资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩2页未读，
继续阅读
山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）
展开
这是一份山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题原卷版docx、山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
1. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，
故选：A.
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列下角标和性质直接求解.
【详解】由等比数列的性质易知.
故选：C.
3. 已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
4. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解.
【详解】当时，因为，所以，
又，则，则，
依次类推可知，故，
则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；
当是等比数列时，因为，所以，
当时，，则是公比为的等比数列，
所以，即，
则，，，
由，得，解得，不满足题意；
当，即时，易知满足题意；
所以，即必要性成立.
故选：C.
5. 已知函数，则的值为
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的导数，即可得到结论．
【详解】，
，
令，
则，
则，
则，
则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出的值是解决本题的关键．
6. 设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为奇函数，得，所以，设曲线上切点的横坐标为，由即可求得切点的横坐标的值.
【详解】，
由题意，函数为奇函数，则必有，
解得，即 ，所以，
设曲线上切点的横坐标为，则根据题意得，解得，
故切点的横坐标，
故选：D.
7. 设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以.
故选：D.
8. 定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可.
【详解】因为对任意，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有，设函数，
则函数在上单调递减，且.
当时，不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
9. 下列命题中，不正确的选项有（ ）
A. 若成等比数列，则为的等比中项，且
B. 为等比数列是的充要条件
C. 两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列
D. 若是等比数列，是的前n项和，则，…成等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，等比数列中项可以为负数，举出反例即可；选项B，判断必要性时，举出反例，通项为零的常数列，判断即可；选项C，分别设等比数列的公比为，的公比为，接着分析它们积、商、倒数数列的首项和公比即可；选项D，举出反例，等比数列为……，判断，…是不是等比数列即可.
【详解】对于选项A，若，成等比数列，为的等比中项，但，A错误；
对于选项B，充分性：若为等比数列，可得，得，满足充分性；必要性：若数列是各项为零的常数数列，满足，不满足为等比数列，不满足必要性；B错误；
对于选项C，两个等比数列（公比为）与（公比为），它们的积数列是以为首项，为公比的等比数列，它们的商数列是以为首项为公比的等比数列，倒数数列是以为首项为公比的等比数列，C正确；
对于选项D，若等比数列为……，
显然，……
，…不成等比数列，D错误；
故选：ABD.
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用求导公式可判断ABC选项；求导代入求出可判断D选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，，，
故该质点在时的瞬时速度是，故D正确.
故选：AD.
11. 设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ).
A. 若，则
B. 若，且，则且
C. 若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D. 若，且，则和均是的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 且 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，
所以 的公差为 ，故C错误；
对于D：因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若函数,则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：.
考点：导数的运算.
13. 如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是_________________.
【答案】146
【解析】
【分析】先观察三角形数阵可发现，其最左边一列数构成的数列的项满足递推式，运用累加法可求出数列通项，推理即得.
【详解】将三角形数阵的最左边的一列数记为数列，观察分析可得：，且.
由
，
故，即第10行从左到右的第一个数是137，按照规律，第4个数应该是146.
故答案为：146.
14. 若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和________．
【答案】##
【解析】
【分析】累加法求出数列，再求出，然后用裂项相消法求出
【详解】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以．
所以．
所以．
所以．
故，
所以数列的前n项和．
故答案为：
四．解答题（本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
（4）；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】根据导数的四则运算公式和复合函数的求导公式进行求解.
【小问1详解】
，则；
【小问2详解】
，则
【小问3详解】
设，对求导为，
由，对求导为，
根据复合函数的求导法则，
于是
【小问4详解】
函数，设，
则，
根据复合函数的求导法则，
则；
16. 已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最值．
【答案】（1），或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列前项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，或，
当时，，
当时，，
即，或；
【小问2详解】
当时，，
当时，有最小值，没有最大值；
当时，，
当时，有最大值，没有最小值.
17. 已知为数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用前n项和和通项公式的关系结合等差数列的定义处理即可.
（2）先求出，后运用裂项相消法求即可.
【小问1详解】
对任意的，
则，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，故.
【小问2详解】
当时，，
也满足，故对任意的.
所以，
故.
所以的范围为.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】（1）
（2）在上单调递增；1
【解析】
分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【小问1详解】
当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.
【小问1详解】
，
由已知，
∴得
又
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：
【小问2详解】
定义域为R，
，令得或
①当即时，
令得或，令得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当即时，恒成立，
故R上单调递增；
③当即时，
令得或，令得，
在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
1. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，
故选：A.
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列下角标和性质直接求解.
【详解】由等比数列的性质易知.
故选：C.
3. 已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
4. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解.
【详解】当时，因为，所以，
又，则，则，
依次类推可知，故，
则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；
当是等比数列时，因为，所以，
当时，，则是公比为的等比数列，
所以，即，
则，，，
由，得，解得，不满足题意；
当，即时，易知满足题意；
所以，即必要性成立.
故选：C.
5. 已知函数，则的值为
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的导数，即可得到结论．
【详解】，
，
令，
则，
则，
则，
则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出的值是解决本题的关键．
6. 设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为奇函数，得，所以，设曲线上切点的横坐标为，由即可求得切点的横坐标的值.
【详解】，
由题意，函数为奇函数，则必有，
解得，即 ，所以，
设曲线上切点的横坐标为，则根据题意得，解得，
故切点的横坐标，
故选：D.
7. 设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以.
故选：D.
8. 定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可.
【详解】因为对任意，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有，设函数，
则函数在上单调递减，且.
当时，不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
9. 下列命题中，不正确的选项有（ ）
A. 若成等比数列，则为的等比中项，且
B. 为等比数列是的充要条件
C. 两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列
D. 若是等比数列，是的前n项和，则，…成等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，等比数列中项可以为负数，举出反例即可；选项B，判断必要性时，举出反例，通项为零的常数列，判断即可；选项C，分别设等比数列的公比为，的公比为，接着分析它们积、商、倒数数列的首项和公比即可；选项D，举出反例，等比数列为……，判断，…是不是等比数列即可.
【详解】对于选项A，若，成等比数列，为的等比中项，但，A错误；
对于选项B，充分性：若为等比数列，可得，得，满足充分性；必要性：若数列是各项为零的常数数列，满足，不满足为等比数列，不满足必要性；B错误；
对于选项C，两个等比数列（公比为）与（公比为），它们的积数列是以为首项，为公比的等比数列，它们的商数列是以为首项为公比的等比数列，倒数数列是以为首项为公比的等比数列，C正确；
对于选项D，若等比数列为……，
显然，……
，…不成等比数列，D错误；
故选：ABD.
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用求导公式可判断ABC选项；求导代入求出可判断D选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，，，
故该质点在时的瞬时速度是，故D正确.
故选：AD.
11. 设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ).
A. 若，则
B. 若，且，则且
C. 若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D. 若，且，则和均是的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 且 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，
所以 的公差为 ，故C错误；
对于D：因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若函数,则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：.
考点：导数的运算.
13. 如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是_________________.
【答案】146
【解析】
【分析】先观察三角形数阵可发现，其最左边一列数构成的数列的项满足递推式，运用累加法可求出数列通项，推理即得.
【详解】将三角形数阵的最左边的一列数记为数列，观察分析可得：，且.
由
，
故，即第10行从左到右的第一个数是137，按照规律，第4个数应该是146.
故答案为：146.
14. 若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和________．
【答案】##
【解析】
【分析】累加法求出数列，再求出，然后用裂项相消法求出
【详解】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以．
所以．
所以．
所以．
故，
所以数列的前n项和．
故答案为：
四．解答题（本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
（4）；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】根据导数的四则运算公式和复合函数的求导公式进行求解.
【小问1详解】
，则；
【小问2详解】
，则
【小问3详解】
设，对求导为，
由，对求导为，
根据复合函数的求导法则，
于是
【小问4详解】
函数，设，
则，
根据复合函数的求导法则，
则；
16. 已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最值．
【答案】（1），或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列前项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，或，
当时，，
当时，，
即，或；
【小问2详解】
当时，，
当时，有最小值，没有最大值；
当时，，
当时，有最大值，没有最小值.
17. 已知为数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用前n项和和通项公式的关系结合等差数列的定义处理即可.
（2）先求出，后运用裂项相消法求即可.
【小问1详解】
对任意的，
则，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，故.
【小问2详解】
当时，，
也满足，故对任意的.
所以，
故.
所以的范围为.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】（1）
（2）在上单调递增；1
【解析】
分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【小问1详解】
当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.
【小问1详解】
，
由已知，
∴得
又
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：
【小问2详解】
定义域为R，
，令得或
①当即时，
令得或，令得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当即时，恒成立，
故R上单调递增；
③当即时，
令得或，令得，
在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
相关试卷
山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题原卷版docx、山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测数学试题原卷版docx、山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题原卷版docx、山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
