湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题及参考答案

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的.
1. 求的值为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 30
2. 已如的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 数据的中位数是5
B. 若随机变量满足，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 若随机变量，则
4. 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是
A. B.
C. D.
5. 方程的正整数解的个数为（ ）
A. 56B. 35C. 70D. 66
6. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A. 12600B. 6000C. 8200D. 12000
8. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中任何一人，下列说法正确的是（ ）
A. 2次传球后球在丙手上的概率是
B. 3次传球后球在乙手上的概率是
C. 11次传球后球在甲手上的概率是
D. 次传球后球在甲手上的概率是
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与同学不相邻，共有种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不排头，B不在排尾，共有504种站法
10. 将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A. 事件与相互独立B. 事件与不相互独立
C. D.
11. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A. ，
B. 数列是等比数列
C. 数列等比数列
D. 的数学期望
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一个列联表中，通过数据计算，则这两个变量间有关可能性为________．
参考表格：
13. 的展开式中的系数为____________
14. 已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有__________个．
四､解答题：
15. 假设关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）的有关统计资料如表所示：
（1）求线性回归方程；
（2）估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？
．
16. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）求甲考生正确完成实验操作题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
（3）对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
18. 某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望：
（2）一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：
经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比.
（i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.
附：若随机变量服从正态分布，则..
19. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.使用年限/年
2
3
4
5
6
维修费用/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量（%）
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32