2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共三道大题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查常见几何体的三视图，俯视图为从物体上边向下作正投影得到的视图，由此可解．
【详解】解：所给立体图形为三棱柱，从正上方向下看，看到的图形为一个三角形，
故选B．
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放跳水比赛
B. 一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球
C. 抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6
D. 一个多边形的内角和为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此对每一项进行分析即可．
【详解】A，打开电视，可能播放跳水比赛，也可能不播放，因此该事件是随机事件；
B，一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，可能是2个红球，也可能是1个红球和1个白球，因此至少有一个是红球，该事件是必然事件；
C，抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为可能是6，也可能不是6，因此该事件是随机事件；
D，设一个n边形的内角和为，则，解得，不是整数，因此这种情况不存在，该事件是不可能事件；
故选B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A，，计算错误；
B，，计算错误；
C，，计算正确；
D，，计算错误；
故选C．
5. 一个正八边形的内角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和公式，正多边形的性质，设这个正八边形的每一个内角的度数为x，则内角和为，结合多边形内角和公式列方程，即可求解．
【详解】解：设这个正八边形的每一个内角的度数为x，
则，
解得．
故这个正六边形每一个内角的度数为．
故选C．
6. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 8，9B. 9，8C. 8.5，9D. 8.5，7
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中位数，众数，正确把握众数和中位数的定义是解题关键．
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题中根据众数和中位数的定义即可求解．
【详解】解：由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，
故这个射击运动员这次成绩的中位数是，
射击9环出现了6次，故众数为9，
故选：C．
7. 如图，直线，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
又，
，
，
，
故选A．
8. 若，则满足条件的可能是（ ）
A. 8B. 9C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键．
先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即选项C符合题意．
故选C．
9. 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么（ ）

A. 12B. C. 13D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出，设，利用勾股定理解即可．
详解】解：半径垂直于弦，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
10. 某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（ ）
A. 丙队不可能获得8个积分
B. 四支球队的积分不可能是四个连续的奇数
C. 四支球队的积分不可能是四个连续的偶数
D. 若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查逻辑推理与论证，先根据赛制得出比赛总场数、单支球队比赛场数，计算出每支球队所有可能的得分情况，再逐项推理论证即可．
【详解】解：根据赛制，一共需要进行6场比赛，每支球队进行3场比赛，3胜得9分，2胜1平得7分，2胜1负得6分， 1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，1胜2负得3分，3平得3分，2平1负得2分，1平2负得1分，3负得0分，
一支球队可能获得的积分为：9，7，6，5，4，3，2，1，0，
丙队不可能获得8个积分，故A选项描述正确；
甲队1平2负得1分，乙队1胜2负得3分，丙队1胜2平得5分，丁队2胜1平得7分，上述情况下，四支球队的积分是四个连续的奇数，故B选项描述不正确；
6场比赛均没有平局时，四支球队的积分之和最高，为分，6场比赛均是平局时，四支球队的积分之和最低，为分，每只球队均积3分，
四支球队的积分是四个连续的偶数时，只可能是0，2，4，6，总积分是12，与每只球队均积3分矛盾，因此这种情况不存在，故C选项描述正确；
若四支球队的积分是四个连续的整数，则有可能是3，2，1，0或4，3，2，1或5，4，3，2或6，5，4，3，
当得分为3，2，1，0时，总积分为6，与总积分最低为12矛盾，不合题意，
当得分为4，3，2，1时，总积分为10，与总积分最低为12矛盾，不合题意，
当得分为6，5，4，3时，总积分为18，有平局，与没有平局时总积分最高18分矛盾，不合题意，
得分为5，4，3，2时，四支球队得分情况为：1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，3平得3分，2平1负得2分，可知有两支球队没有取得一场胜利，故D选项描述正确；
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查．
12. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程化为整式，然后计算即可，正确计算是解题的关键．
详解】解：，
各项同乘可得：，
去括号可得：，
解得：，
经验证，是该方程的解，
故答案为：．
13. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的特征，解题时，要注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
利用关于x轴对称点的特征分析得出即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，设交于点，连接，根据作图可知，，再根据平行四边形的性质及等角对对边得出，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，设交于点，连接,
由作图可知：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
故答案为：．
15. 某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有________名．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键．
先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答．
【详解】解：羽毛球所占的百分比为，
所以该学校选择羽毛球的学生有名．
故答案为：．
16. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，，即，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值、立方根，再进行加减运算．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
19. 某次台风来袭时，一棵大树（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得，大树被折断部分和地面所成的角，米．
（1）求大树的根部到折断后的树干的距离；
（2）求这棵大树原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）10米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过A点作于点E，用三角函数和勾股定理解求出即可；
（2）通过角度计算证明是等腰直角三角形，推出，，最后根据即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过A点作于点E，
∵，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
即大树的根部到折断后的树干的距离为米；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴这棵大树原来的高度约为10米．
20. 为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有________个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．
【答案】（1）20，
（2）见详解 （3）树状图见详解，概率为
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到相关联的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，还考查了考查了用列表法或画树状图法求概率．
（1）由4名的班级数及其所占百分比可得总班级数，用乘以对应的比例即可得；
（2）根据班级数之和等于总班级数求出2名的班级数，从而补全图形；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及所学生来自同一个班级的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：该校一共有班级（个），圆心角为：，
故答案为：20，；
【小问2详解】
解：参加夏令营人数2名的班级数为：，
补全图形如下：
【小问3详解】
解：记一个班级中的2名志愿者为，另一个班级的2名志愿者为，画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，所选志愿者来自同一个班级的4种情况为 ，
所选志愿者来自同一个班级的概率为：．
21. 如图，在和中，，，，且点在线段上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）由得，继而由即可证明；
（2）先证明出，再由三角形内角和定理得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，即，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：记与交于点O，
∵，，，
∴,
∵,
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴．
22. 2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，两款文化衫，每件A款文化衫比每件款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件款文化衫共需要310元．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元；
（2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，学校计划文化衫费用不超过19000元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案．
【答案】（1）款文化衫和款文化衫每件分别为50元，40元
（2）学校的采购方案为A款200件，B款400件．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式组财务解题的关键
（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元，利用等量关系“购进3件A款文化衫和4件款文化衫共需要310元”列一元一次方程求解即可；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫件，在利用不等关系“学校计划文化衫费用不超过19000元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半”列出关于y的一元一次不等式组，求出y的取值范围，进而完成解答．
【小问1详解】
解：设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元，
由题意可得：，解得：，则．
答：A款文化衫和款文化衫每件分别为50元，40元．
【小问2详解】
解：设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫件，
由题意可得：，解得：，则件．
所以学校的采购方案为A款200件，B款400件．
23. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若是边长为2的等边三角形，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形，得，再由等角的余角相等得，再由外角定理得，继而可求证；
（2）先求出，继而可得,对运用勾股定理求出，再得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∵，
∴,
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
24. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）如图2，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．
①当时，求的长；
②当为何值时，．
【答案】（1）
（2）①；②当时，
【解析】
【分析】（1）连接，由得到，从而，根据是的切线，得到，从而，即，结合即可解答；
（2）①连接，由是直径得到，由得到，解直角三角形得到，连接，则，由得到，解直角三角形得到，，，证明，得到，代入即可解答；
②过点B作于点G，证得，得到，设，则，．过点O作于点N，，，．根据得到，分别代入得到方程，求解即可解答．
小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，是半径，
∴，
∴，
∴，即，
∵
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
连接，则
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
②过点B作于点G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴．
过点O作于点N，
∵，
∴
∴在中，，
∵过圆心O，且，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴当时，．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理．正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
25. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
（1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
（3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值；
（3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围．
【小问1详解】
根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
【小问2详解】
∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
2
5
3
6
4