博爱县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知数列满足,则“ ”是“ 是等比数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．在中,D为线段的一个三等分点,.连接,在线段上任取一点E,连接,若,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3．已知集合,若a,b,且互不相等,则使得指数函数,对数函数,幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是( )
A.16B.24C.32D.48
4．设,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知,则( )
A.B.C.D.
6．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,,I是内切圆的圆心,若,则的值为( )
A.B.C.D.
7．已知圆与双曲线（，），若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．若是函数的极大值点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列的前n项和为,且对于恒成立,若定义,,则以下说法正确的是( )
A.是等差数列B.
C.D.存在n使得
10．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的最小正周期为
C.函数的图象的对称轴方程为
D.函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到
11．已知双曲线上一点A到其两条渐近线的距离之积为,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．如图，点O是边长为1的正六边形的中心，l是过点O的任一直线，将此正六边形沿着l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为____________.
13．已知数列的前n项和,当取最小值时,___________________.
14．2023年12月6日上午,2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕.世界5G大会是全球5G领域国际性盛会,也是首次在豫举办.本次大会以“5G变革共绘未来”为主题,以持续推动5G不断演进创新为目标.现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会,并进行高层次、高水平交流研讨.为确保大会顺利进行,面向社会招聘优秀志愿者,参与大会各项服务保障工作.现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作,每人去一个组,其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有_____________种.（用数字作答）
四、解答题
15．已知数列是正项等比数列,其前n项和为,且,.
(1)求的通项公式;
(2)记的前n项和为,求满足的最大整数n.
16．如图,空间六面体中,,,平面平面,为正方形,平面平面,,.
（1）求证：；
（2）若,求平面与平面所成角的余弦值.
17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
18．已知双曲线C的方程为，虚轴长为2，点在C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过原点O的直线与C交于S，T两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
（3）过点的直线交双曲线C于P，Q两点，直线，与x轴的交点分别为M，N，求证：的中点为定点.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(2)函数;若方程在上存在实根,试比较与的大小.
参考答案
1．答案：C
解析：当时,因为,所以,
又,则,则,,
依次类推可知,故,
则是首项为-1,公比为1的等比数列,即充分性成立;
当是等比数列时,因为,所以,
当时,,则是公比为的等比数列,
所以,即,
则,,,
由,得,解得,不满足题意;
当,即时,易知满足题意;
所以,即必要性成立.
故选：C.
2．答案：C
解析：在线段上,,,
为线段的一个三等分点,,,
,
由平面向量基本定理得,,
,
当时,取得最小值.
故选：C.
3．答案：B
解析：若和在上单调递增,在上单调递减,
则有个;
若和在上单调递增,在上单调递减,
则有个;
若和在上单调递增,在上单调递减,
则有个;
若、和在上单调递增,则有个;
综上所述：共有个.
故选：B.
4．答案：B
解析：,,,故,,
要比较与的大小,即比较与的大小,
等价于比较与的大小,等价于比较与的大小,
又
,
故,即,即,
故.
故选：B.
5．答案：B
解析：已知,
则,
.
故选：B.
6．答案：D
解析：,,所以,内切圆的圆心I在边高线上（也是边上的中线）,
,,
以直线为x轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,
则、、,
设的内切圆的半径为,根据等面积法可得：,
解得,即点,则,,,
因为,则,解得,则.
故选：D.
7．答案：B
解析：由，故，则，
即双曲线与圆有交点，
即，即，即，
即双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B.
8．答案：A
解析：,,
若时,当时,;当时,;
则在上单调递减;在上单调递增.
所以当时,取得极小值,与条件不符合,故不满足题意.
当时,由可得或;由可得
所以在上单调递增;在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,取得极大值,满足条件.
当时,由可得或;由可得
所以在上单调递增;在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,取得极小值,不满足条件.
当时,在上恒成立,即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A.
9．答案：BC
解析：当时,,
当时,由,得,故,即,
所以数列为等比数列,首项,公比,故,
A选项错误;
则,所以,
,B选项正确;
当时,,
假设当时,成立,
当时,由
可得,
则,,,,,
将上式相加可得,又,
则,
故
,即时也成立,
故,C选项正确;
D选项,当时,由知不成立,
当时,由C选项知：,则 ,,,,,
上式相加得,
又由上知,,
则
,可得,
又由可得,,
即,D选项错误;
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对于AB,因为函数
,故A错误;
所以,故B正确;
对于C,令,,解得,,故C正确;
对于D,的图象向右平移单位长度可得,
故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：易知：双曲线的渐近线方程为,
设点到两条渐近线的距离分别为,,
则利用点到直线的距离公式可得.
因为,所以,
所以,所以,A正确;
因为,所以,B错误;
因为,
当且仅当时等号成立,C正确;
因为,所以,
当且仅当时等号成立,D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，
此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.
由正六边形的性质和对称性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，则，
故，
因，，解得，
当且仅当时等号成立，
故，
又正六边形的面积，
所以折叠后的面积最大值为：.
故答案为：.
13．答案：3
解析：因为,则当时,,
又当时,,满足,故;
则,
又在单调递减,在单调递增;
故当时,取得最小值,也即时,取得最小值.
故答案为：3.
14．答案：276
解析：根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种,
其中甲、乙都不参与的选派方式共有种,
其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种,
所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.
故答案为：276.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）设的公比为q,则,
因为,所以,
依题意可得,即,
整理得,
解得或（舍去）,
所以.
（2）由（1）可知,
故
显然,随着n的增大而增大,
,
,
所以满足的最大整数.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,平面,平面,
平面.
为正方形,,同理可得平面.
,平面,平面,
平面平面.
平面平面,平面平面,
.
（2）由于为正方形,平面平面,
可得平面.如图,建立空间直角坐标系,
设,根据条件可知
则,,,,,
可知平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
则取,
,
平面与平面所成角的余弦值为.
17．答案：（1）0.4
（2）期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
解析：（1）由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按“A，B，C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，
则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，
，
，
，
，
所以；
甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，
则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000，
，
，
，
，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为虚轴长，所以.
又因为点在双曲线上，所以，
解得.
故双曲线C的方程为.
（2）证明：如下图所示：
设，，则
所以，
因为在双曲线C上，所以，可得；
于是，
所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是.
（3）证明：设，，直线的方程为，如下图所示：
联立，消去x整理可得①，
则，
所以②，
③，
直线的方程为，令，得点M的横坐标为；
同理可得点N的横坐标为；
所以
.
将①②③式代入上式，并化简得到，
所以的中点的横坐标为，
故的中点是定点.
19．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：（1）函数的定义域为,
又,
当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值,
当时,令,解得,
所以当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以当时,取到极小值,无极大值,
综上所述,当时,在上单调递增,无极值,
当时,在上单调递减,在上单调递增,极小值为,无极大值.
（2）因为,,
则,
令,解得或（舍）,
所以当时,单调递增,
所以,即,
令,,则,
若方程在上存在实根,
则方程在,上存在实根,
当时在上单调,则在上有解,
即应该在上有解,但是在上无解,不合题意,
所以在上不单调,即,
由（1）知,即,
所以,,
令,,
则,
所以在上单调递增,
所以,
所以.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000