【期中复习】人教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册物理 第七章 万有引力与宇宙航行知识清单

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二、考点通关
考点1行星的运动
2．行星运动的近似处理
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：
(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq \f(r3,T2)＝k。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】（22-23高一下·安徽滁州·期中）如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由开普勒第三定律可得
解得
故选D。
【变式训练1】（22-23高一下·河南郑州·期中）如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（ ）
A．海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比
B．卫星在Q点的角速度大于P点的角速度
C．从P到M所用时间小于
D．从P到Q阶段，速率逐渐变小
【答案】CD
【详解】A．海王星绕太阳运动，月球绕地球运动，中心天体质量不同，海王星和月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不相等，故A错误；
B．P为近日点，Q为远日点，卫星在Q点的线速度小于P点的线速度，根据，卫星在Q点的角速度小于P点的角速度，故B错误；
C．P为近日点，近日点线速度大，远日点线速度小，所以从P到M所用时间小于，故C正确；
D．从P到Q阶段，从近日点运动至远日点，速率逐渐变小，故D正确。
故选CD。
考点2万有引力定律
1．万有引力定律
F＝Geq \f(m1m2,r2)，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。
测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
2．万有引力的特点
3．应用公式F＝Geq \f(m1m2,r2)的注意事项
(1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。
(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。
(3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。
(4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝Geq \f(m1m2,r2)得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。
【典例2】（多选）（21-22高三上·江西九江·期中）对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（ ）
A．若m1 > m2， 则m1对m2的引力大于m2对m1的引力
B．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对相互作用力
C．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
D．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
【答案】BC
【详解】AB．相互作用的两个物体，两者的万有引力大小与质量的乘积与正比，并不是质量大的引力大，也不是质量小的引力小；m1和m2所受的万有引力大小总是相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力。故A错误，B正确；
C．公式中的G是引力常量，它是由卡文迪许通过实验得出的，而不是人为规定的，故C正确；
D．当两物体间的距离趋向于零时，万有引力定律公式不再适用。故D错误。
故选BC。
【变式训练2】（多选）（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rB的最大值与rB的最小值之比为3：1
C．rA的最大值与rA的最小值之比为3：2
D．rB的最小值小于rA的最大值
【答案】ABD
【详解】A．由图可知，A、B的周期为
所以B与A的绕行周期之比为
故A正确；
B．由图可知，当rB最小时卫星B受到的万有引力最大，有
当rB最大时卫星B受到的引力最小，有
所以rB的最大值与rB的最小值之比为
故B正确；
C．同理，当rA最小时卫星A受到的万有引力最大，，有
当rA最大时卫星A受到的引力最小，，有
所以rA的最大值与rA的最小值之比为
故C错误；
D．根据开普勒第三定律，有
解得
所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。
故选ABD
考点3万有引力与重力的关系
1．万有引力和重力的关系
如图，地球对物体的万有引力F＝Geq \f(m地m,R2)可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤Geq \f(m地m,R2)，重力的方向可能偏离地心。
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即Geq \f(m地m,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq \f(m地m,R2)－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。
(2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝Geq \f(m地m,R2)，故物体在两极处的重力是最大的。
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝Geq \f(m地m,R2)。若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq \f(m地m,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝eq \f(Gm地,R＋h2)＝eq \f(R2,R＋h2)g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例3】（22-23高一下·山东泰安·期中）一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示）
（1）小球抛出的初速度大小；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）该星球的质量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设小球抛出的初速度大小为，则有
解得
（2）设该星球表面的重力加速度为，则有
解得
（3）在星球表面上，由万有引力等于物体的重力，得
解得该星球的质量为
【变式训练3】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）2022年11月30日，我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。中国空间站已基本成型，质量约91吨，它在离地面高度约400km的轨道上绕地球做近似的匀速圆周运动，已知地球半径约为6400km，地球表面重力加速度为，则地球对空间站的万有引力约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在地球表面，万有引力近似等于重力，有
地球对空间站的万有引力为
代入数据解得
故选C。
【答案】B
【解析】由万有引力定律得物体在“两极”处有Geq \f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道处有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝eq \r(\f(GM,11R3))，B正确，A、C、D错误。
考点4天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得天体的密度ρ＝eq \f(3g,4πRG)。
方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得中心天体的密度ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。ρ＝eq \f(3π,GT2)给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期，也不是随中心天体自转的周期。
注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h。
【典例4】（22-23高一下·河南·期中）2020年11月24日成功发射的“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球做圆周运动的公转周期为，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为，引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．月球质量为B．地球质量为
C．月球的密度为D．地球的密度为
【答案】C
【详解】AC．“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动，万有引力提供向心力有
解得月球质量为
又有
则月球的密度为
故A错误，C正确；
BD．月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力有
解得地球质量为
又有
解得地球的密度为
地球半径未知，地球密度不可求，故BD错误。
故选C。
【变式训练4】（22-23高三上·云南保山·期中）2018年2月，我国口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期为T，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G。以周期T稳定自转的星体的密度最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】毫秒脉冲星恰好稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据
解得
脉冲星体积为
所以密度最小值为
故选C。
考点5天体运动中各物理量与轨道半径的关系
1．天体运动的分析与计算
(1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。
(2)常用关系：①Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。②忽略自转时，Geq \f(Mm,R2)＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。
2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小。
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。
(3)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。
(4)由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小。
以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。
【典例5】（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．半径越大，环绕速度越小，周期越大
B．半径越大，环绕速度越大，周期越小
C．卫星的向心加速度与它的质量有关
D．卫星的向心加速度与质量、半径均无关
【答案】A
【详解】AB．根据
周期
半径越大，环绕速度越小，周期越大，故A正确，B错误；
CD．根据
卫星的向心加速度与它的质量无关，与半径有关，故CD错误。
故选A。
【变式训练5】（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancrie”。该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的（ ）。
A．轨道半径之比约为B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为D．向心加速度之比约为
【答案】B
【详解】因为母星的体积为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，所以母星的质量时太阳的60倍，根据万有引力提供向心力有
解得
，
行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，则
，
故选B。
考点6双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
【典例6】（22-23高一下·福建龙岩·期末）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】双星A、B之间的万有引力提供向心力，有
其中
联立解得
故选C。
【变式训练6】（22-23高一下·吉林延边·期中）“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。则可知（ ）
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2：3
C．m1做圆周运动的半径为L
D．其他条件不变, 只两颗星之间的距离增大时两颗星的周期变小
【答案】C
【详解】ABC．根据万有引力提供向心力
解得
因为双星靠相互间的万有引力提供向心力，即向心力大小相等，具有相同的角速度，根据
可得线速度之比为2：3，又
得
故AB错误，C正确；
D．根据
化简可得
两式相加，得
解得
所以其他条件不变, 只两颗星之间的距离增大时，周期增大，故D错误。
故选C。
考点7宇宙速度
1．对三种宇宙速度的理解
(1)第一宇宙速度：是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，其大小为7.9 km/s。
(2)第二宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球的最小发射速度，其大小为11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s。
2．第一宇宙速度的推导
已知地球的质量为m地＝5.98×1024 kg，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。
思路一：万有引力提供向心力，由Geq \f(mm地,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝ eq \r(\f(Gm地,R))＝7.9 km/s。
思路二：由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)＝7.9 km/s。
说明：由第一宇宙速度的两种表达式可知，第一宇宙速度的大小由地球决定。其他天体的第一宇宙速度可以用v＝ eq \r(\f(GM,R))或v＝eq \r(g天体R)表示，式中G为引力常量，M为天体的质量，g天体为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。
3．发射速度与环绕速度
(1)当v发＝7.9km/s时，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)当7.9 km/s