2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考一模数学模拟试题

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1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上．同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效．
4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 16的平方根是（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义进行计算．
【详解】解：16的平方根是，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是本题的解题关键．
2. 要使分式有意义，则应满足（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件为分母不等于2得出，求解即可．
【详解】解：分式有意义，
，
解得：，
故选：C．
3. 下列整式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
4. “等闲识得东风面，万紫千红总是春．”下列与花元素有关的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．据轴对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项B、C、 D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选A．
5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A 扬州市近三天会下雨
B. 任意画一个五边形，其外角和为
C. 打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛
D. 从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点逐项判断即可，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解此题的关键．
【详解】解：A、扬州市近三天会下雨，是随机事件，故A不符合题意；
B、任意画一个五边形，其外角和为，是不可能事件，故B不符合题意；
C、打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛，是随机事件，故C不符合题意；
D、从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
6. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设有x辆车，根据四人共车，一车空，则一共有人，再根据每2人共乘一车，最终剩余8个人列出方程即可．
【详解】解：设有x辆车，则一共有人，
由题意得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
7. 象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．先按照“马走日”的规则，找出马走一步之后的落点，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大，
最大距离是
故选A．
8. 如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意得，然后让抛物线与直线相等化简得到，，再将m，n代入，从而得到m，n关于，的关系式，再进行计算即可．
【详解】解：∵双曲线y=的两个分支分别位于第二、四象限，
∴，
设抛物线与直线的两个交点坐标为（，
则
化简得，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，双曲线的性质，一元二次方程根与系数的关系，求不等式组的解集，解题关键是得到和的值．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 2024年3月31日“扬马”鸣枪开赛，“唐宋元明清，从古跑到今．”本届“扬马”对赛事线路进行了全新优化，全程约21100米．数据21100用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
详解】解：数据21100用科学记数法表示
故答案为：
10. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11. 已知，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意得到，再把代入所求式子中进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
12. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到即可求解．
【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根．
∴，
∴，
即，
故答案为：2024．
13. 若点、都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数的随的增大而减小，从而得到，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：点、都在一次函数的图象上，且，
一次函数的随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
14. 如图，是的直径，是的弦，若，则______．
【答案】58
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理，由圆周角定理得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 给树木涂白可以起到灭菌杀虫、防晒防冻的作用．现给一棵古树涂白，涂白部位是距地面米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为米，如果每平方米树干表面需用涂白剂升，则共需要涂白剂______升（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆柱体侧面积，根据地面的圆周长乘上高即为圆柱体的侧面积，即可作答．
【详解】解：∵涂白部位是距地面1．5米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为0．4米，
∴（升）
∴则共需要涂白剂升
故答案为：
16. 用方差公式计算一组数据的方差：，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了方差公式，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．对于n个数，方差的计算公式为：．根据方差计算公式列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：10．
17. 如图，⊙P的半径是1，圆心P在函数（x＞-2）的图像上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为_________．
【答案】（1，1）或（-1，3）．
【解析】
【详解】试题分析：⊙P与坐标轴相切时，有ｘ＝±1或ｙ＝1，当ｘ＝1时，ｙ＝1，当ｘ＝－1时，ｙ＝3，所以圆心P的坐标为（1，1）或（-1，3）．
考点：1．圆与函数综合题；2．分类思想．
18. 如图，在中，，，为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点为正方形的对称中心，且，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，连接、，由题意得出、是等腰直角三角形，得出，，证明，求出、长，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，
，
点为正方形的对称中心，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【答案】不等式组的解集为＜，正整数解为1，2
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为＜，
则不等式组的正整数解为1，2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21. 为迎接第29个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C：名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样共调查了______名学生：
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整：（画图后请标注相应数据）
（3）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于______；
（4）该校共有2400名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）126 （4）552人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、 条形统计图、求扇形统计图中圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用B：征文比赛的人数和所占的比例计算即可得出答案；
（2）先求出D：知识竞赛的人数，再补全统计图即可；
（3）用C：名家进校园所占的比例乘以即可得出答案；
（4）用乘以参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：这次抽样共调查了名学生，
故答案为：；
【小问2详解】
解：D：知识竞赛的人数为：（人），
补全统计图如图所示：
【小问3详解】
解：扇形统计图中“”所对应圆心角的度数等于，
故答案为：；
【小问4详解】
解：（人），
估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数为人．
22. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的社团活动，设置了生物社、合唱社、创客社三大板块课程（依次记为A、B、C）．若该校小红和小星两名同学随机选择一个板块课程．
（1）小红选择“合唱社”板块课程的概率是______．
（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星同时选择“创客社”板块课程的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率：
（1）根据概率公式直接求解；
（2）画树状图或列表得出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：小红从3个课程中选择“合唱社”板块课程的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下，
由图可知，共有9种等可能的结果，小红和小星同时选择“创客社”板块课程的结果有1种可能，
∴P(小红和小星同时选择“创客社”板块课程)．
23. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥、幸福安康的寓意，深受大家喜欢，为满足市场需求，某超市打算购进大、小两种型号的吉祥物．已知大号吉祥物比小号吉祥物的进价每个贵50元，用3000元购进小号吉祥物的数量是用1500元购进大号吉祥物数量的4倍．求每个大、小号吉祥物的进价各多少元？
【答案】每个大号吉祥物的进价为100元，每个小号吉祥物的进价为50元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每个小号吉祥物的进价为x元，则每个大号吉祥物的进价为元，根据用3000元购进小号吉祥物的数量是用1500元购进大号吉祥物数量的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设每个小号吉祥物的进价为x元，则每个大号吉祥物的进价为元．
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的解．
．
答：每个大号吉祥物的进价为100元，每个小号吉祥物的进价为50元．
24. 如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当是等边三角形且边长是12时，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，即可得出结论；
（2）过点作于，由等边三角形的性质得，，则，再由含角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，然后由，即可求解．
【小问1详解】
证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：过点作于，如图2所示：
是等边三角形，为的中点
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
25. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求、的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）根据圆周角定理得到，，根据勾股定理得到，根据角平分线的定义得到，求得，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
是的平分线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：为的直径，
，，
，，，
，
的平分线交于点，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
26. 阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
（2）方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】（1）
（2）
（3）2025和2022
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【小问1详解】
解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
27. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．
（1）当时，的度数为______°；
（2）连接，当P为中点时，求证：；
（3）若，是否存在最小值?如果存在，求此最小值：如果不存在，说明理由．
【答案】（1）65 （2）见解析
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，求出和的度数，则可得出答案；
（2）过点作交延长线于，于，则，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出答案；
（3）连接，设，，则，由（2）可知，，证明，得出，可得出答案．
【小问1详解】
解： 四边形是正方形，
，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
过点作交延长线于，于，连接，则，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
为的中点，
，
，
四边形为正方形
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
存在．理由如下：
连接，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理可知，
当取最小值时，有最小值，
而，
当取最大值时，有最小值时，
即：当取最大值时，有最小值，
设，，则，
由（2）可知，，
，
，
，
，
时，有最大值，
此时，，则，
，
即：当时，存在最小值，此时取得最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28. 直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A．
（1）求此抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（，），Q（，），与直线BC交于点，N（，），若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围；
（3）经过点D（0，1）的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时， 是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．

【答案】（1）=； ；（2）1＜＜2；（3）为定值3．
【解析】
【详解】分析：（1）先求得直线y=-x+3与x轴、y轴的交点B、C的坐标，代入入求得a、k的值，即可得抛物线的函数表达式；令y=0，求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线AC的函数表达式即可；（2）根据题意可得y1=y2，即可得x1+x2=2；当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，即可得1<<2；（3）为定值3，设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，所以点N的坐标为（，0）．所以AN=+1=即可得=;将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．求得点M的横坐标为． 过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==．再由△MAG∽△CAO,根据相似三角形的性质可得,,==，由此可得=+==3.
详解：
（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴B(3，0)，C（0，3）；
把B(3，0)，C（0，3）代入得，
，
解得 ，
∴抛物线函数表达式为=；
令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3；
∴A（-1，0）；
设AC的解析式为y=kx+b，
，
解得，
∴直线AC的函数表达式为；
（2）∵y1=y2，∴x1+x2=2．
当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，
当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2 ,
∴1<<2．
(3)为定值3．
理由如下：设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，
∴点N的坐标为（，0）．∴AN=+1=,=;
将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==．
∵△MAG∽△CAO,∴,
∴,==
∴=+==3.
点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式等知识点，解决本题主要利用数形结合思想，解决第三问时求得点N，M的坐标是解题的关键．