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    题型02 规律探索 类型一 数式规律(专题训练)-最新中考数学二轮复习讲义+专题(全国通用)
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    题型02 规律探索 类型一 数式规律(专题训练)-最新中考数学二轮复习讲义+专题(全国通用)

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    这是一份题型02 规律探索 类型一 数式规律(专题训练)-最新中考数学二轮复习讲义+专题(全国通用),文件包含题型二规律探索类型一数式规律专题训练原卷版docx、题型二规律探索类型一数式规律专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。

    1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习,要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习,深化对常考题型的熟悉程度。
    2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法,要通过典型试题的训练,进一步渗透和深刻理解其内涵,重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
    3、拓宽思维的广度,培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来,通过一题多解,积极地探求解决问题的最优解法,这样,对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
    题型二 规律探索
    类型一 数式规律
    1.按规律排列的一组数据:,,□,,,,…,其中□内应填的数是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】
    分子为连续奇数,分母为序号的平方,根据规律即可得到答案.
    【详解】
    观察这排数据发现,分子为连续奇数,分母为序号的平方,
    第个数据为:
    当时的分子为,分母为
    这个数为
    故选:.
    【点睛】
    本题考查了数字的探索规律,分子和分母分别寻找规律是解题关键.
    2.已知为实数﹐规定运算:,,,,……,.按上述方法计算:当时,的值等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】
    当时,计算出,会发现呈周期性出现,即可得到的值.
    【详解】
    解:当时,计算出,
    会发现是以:,循环出现的规律,


    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了实数运算规律的问题,解题的关键是:通过条件,先计算出部分数的值,从中找到相应的规律,利用其规律来解答.
    3.按一定规律排列的单项式:,,,,,,…,第个单项式是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】先分析前面所给出的单项式,从三方面(符号、系数的绝对值、指数)总结规律,发现规律进行概括即可得到答案.
    【解析】解: ,,,,,,…,
    可记为:
    第项为: 故选A.
    【点睛】本题考查了单项式的知识,分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键.
    4.计算的结果是
    A. B.C.D.
    【答案】B
    【解析】
    原式
    =.故选B.
    【名师点睛】本题是一个规律计算题,主要考查了有理数的混合运算,关键是把分数乘法转化成分数减法来计算.
    5.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
    A.0B.1C.7D.8
    【答案】A
    【解析】∵70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,∴个位数4个数一循环,
    ∴(2019+1)÷4=505,∴1+7+9+3=20,∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是:0.故选A.
    【名师点睛】此题主要考查了尾数特征,正确得出尾数变化规律是解题关键.
    6.一列数按某规律排列如下:,…,若第n个数为,则n=
    A.50B.60C.62D.71
    【答案】B
    【解析】,…
    可写为:,…,
    ∴分母为11开头到分母为1的数有11个,分别为,
    ∴第n个数为,则n=1+2+3+4+…+10+5=60,故选B.
    【名师点睛】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中数字的变化规律
    7.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如,位于第4行第3列的数为27,则位于第32行第13列的数是( )
    A.2025B.2023C.2021D.2019
    【答案】B
    【分析】
    根据数字的变化关系发现规律第n行,第n列的数据为:2n(n-1)+1,即可得第32行,第32列的数据为:2×32×(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行,第13列的数据,即可.
    【详解】
    解:观察数字的变化,发现规律:第n行,第n列的数据为:2n(n-1)+1,
    ∴第32行,第32列的数据为:2×32×(32-1)+1=1985,
    根据数据的排列规律,第偶数行从右往左的数据一次增加2,
    ∴第32行,第13列的数据为:1985+2×(32-13)=2023,
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了数字的变化类,解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律,利用规律解决问题
    8.已知有理数a≠1,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是=-1,-1的差倒数是.如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是
    A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5
    【答案】A
    【解析】∵a1=-2,∴a2=,a3=,a4==-2,…,
    ∴这个数列以-2,,依次循环,且-2++=-,
    ∵100÷3=33……1,∴a1+a2+…+a100=33×(-)-2=-=-7.5,故选A.
    【名师点睛】本题考查了规律型:数字的变化类:通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
    9.a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数,如2的差倒数为=-1,-1的差倒数,已知a1=5,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……,依此类推,a2019的值是
    A.5B.-C.D.
    【答案】D
    【解析】∵a1=5,a2=,a3=,a4==5,
    ……∴数列以5,-,三个数依次不断循环,∵2019÷3=673,∴a2019=a3=,故选D.
    【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查,理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键.
    10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为( )
    A.135B.153C.170D.189
    【答案】C
    【分析】由观察发现每个正方形内有:可求解,从而得到,再利用之间的关系求解即可.
    【解析】解:由观察分析:每个正方形内有:
    由观察发现:
    又每个正方形内有:
    故选C.
    【点睛】本题考查的是数字类的规律题,掌握由观察,发现,总结,再利用规律是解题的关键.
    11.实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象,据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是( )
    A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年
    【答案】C
    【分析】
    根据物质所剩的质量与时间的规律,可得答案.
    【详解】
    解:由图可知:
    1620年时,镭质量缩减为原来的,
    再经过1620年,即当3240年时,镭质量缩减为原来的,
    再经过1620×2=3240年,即当4860年时,镭质量缩减为原来的,

    ∴再经过1620×4=6480年,即当8100年时,镭质量缩减为原来的,
    此时mg,
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了函数图象,规律型问题,利用函数图象的意义是解题关键.
    12.如图,点在直线上,点的横坐标为2,过点作,交x轴于点,以为边,向右作正方形,延长交x轴于点;以为边,向右作正方形,延长交x轴于点;以为边,向右作正方形,延长的交x轴于点;…;按照这个规律进行下去,则第n个正方形的边长为________(结果用含正整数n的代数式表示).
    【答案】
    【分析】
    根据题中条件,证明所有的直角三角形都相似且确定相似比,再具体算出前几个正方形的边长,然后再找规律得出第个正方形的边长.
    【详解】
    解:点在直线上,点的横坐标为2,
    点纵坐标为1.
    分别过,作轴的垂线,分别交于,下图只显示一条;
    ,
    类似证明可得,图上所有直角三角形都相似,有

    不妨设第1个至第个正方形的边长分别用:来表示,通过计算得:




    按照这个规律进行下去,则第n个正方形的边长为,
    故答案是:.
    【点睛】
    本题考查了三角形相似,解题的关键是:利用条件及三角形相似,先研究好前面几个正方形的边长,再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧.
    13.如图,在平面直角坐标系中,动点P从原点O出发,水平向左平移1个单位长度,再竖直向下平移1个单位长度得到点;接着水平向右平移2个单位长度,再竖直向上平移2个单位长度得到点;接着水平向左平移3个单位长度,再竖直向下平移3个单位长度得到点;接着水平向右平移4个单位长度,再竖直向上平移4个单位长度得到点,…,按此作法进行下去,则点的坐标为___________.
    【答案】
    【分析】
    先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标,再归纳类推出一般规律即可得.
    【详解】
    解:由题意得:,即,
    ,即,
    ,即,
    ,即,
    观察可知,点的坐标为,其中,
    点的坐标为,其中,
    点的坐标为,其中,
    归纳类推得:点的坐标为,其中为正整数,

    点的坐标为,
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索,正确归纳类推出一般规律是解题关键.
    14.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,因而人们把这个表叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______.
    【答案】3
    【分析】
    通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和.
    【详解】
    解:通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律,
    例如:
    第3行中的2,等于它上方两个相邻的数1,1相加,
    即:;
    第4行中的3,等于它上方两个相邻的数2,1相加,
    即:;
    由此规律:
    故空缺数等于它上方两个相邻的数1,2相加,
    即空缺数为:3,
    故答案是:3.
    【点睛】
    本题考查了杨辉三角数的规律,解题的关键是:通过观察找到数与数之间的关系,从来解决问题.
    15.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,……,我们把第一个数记为,第二个数记为,第三个数记为,……,第个数记为,则_________.
    【答案】20110
    【分析】根据所给数据可得到关系式,代入即可求值.
    【解析】由已知数据1,3,6,10,15,……,可得,
    ∴,,∴.故答案为20110.
    【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点,找出关系式是解题的关键.
    16.根据图中数字的规律,若第n个图中出现数字396,则( )
    A.17 B.18 C.19 D.20
    【答案】B
    【分析】观察上三角形,下左三角形,下中三角形,下右三角形各自的规律,让其等于396,解得为正整数即成立,否则舍去.
    【解析】根据图形规律可得:
    上三角形的数据的规律为:,若,解得不为正整数,舍去;
    下左三角形的数据的规律为:,若,解得不为正整数,舍去;
    下中三角形的数据的规律为:,若,解得不为正整数,舍去;
    下右三角形的数据的规律为:,若,解得,或,舍去。故选:B.
    【点睛】本题考查了有关数字的规律,能准确观察到相关规律是解题的关键.
    17.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是( )
    A.C、EB.E、FC.G、C、ED.E、C、F
    【答案】D
    【分析】设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k(k+1),然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.
    【解析】设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,
    因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k(k+1),应停在第k(k+1)﹣7p格,
    这时P是整数,且使0≤k(k+1)﹣7p≤6,分别取k=1,2,3,4,5,6,7时,
    k(k+1)﹣7p=1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋,若7<k≤2020,
    设k=7+t(t=1,2,3)代入可得,k(k+1)﹣7p=7m+t(t+1),
    由此可知,停棋的情形与k=t时相同,故第2,4,5格没有停棋,即顶点C,E和F棋子不可能停到.
    故选:D.
    【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律,从图形中提取信息,转化为数字信息,探索数字变化规律是解答的关键.
    18.按一定规律排列的一列数:3,,,,,,,,…,若a,b,c表示这列数中的连续三个数,猜想a,b,c满足的关系式是__________.
    【答案】bc=a
    【分析】根据题目中的数字,可以发现相邻的数字之间的关系,从而可以得到a,b,c之间满足的关系式.
    【解析】解:∵一列数:3,,,,,,,,…,
    可发现:第n个数等于前面两个数的商,
    ∵a,b,c表示这列数中的连续三个数,∴bc=a,故答案为:bc=a.
    【点睛】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中数字的变化规律,求出a,b,c之间的关系式.
    19.观察下列等式:;


    ……
    根据以上规律,计算______.
    【答案】
    【分析】
    根据题意,找到第n个等式的左边为,等式右边为1与的和;利用这个结论得到原式=1+1+1+…+1﹣2021,然后把化为1﹣,化为﹣,化为﹣,再进行分数的加减运算即可.
    【详解】
    解:由题意可知,,
    =1+1+1+…+1﹣2021
    =2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
    =2020+1﹣﹣2021
    =.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了二次根式的化简和找规律,解题关键是根据算式找的规律,根据数字的特征进行简便运算.
    20.观察等式:,,,……,已知按一定规律排列的一组数:,,,……,,若,用含的代数式表示这组数的和是___________.
    【答案】
    【分析】
    根据规律将,,,……,用含的代数式表示,再计算的和,即可计算的和.
    【详解】
    由题意规律可得:.

    ∴,
    ∵,
    ∴.


    ……
    ∴.
    故.

    ②-①,得
    ∴=
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查规律问题,用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.
    21.观察下列一组数:﹣,,﹣,,﹣,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是_____.
    【答案】
    【分析】观察已知一组数,发现规律进而可得这一组数的第n个数.
    【解析】解:观察下列一组数:﹣=﹣,=,﹣=﹣=,
    ﹣=﹣,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是:(﹣1)n ,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了规律型:数字的变化类,解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律.
    22.对于正整数,定义,其中表示的首位数字、末位数字的平方和.例如:,.规定,(为正整数),例如,,.按此定义,则由__________,___________.
    【答案】16 58
    【分析】根据题意分别求出F1(4)到F8(4),通过计算发现,F1(4)=F8(4),只需确定即可求解.
    【解析】F1(4)=16,F2(4)=F(16)=12+62=37,
    F3(4)=F(37)=32+72=58,F4(4)=F(58)=52+82=89,
    F5(4)=F(89)=82+92=145,F6(4)=F(145)=12+52=26,
    F7(4)=F(26)=22+62=40,F8(4)=F(40)=42+0=16,…
    通过计算发现,F1(4)=F8(4),
    ∵2019÷7=288…3,∴F2019(4)=F3(4)=58;故答案为16,58.
    【点睛】本题考查有理数的乘方;能准确理解定义,多计算一些数字,进而确定循环规律是解题关键.
    23.a1,a2,a3,a4,a5,a6,…,是一列数,已知第1个数a1=4,第5个数a5=5,且任意三个相邻的数之和为15,则第2019个数a2019的值是__________.
    【答案】6
    【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知:a1+a2+a3=15,a2+a3+a4=15,a3+a4+a5=15,…,an+an+1+an+2=15,
    可以推出:a1=a4=a7=…=a3n+1,a2=a5=a8=…=a3n+2,a3=a6=a9=…=a3n,
    所以a5=a2=5,则4+5+a3=15,解得a3=6,
    ∵2019÷3=673,因此a2017=a3=6.故答案为:6.
    【名师点睛】此题主要考查了规律型:数字的变化类,关键是找出第1、4、7…个数之间的关系,第2、5、8…个数之间的关系,第3、6、9…个数之间的关系.问题就会迎刃而解.
    24.如图,将从1开始的自然数按下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是__________.
    【答案】2019
    【解析】观察图表可知:第n行第一个数是n2,∴第45行第一个数是2025,∴第45行、第7列的数是2025-6=2019,故答案为:2019.
    【名师点睛】本题考查规律型——数字问题,解题的关键是学会观察,探究规律,利用规律解决问题.
    25.观察下列一组数:
    a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,
    它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n个数an=__________.(用含n的式子表示)
    【答案】
    【解析】观察分母,3,5,9,17,33,…,可知规律为2n+1,
    观察分子的,1,3,6,10,15,…,可知规律为,
    ∴an=,故答案为:.
    【名师点睛】此题考查了规律型:数字的变化类,弄清题中的规律是解本题的关键.
    26.如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,0),以OA1为直角边作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以OA2为直角边作Rt△OA2A3,并使∠A2OA3=60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4,并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去,则点A2019的坐标为__________.
    【答案】(-22017,22017)
    【解析】由题意得,A1的坐标为(1,0),A2的坐标为(1,),A3的坐标为(-2,2),
    A4的坐标为(-8,0),A5的坐标为(-8,-8),A6的坐标为(16,-16),A7的坐标为(64,0),…
    由上可知,A点的方位是每6个循环,
    与第一点方位相同的点在x正半轴上,其横坐标为2n-1,其纵坐标为0,
    与第二点方位相同的点在第一象限内,其横坐标为2n-2,纵坐标为2n-2,
    与第三点方位相同的点在第二象限内,其横坐标为-2n-2,纵坐标为2n-2,
    与第四点方位相同的点在x负半轴上,其横坐标为-2n-1,纵坐标为0,
    与第五点方位相同的点在第三象限内,其横坐标为-2n-2,纵坐标为-2n-2,
    与第六点方位相同的点在第四象限内,其横坐标为2n-2,纵坐标为-2n-2,
    ∵2019÷6=336……3,
    ∴点A2019的方位与点A23的方位相同,在第二象限内,其横坐标为-2n-2=-22017,纵坐标为22017,
    故答案为:(-22017,22017).
    【名师点睛】本题主点的坐标的规律题,主要考查了解直角三角形的知识,关键是求出前面7个点的坐标,找出其存在的规律.
    27.观察以下等式:
    第1个等式:,
    第2个等式:,
    第3个等式:,
    第4个等式:,
    第5个等式:,
    ……
    按照以上规律,解决下列问题:
    (1)写出第6个等式:__________;
    (2)写出你猜想的第n个等式:__________(用含n的等式表示),并证明.
    【解析】(1)第6个等式为:,故答案为:.
    (2),
    证明:∵右边==左边.
    ∴等式成立,
    故答案为:.
    【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是根据已知等式得出的规律,并熟练加以运用.
    28.如图,在平面直角坐标系中,轴,垂足为,将绕点逆时针旋转到的位置,使点的对应点落在直线上,再将绕点逆时针旋转到的位置,使点的对应点也落在直线上,以此进行下去……若点的坐标为,则点的纵坐标为______.
    【答案】
    【分析】
    计算出△AOB的各边,根据旋转的性质,求出OB1,B1B3,,得出规律,求出OB21,再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可.
    【详解】
    解:∵AB⊥y轴,点B(0,3),
    ∴OB=3,则点A的纵坐标为3,代入,
    得:,得:x=-4,即A(-4,3),
    ∴OB=3,AB=4,OA==5,
    由旋转可知:
    OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3,OA=O1A=O2A1=…=5,AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4,
    ∴OB1=OA+AB1=4+5=9,B1B3=3+4+5=12,
    ∴OB21=OB1+B1B21=9+(21-1)÷2×12=129,
    设B21(a,),则OB21=,
    解得:或(舍),
    则,即点B21的纵坐标为,
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,旋转以及直角三角形的性质,求出△OAB的各边,计算出OB21的长度是解题的关键.
    29.如图,在平面直角坐标系中,点在直线上,过点作,交轴于点;过点作轴,交直线于点;过点作,交轴于点;过点作轴,交直线于点;…;按此作法进行下去,则点的坐标为_____________.
    【答案】(,0).
    【分析】
    根据题目所给的解析式,求出对应的坐标,然后根据规律求出的坐标,最后根据题目要求求出最后答案即可.
    【详解】
    解:如图,过点N作NM⊥x轴于M
    将代入直线解析式中得
    ∴,45°
    ∵90°



    ∴的坐标为(2,0)
    同理可以求出的坐标为(4,0)
    同理可以求出的坐标为(8,0)
    同理可以求出的坐标为(,0)
    ∴的坐标为(,0)
    故答案为:(,0).
    【点睛】
    本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系,解题的关键在于能够发现规律.
    30.如图,点在直线上,点的横坐标为2,过点作轴,垂足为,以为边向右作正方形,延长交直线l于点;以为边向右作正方形,延长交直线l于点;……;按照这个规律进行下去,点的坐标为___________.
    【答案】
    【分析】
    由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标,根据规律进而可求解.
    【详解】
    解:∵点在直线上,点的横坐标为2,过点作轴,垂足为,
    ∴,,∴A1B1=1,
    根据题意,OA2=2+1=3,
    ∴,,
    同理,,,

    ……
    由此规律,可得:,,
    ∴即,
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律,理解题意,结合图象和正方形的性质,探索点的坐标规律是解答的关键.
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