=−9；
此时f′(x)=3x2−6x−9，令f′(x)=3x2−6x−9>0，解得x<−1或x>3，
令f′(x)=3x2−6x−9<0，解得−1故f(x)在(−∞,−1)，(3,+∞)上单调递增，在(−1,3)上单调递减，
故函数f(x)=x3+ax2+bx在x=−1处取得极大值，且f(−1)=5，
即a=−3b=−9符合题意，故a=−3b=−9；
(2)由(1)知f(x)=x3−3x2−9x，则f′(x)=3x2−6x−9，
而与直线l：x−12y+3=0垂直的直线斜率为−12，该直线与曲线y=f(x)相切，
设该切线与曲线y=f(x)的切点为(x0,y0)，则f′(x0)=3x02−6x0−9=−12，
解得x0=1，则f(x0)=−11，即切点为(1,−11)，
故与直线l：x−12y+3=0垂直，并与曲线y=f(x)相切的直线的方程为y+11=−12(x−1)，
即12x+y−1=0．
【解析】(1)求出函数的导数，根据题意列出方程组，即可求得答案；
(2)由题意可确定切线的斜率，根据导数的几何意义求出切点坐标，即可求得答案．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)令x=0，则a0=1+1=2，
又a1−a0=2，所以a1=4．
由题意得Cm1⋅2x+Cn1⋅(−x)=a1x=4x，
得2m−n=4．
(2)由2m−n=4m+1=n，得m=5n=6．
令x=1，得(1+2)5+(1−1)6=a0+a1+a2+⋯+a6，①
令x=−1，得(1−2)5+(1+1)6=a0−a1+a2−⋯+a6，②
①+②，得2(a0+a2+a4+a6)=35+0−1+26=306，
所以a0+a2+a4+a6=153．
【解析】(1)令x=0，求得a0，可得a1，利用通项公式求得答案；
(2)根据题意可求得m，n，分别令x=1，x=−1，两式相加求得结果．
本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：在数列{an}中，an+2=3an+1−2an，故an+2−an+1=2(an+1−an)，
又a2=2，a1=0，即a2−a1=2，故an+2−an+1an+1−an=2，
故{an+1−an}是首项为2，公比为2的等比数列；
(2)解：由(1)可得an+1−an=2×2n−1=2n，
故n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=2n−1+2n−2+⋯+21+0=2(1−2n−1)1−2=2n−2，
a1=0也适合该式，故an=2n−2；
(3)解：由(2)可得nan+2n=n⋅2n，
故Tn=1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n，
则2Tn=1⋅22+2⋅23+⋯+n⋅2n+1，
两式相减得−Tn=1⋅2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
故Tn=(n−1)⋅2n+1+2．
【解析】(1)将已知等式变形为an+2−an+1=2(an+1−an)，根据等比数列的定义，即可证明结论；
(2)由(1)可得an+1−an=2n，利用累加法，即可求得{an}的通项公式；
(3)由(2)可得nan+2n的表达式，利用错位相减法，即可求得答案．
本题主要考查等比数列的证明，数列的通项公式及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知f(x)=ex−ax2+2ax+2，函数定义域为R，
可得f′(x)=ex−2ax+2a，
当a≤0时，f′(x)在R上单调递增，
此时f′(x)不存在两个不同的零点，
即f(x)没有两个不同极值点x1，x2，不符合题意；
当a>0时，
不妨令f′(x)=0，
解得12a=x−1ex，
不妨设g(x)=x−1ex，函数定义域为R，
可得g′(x)=2−xex，
当x<2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x>2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=2时，函数g(x)取得极大值，极大值g(2)=1e2，
因为当x<1时，g(x)<0，当x→+∞时，g(x)→0，
所以0<12a<1e2，
解得a>e22，
则a的取值范围为(e22,+∞)；
(2)证明：由(1)知g(x)=x−1ex，
因为g(1)=0，
所以1不妨令g(x1)=g(x2)，
可得ex2ex1=x2−1x1−1，
即x2−x1=ln(x2−1)−ln(x1−1)，
整理得x2−1−ln(x2−1)=x1−1−ln(x1−1)，
不妨设h(x)=x−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=1−1x=x−1x，
当0当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
不妨设k(x)=h(x)−h(1x)，
可得k′(x)=h′(x)+1x2h′(1x)=(x−1)2x2≥0，
所以函数k(x)在(0,+∞)上单调递增，
又k(1)=h(1)−h(1)=0，
所以当0即h(x)因为1所以0即h(x2−1)=h(x1−1)因为1x1−1>1，x2−1>1，
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增，
故x2−1<1x1−1．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况，利用导数得到函数f(x)的单调性和极值，进而即可求解；
(2)结合(1)中信息推出1本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．