方法必备03基本几何模型（6种模型专练+真题强化训练）-2024年中考数学考点必备

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题型一：对角互补模型（构造全等）
题型二：角含半角模型（必旋转）
题型三：一线三等角模型
题型四：K字模型
题型五：十字架模型
题型六：A字相似模型
题型一：对角互补模型（构造全等）
1．双90°型
（1）条件①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB．
结论：① ；② ；③ ．
【答案】①CD=CE；②OD+OE=OC；③S四边形DOEC=S△ODC+S△OEC=OC2．
（2）当∠DCE的一边与AO的延长线相交时，
条件：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB．
结论：① ；② ；③ ．
【答案】①CD=CE；②OE－OD =OC；③S△OEC－S△ODC =OC2．
【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都成为一个新的真命题；
（2）既可以过点C作“双垂”，即CM⊥OA于点M， CN⊥OE于点N（利用角平分线构造双垂筝型），又可过点C作CG⊥OC交OE的延长线于点G（围绕点C构造旋转全等形）．
2．60°，120°型
（1）条件：①∠AOB＝2∠DCE＝120°；②OC平分∠AOB．
结论：① ；② ；③ ．
答案：①CD＝C E；②OD＋OE＝OC；③ S四边形DOEC＝S△ODC＋ S△OEC＝
（2）当∠DCE的一边与AO的延长线相交时．
条件：①∠AOB＝2∠DCE＝120°；②OC平分∠AOB．
结论：① ；② ；③ ．
答案：①CD＝C E；②OE－ OD＋＝OC；③ S四边形DOEC＝ S△OEC －S△ODC＋＝ ．
【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都能成为一个新命题；
（2）既可以过点C作“双垂”，即CM⊥OA于点M，CN⊥OE于点N(利用角平分线构造双垂筝型)，又可以OC为边，构造等边△OCG，或将线段CO绕点C逆时针旋转60°（围绕点C构造旋转全等形）．
一．填空题（共1小题）
1．（2023•游仙区模拟）如图，在正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，连接交于点，将沿翻折，得到．连接．交于点．若．则的面积是 ．
【分析】如图，取的中点，连接，．连接交于．首先证明是等腰直角三角形求出，，解直角三角形求出，即可解决问题．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．连接交于．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
四边形对角互补，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二．解答题（共4小题）
2．（2023•朔城区一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：
①依据1指的是中点的定义及 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ；
②依据2指的是 ．
（2）请将证明过程补充完整．
（3）善于思考的小虎发现当点是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点，，，和点，，，四点分别共圆，再说明，可证明结论；
（3）连接，，，利用证明，从而得出结论．
【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
（2）解：如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，
则，
点，，，四点共圆，
，
又，
，
同上可得点，，，四点共圆，
，
，
，
点，，在同一直线上；
（3）证明：如图，连接，，，
点是的中点，
，
，，
又，，
，
，
．
【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
3．（2023•宁阳县二模）在四边形中，，对角线平分．
（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积．
【分析】（1）先证得出，再求的度数，得出，进而求出；
（2）先画辅助线：以为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点，作出辅助线后证明为等边三角形，根据四边形内角和为和，求出，进而证明，得出，最后得出；
（3）先证为等腰直角三角形，再证明得出，进而求出，求四边形的面积可以转化为求的面积．
【解答】解：（1），，
，
对角线平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
，
以为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点，
由（1）可得：，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作交延长线于点，
，
对角线平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
在中：
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了四边形的知识、全等三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度．
4．（2023•雨花区校级二模）在中，弦平分圆周角，连接，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且是的中点，的直径是，求的长．
（3）是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；
（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接交于点，连接，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：（2）如图2，连接，，，过点作于点，
，
，，
，
，
设，，
的直径是，
，
，
，
解得：，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
（3）解法一：如图3，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
解法二：如图4，在上截取，连接，，，，
弦平分圆周角，
，
，
，
，
，，
，
为的中线，
，
，
，
．
解法三：如图：连接，，，，将沿翻折得到△，
，，
，
，
由翻折得△，
，，
，
，，三点共线，
，
，
，
又，
，
，
比值不变，恒为．
【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．
5．（2023•肥城市校级模拟）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．
求证：四边形是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知，，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接，先证，推出，再证，利用相似三角形对应边的比相等可求出的长．
【解答】解：（1）证明：四边形为圆内接四边形，
，，
平分，
，
，
，
四边形是等补四边形；
（2）平分，理由如下：
如图2，过点分别作于点，垂直的延长线于点，
则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
是的平分线，即平分；
（3）如图3，连接，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
平分，
，
由（2）知，平分，
，
，
又，
，
，
即，
．
【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
题型二：角含半角模型（必旋转）
1、条件：①正方形ABCD；②∠EAF＝45°．
结论：① ；② ．
答案：结论：DF＋BE＝EF或DF－DE＝EF．
如题图①，将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置，此时C，B，G共线；
如题图②，将△ABE绕点A顺时针旋转90°到△ADG的位置，此时D，G，C共线；
【注意】（1）但凡旋转，必然有边对应相等，只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可:
(2) 旋转后．往往涉及三点共线问题(须简单证明之)；
(3) 旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全 等 (SAS )．
2．条件：①等腰Rt△ABC中；②∠DAE＝45°．
结论： ．
答案：．
如图①②，将△ACE绕点A按顺时针旋转90°到△ABF的位置，此时FB⊥BC，连接DF，可证△ADF≌△ADE（SAS），于是DF＝DE．在Rt△FBD中，由勾股定理可知，进一步得到
1．（2023•定西模拟）（1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
填空：①的度数为 ；
②线段，之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等可求得，根据全等三角形对应角相等即可求得的大小；
（2）易证，可得，进而可以求得，即可求得，即可解题．
【解答】解：（1），，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2），，
理由：如图2，
和均为等腰直角三角形，
，，，
．
在和中，
，
，
，．
为等腰直角三角形，
，
点、、在同一直线上，
．
，
．
，，
．
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．
2．（2023•高新区校级四模）如图，在中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，作射线．
（1）求证：，并求的度数；
（2）若为中点，连接，连接并延长，交射线于点．当，时，
①求的长；
②直接写出的长．
【分析】（1）利用证明，得，即可解决问题；
（2）①利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
②利用等角对等边说明点为的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
【解答】（1）证明：，
，
又，，
．
又，，
，
，
，
．
（2）①在中，，，
，
又为中点，
则．
②在中，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
3．（2023•微山县三模）已知：如图，连接正方形的对角线，的平分线交于点，过点作，交延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由正方形的性质得，，由等角的余角相等可得，于是即可利用证明；
（2）由正方形的性质得，由角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，，进而得到，再由即可证明，利用相似三角形的性质可求出的长，由（1）知，，得到．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形为正方形，
，即，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
由（1）知，，
．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
4．（2023•红河州一模）在正方形中，两条对角线，相交于点，点和点分别是、上的动点，且，连接．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，将 的顶点移到上任意一点处， 绕点旋转，仍满足，交的延长线上一点，射线交的延长线上一点，连接．求证：．
【分析】（1）易求得正方形的边长为4，由同角加等角相等可得，进而利用可证明，得到，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）过点作交于点，则，由同角加等角相等可得，由平行线的性质可得，进而得到△为等腰直角三角形，，于是利用证明△△，得到，根据等量代换和等腰直角三角形的性质即可得．
【解答】（1）解：四边形为正方形，
，，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
在中，；
（2）证明：过点作交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
△为等腰直角三角形，，
，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
．
【点评】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；
（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．
【分析】（1）延长至点，使，连接，先根据证明，得到，，，于是可通过证明，得到，则；
（2）设，则，由（1）可得，于是在中，根据勾股定理列出方程，求解即可；
（3）延长至点，使，连接，在上截取，连接，，易通过证明，得到，，进而得出，再通过证明，得到，在中，根据勾股定理得，再等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，延长至点，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（2）四边形是边长为6的正方形，
，
设，则，
由（1）知，，
，
，，
在中，，
，
解得：，
；
（3），证明如下：
如图，延长至点，使，连接，在上截取，连接，，
由（1）知，，，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．
6．（2023•明水县二模）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【分析】（1）成立，证得、、三点共线即可得到，从而证得．
（2）．证明方法与（1）类似．
【解答】解：（1）成立．
证明：如图，把绕点顺时针旋转，
得到，则可证得、、三点共线（图形画正确）．
，
又，
在与中，
，
，
，
；
（2）．
在线段上截取，
在与中，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
7．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接，，．
（1）当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是 ．
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
（2）当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．
【分析】（1）①根据等边三角形的判定与性质知，，，，则，即可得出；
②由①同理得，得；
（2）①根据等腰直角三角形的判定与性质可得，得；
②分当点在的延长线上或点落在上两种情形，分别画出图形，利用勾股定理表示出的长，进而解决问题．
【解答】解：（1）①，，
是等边三角形，
，，
将线段绕点旋转得到线段，
，，
，
，
故答案为：；
②仍然成立，理由如下：
由①得，，
，
，，
，
；
（2）①，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，，
，
，
即，
，
，
；
②当点在的延长线上时，设，
则，，
，
，
在中，，，
，
，
当点落在上时，设，则，，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手旋转型全等是解题的关键．
8．（2023•乾安县三模）如图，，，连接，点在边上（点不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）若，且与的数量关系满足，求的面积；
（3）若，连接，试说明的面积是一个定值，并求出该定值．
【分析】（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的对应角相等知，得，设，则，，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题；
（3）由（1）同理得，，则，证明，过点作于，于，求出．
【解答】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
在中，，
，
设，则，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，，
；
（3）解：当时，和都是等边三角形，
由（1）同理得，，
，
，
，
，
，
过点作于，于，
，
，
，
的面积是一个定值，为．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解决问题（3）的关键．
9．（2023•昆明模拟）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
则可根据“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．
【分析】（1）利用证明，得，从而得出四边形是平行四边形，再利用证明，得，则是菱形；
（2）把绕点逆时针旋转点得到，连接，根据，知以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，则，根据半角模型知，得，设，则，则，进而解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
是菱形；
（2）解：如图，把绕点逆时针旋转点得到，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，
，
，
由旋转得，，，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
由，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为12，
由勾股定理得，
即，
，
，，
，，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解决问题（2）的关键．
10．（2023•昌平区二模）在等边中，点是中点，点是线段上一点，连接，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点是射线上一点，且，连接，．
（1）补全图形；
（2）求度数；
（3）用等式表示，的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意可直接画出图形，
（2）利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，
（3）添加辅助线得到，进而为等边三角形，可得线段相等，再证明即可得出．
【解答】解：
（1）
（2）是等边三角形，
．
射线绕点顺时针旋转，得到射线，
．
．
，
．
．
（3），
证明如下：在上截取，使，
连接，
连接，
是等边三角形，
，．
是等边三角形．
，．
，，
是等边三角形．
，．
．
．
．
．
，
．
点是的中点，
．
，
，
，
．
【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，本题有一定难度．
11．（2023•佳木斯三模）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【分析】（1）过点作，交于点，根据垂直定义可得，再根据旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用可证，从而可得，再在中，利用等腰直角三角形的性质可得，再根据线段的和差关系以及等量代换可得，即可解答；
（2）当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，利用（1）的解题思路进行推理论证，即可解答；当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，利用（1）的解题思路进行推理论证，即可解答．
【解答】（1）证明：过点作，交于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：当点在的延长线上时，，
理由：如图：过点作，交的延长线于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
当点在的延长线上时，，
理由：如图：过点作，交的延长线于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2023•霍邱县一模）如图1，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，请直接写出线段的长．
【分析】（1）因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可；
（2）延长至，使，连接、，取的中点，连接，可证得是等边三角形，得出，，再证得，推出，，证得，推出，结合点是的中点，得出，是等边三角形，进而可得，，推出，即；
（3）延长至，使，连接、，取的中点，连接，可得，，推出，再由是的中位线，可得，，，再由，可得，进而可得，再证得，得出．
【解答】（1）证明：为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至，使，连接、，取的中点，连接，
由（1）得：，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，即，
，即，
，
点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长至，使，连接、，取的中点，连接，
由（2）知：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形．
13．（2023•大连模拟）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，点在边上，于交于，．求证．
独立思考：（1）请解答王师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作于点，若，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合时，连接，若给出的值，则可求出的值．该小组提出下面的问题，请你解答．”
如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，连接，若，求的长”．
【分析】（1）根据直角三角形性质和已知条件，可推出，再由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）过点作于，先证明，设，则，利用三角形内角和定理和等腰三角形性质可推出，再运用解直角三角形即可求得答案；
（3）如图3，过点作于，过点作于，应用勾股定理可得，利用面积法可得，再证明，可求得，，再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
过点作于，如图2，
则，
由（1）得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作于，过点作于，
由（2）知：，
点与点重合，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
在中，．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2023•南岗区二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
【分析】（1）如图1，连接并延长交于点，根据切线的性质得到根据平行线的性质即可得的答案；
（2）在上取一点，使得根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到是的垂直平分线，求得，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）过点作于，过点作于，设，则，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到（舍，，根据相似三角形的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接并延长交于点，
是切线，为半径，
，
；
（2）证明：在上取一点，使得，
与所对的是，
，
又由（1）得，且是直径，为圆心，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
又是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
（3）解：过点作于，过点作于，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得（舍，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形及勾股定理，勾股定理，平行线的性质，是一道综合性大题，通过本题，我们要学习到线段长度的求法，以及几何图形的性质在实际问题的应用，切线的性质，全等及相似的构造成为解决本题的关键．
题型三：一线三等角模型
如图①，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝90°；
如图②，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝60°；
如图③，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝45°．
1．（2023•石家庄模拟）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
（1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
（2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
【分析】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设与交于点，
当时，，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
（2）连接，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
2．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
【解答】（1）证明：，，
（同角的余角相等）．
在与中，
，
；
（2）由题意知，，．
由（1）知，，
，，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
3．（2023•桥西区二模）如图1，经过的三个顶点，圆心在斜边上，，直径所对的弧长为长的3倍，将等腰的直角顶点放置在边上，于点．
（1） 30 ；
（2）求证：；
（3）如图2，当点落在上时，求的长．
【分析】（1）先求出，即可求出答案；
（2）先同同角的余角相等判断出，进而用即可判断出；
（3）先求出，再判断出，，设，则，进而得出，最后用，建立方程求解，即可得出答案．
【解答】（1）解：连接，
直径所对的弧长为长的3倍，
直径所对的圆心角为所对的圆心角的3倍，
，
，
故答案为：30；
（2）证明：为的直径，
，
，
等腰的直角顶点放置在边上，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）由（1）知，，
在中，，
，
由（2）知，，
，，
设，则，
点落在上，
，
在中，，
，
，
，
即的长为．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握“一线三等角构造全等模型”是解本题的关键．
4．（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；．
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离．
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；
（2）过点作于点，过点作于，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案；
（3）过点作交的延长线于点，证明，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作于点，过点作于，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即点到的距离为；
（3）解：过点作交的延长线于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023•武昌区模拟）【问题背景】（1）如图1，点，，在同一直线上，，求证：；
【问题探究】（2）在（1）条件下，若点为的中点，求证：；
【拓展运用】（3）如图2，在中，，点是的内心、若，，则的长为 10 ．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得，即可证明结论；
（2）由，得，可说明，进而证明结论成立；
（3）过点作交于点，交于点，可知是等腰直角三角形，再说明，可得和的长，最后利用勾股定理求出的长．
【解答】（1）证明：，，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点作交于点，交于点，
点是的内心，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
为直角三角形，
，
故答案为：10．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
6．（2023•灞桥区校级四模）问题提出：（1）如图①，在等边中，，为三等分点，连接，在右侧作，求的长；
问题解决：（2）如图②，在矩形场地中，米，米，为对角线，现在要在边上设置一个门，在上安装一个扫描仪器，该扫描仪的范围为（即，经过测试将扫描范围设置为时，效果最佳，以、、、四点为顶点搭建一个帐篷，则将扫描仪放置距离多长距离时，四边形面积最大，最大面积为多少？
【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得，，从而可得，根据已知易得，从而可得，再利用平角定义可得，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算可求出的长，进而求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，延长到点，使，连接，可得是的垂直的平分线，从而可得米，进而可得，再利用矩形的性质可得，从而在中，利用勾股定理可得米，进而可得，，然后根据已知可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再设米，则米，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出米，进而可得米，再根据四边形的面积矩形的面积的面积，从而利用二次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）是等边三角形，
，，
，
为三等分点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为7；
（2）过点作，垂足为，延长到点，使，连接，
是的垂直的平分线，
米，
，
四边形是矩形，
，
米，米，
（米，
，，
，
，
，
在中，（米，
（米，
设米，则米，
，，
，
，
，
，
米，
米，
四边形的面积矩形的面积的面积
，
当时，四边形的面积最大，最大值为98400平方米，
将扫描仪放置距离米时，四边形面积最大，最大面积为98400平方米．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，二次函数的应用，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023•历下区模拟）如图1，在矩形中，，．点是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为，连接．点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段的长．
【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）①连接，由直角三角形的性质得出，则点在以点为圆心，3为半径的圆上，当，，三点共线时，，此时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案；
②方法一：过点作交于点，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，证明，得出比例线段，列出方程，解得，求出，由（1）得，设，则，得出方程，解得或，则可得出答案．
方法二：过点作交于点，证明，由相似三角形的性质得出，求出，，证明，得出，求出，则可得出，后同方法一可求出的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①连接，如图2，
，
是直角三角形，
点是的中点，
，
点在以点为圆心，3为半径的圆上，
当，，三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：，
当，，三点共线时，，
此时，取得最小值，
在中，，
的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点作交于点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
由（2）可知的最小值为5，
即，
又，
，
，
解得，
即，
由（1）得，
设，则，
，
解得：或，
，，
或．
方法二：
如图4，过点作交于点，
，
，
由（2）可知的最小值为5，
即，
又，
，
，，
由得，
，
即，
解得，
．
由（1）得，
设，则，
，
解得：或，
，，
或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
【分析】（1）把代入求出，即可得到二次函数的表达式；
（2）求出，的坐标，算出的长度，利用求；
（3）①构造一线三等角的全等，建立方程求解；
②因为平分，所以，得到，建立方程求解．
【解答】解：（1）把代入得，，
二次函数的表达式为；
（2）令，得或4，
，
设直线为，代入得，
，
，
，，
，
；
（3）①过作轴，垂足为，
，，
，
，，
，
，，
设，则，代入得
，
，
或，
或．
②连接，，
，，，
，
，
由①知，
，，
，
，
（舍或，
点的坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，并与三角形全等，三角形面积，角平分线结合，渗透了方程和数形结合的思想，关键是如何将几何代数化．
9．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．
观察发现：
（1）如图1，当，两点均在直线的上方时
①猜测线段，与的数量关系并说明理由；
②直接写出线段，与的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．
【分析】（1）①过点作，交的延长线于点，利用证明，得，，再证四边形为正方形，得，从而证明结论；
②由①知：；
（2）过点作，交延长线于点，利用证明，得，，从而证明结论；
（3）过点作，交于点，由（2）同理可证，四边形为正方形，得，，从而得出，由，得，代入即可得出的长．
【解答】解：（1）①，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
；
②由①知：；
（2），理由如下：
如图，过点作，交延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，交于点，
由（2）同理可证，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
10．（2023•武汉模拟）点在的延长线上，且．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若，，若，则的值为 ；（直接写出）
（3）如图（3），连接，若，，求证：．
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，从而证明结论；
（2）过点作交于点，由（1）可得，则，设，则，，，即可得出答案；
（3）延长到点，使得，连接，同理得，得，证明，说明，进而解决问题．
【解答】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：如图（2），过点作交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得，
，
设，则，，
，
，
故答案为：；
（3）证明：如图（3），延长到点，使得，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
又，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，构造一线三等角基本模型是解题的关键．
11．（2023•榆次区一模）问题情境：
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形和四边形都是正方形，边长分别是12和13，将顶点与顶点重合，正方形绕点逆时针方向旋转，连接，．
初步探究：
（1）试猜想线段与的关系，并加以证明；
问题解决：
（2）如图②，在正方形的旋转过程中，当点恰好落在边上时，连接，求线段的长；
（3）在图②中，若与交于点，请直接写出线段的长．
【分析】（1）先判断出，，，进而判断出，得出，，最后用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）先求出，再判断出，得出，，再判断出，即可得出答案；
（3）先判断出，得出，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
证明：如图1，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
延长，相交于点，的延长线交于，
，
，
，
，
，
即，；
（2）在中，，，
根据勾股定理得，，
如图2，过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
（3）如图2，由（2）知，，
四边形是正方形，
，
，
，
由（2）知，，，
，
．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形和解（2）（3）的关键．
12．（2023•利通区校级模拟）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 ；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【分析】【问题一】利用判断出，即可得出答案；
（2）先求出，再利用判断出，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【解答】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题二】如图③，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
①当时，如图④，延长，相交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③当时，如图⑥，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的长度为2或3或6或7．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
13．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）延长、交于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）证，得，则，即可解决问题．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：如图，延长、交于点，
四边形是矩形，
，
由（1）可知，，，
，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）可知，，
由（1）可知，，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、平移的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
14．（2023•商丘二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形是一张矩形纸片，，．先将矩形对折，使与重合，折痕为，沿剪开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为．
【探究发现】（1）如图②，当点与点重合时，交于点，交于点，此时两个矩形重叠部分四边形的形状是 菱形 ，面积是 ；
（2）如图③，当点落在边上时，恰好经过点，与交于点，求两个矩形重叠部分四边形的面积；
【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线所在的直线上时，直线与直线交于点，请直接写出线段的长．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，得，则平行四边形是菱形，因此，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可解决问题；
（2）由勾股定理得，则，，再证，得，即可解决问题；
（3）分两种情况，①点在线段上时，②点在线段的延长线上时，由相似三角形的性质分别求出的长即可．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：四边形和四边形是矩形，
，，，，，
四边形是平行四边形，
由旋转的性质得：，，
，
即，
，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
故答案为：菱形，；
（2）在中，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）分两种情况：
①点在线段上时，如图④，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②点在线段的延长线上时，如图⑤，
，
，，
，
，
即，
解得：；
综上所述，线段的长为或．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
15．（2023•金山区二模）如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）设的中点为点，
①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值；
②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长．
【分析】（1）根据等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理得到结论；
（2）①连接，根据正十边形的中心角可得，推出，根据对应边成比例解题即可；
②由，得，过点作于点，则，等量代换得到的值，然后根据，求出的长，再利用勾股定理求出半径长即可．
相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，
【解答】（1）证明：，，
，
，，
；
（2）①连接，
是的中点，，
，
为圆的直径，
连接，设经过、、三点的圆半径为，
弦恰好是正十边形的一条边，
，
，
又、是、的中点，
，，
，
，
，
，，
，
则，即，
解得：（舍，
，
②，
，
又，
，，
，
设，
由①可知，，
，
，
，即，
如图，过点作于点，
在中，，
，
解得，
，，
，是所在圆的半径，
，
又，
，
，
，
，
，即，
解得：，
连接，
，
的半径长为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似．
16．（2023•郑州一模）在正方形中，是边上一点（点不与点，重合），，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
（1）如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ．
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长的取值范围．
【分析】（1）取的中点，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论；
（2）①在上取一点，使，连接，证，即可得出结论；
②过作交于点，连接、，证是等腰直角三角形，则点与关于对称，得，，当、、三点共线时，即最短，此时，，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即、、三点共线，此时，则；即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，取的中点，连接．
则，
点是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：，；
（2）①成立，理由如下：
如图2，在上取一点，使，连接，
则，
由（1）得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②如图3，过作交于点，连接、，
，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
，
，
当、、三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
此时；
当与相等时，即、、三点共线，
此时，
则；
的周长的取值范围是．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
17．（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形．
（1）当点恰好落在轴上时，如图1，求点的坐标；
（2）当点恰好落在矩形的对角线上时，求点的坐标；
（3）在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，再由勾股定理求出的长，即可得出结论；
（2）分两种情况，①当点恰好落在矩形的对角线上时，设交于点，连接交于点，连接，证，得，，再证点、、三点共线，即可解决问题；
②当点恰好落在矩形的对角线上上时，过点作轴于点，过点作于点，证，求出，，同理，求出，，即可解决问题；
（3）分两种情况讨论，由面积法可求，再由勾股定理求出的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，
，，，
，
点的坐标；
（2）分两种情况：
①如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，
设交于点，连接交于点，连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，
将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，
，，，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
点、、三点共线，
，，
点、点关于对称，
，
点的坐标为；
②如图3，当点恰好落在矩形的对角线上上时，过点作轴于点，过点作于点，
则，
将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，，
同理：，
，
即，
解得：，，
，，
点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为或，；
（3）分两种情况：
①如图4，当点在点右侧时，连接，过点作于点，
，
设，则，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：（负值已舍去），
，
，
点的坐标为，；
②如图5，当点在点左侧时，连接，过点作于点，
，
设，则，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为，或，．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
题型四：K字模型
探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字型是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）已知∠A=∠D=∠BCE=90°，则△ABC∽△DCE；请就图①证明上述“模块”的合理性；
【答案】略
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
（i）如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y=－2x＋3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标；
【答案】（i）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证△ODA∽△BEO，
∴．
点B在直线y=－2x＋3上，可设B（m，－2m＋3），
∴，∴．故．
（ii）如图③，过点A（－2，1）分别作与x轴，y轴平行的线，交直线y=－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标.
【答案】（ii）过点E作EG∥y轴，过点D作DF⊥FG于点F，延长AC交FE于点G（构造“K字模型”），有△EGC∽△DFE，易得D（－2，7），C（1，1）．又由对称可知DE=DA=6，EC=CA=3，△EGC与△DFE的相似比为1∶2，设CG=x，则EF=2x，EG=6－2x，∴DF=12－4x，故12－4x=3＋x，有x=.故E（，）.
归纳若知道直角三角形的两直角边的长度（比值），可通过两个锐角顶点作过直角顶点直线的垂线段构造K字型全等或相似．
1．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）发生变化，．
证明：由（1）得，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
2．（2018·广东佛山·九年级校联考期末）如图，，，E是上一点，使得；
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)线段之间数量关系：，理由见解析．
【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型．
（1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可；
（2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论；
（3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论．
【详解】（1）证明：，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：中，
，，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
．
（3）解：线段之间数量关系：，
理由是：如图，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ．
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．
（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．
【答案】（1），（2）；（3），
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解；
（2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解；
（3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为，
（2）如图，过点作垂足为H，
同理（1）得：，
∴，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即：，
∴，解得：，
∴，，，
∵四边形的面积=矩形的面积，
∴四边形的面积=．
（3）延长到点P使，连接，过点C作，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，（不合题意舍去）
∴
【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．

(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)；
(2)相似，证明见解析；
(3)或．
【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，；
（2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，；
（3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，．
【详解】（1）解：与相似
证明：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
；
（2）解：，
理由：如图，分别延长、交于点P，

∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，，点G是的中点，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
①当点E在上时，如图，

，
，
，
②当点E在的延长线上时，如图，

，
，
．
综上所述，的长为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键．
题型五：十字架模型
1．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形中，点，，分别在边，，上，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连结交于点．则与之间的数量关系为 ．
【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为 ．
【分析】【问题提出】，过作，然后证明即可；
【类比探究】过作，证明即可解答；
【拓展应用】由可设，，则，，由（2）可得，从而可得，在中根据勾股定理即可求出的长，，从而求出．
【解答】解：【问题提出】，理由如下：
过作，如图：
四边形是正方形，
，，，
，
．
，
，
；
【类比探究】，理由如下：
过作，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【拓展应用】，
，
由折叠性质可知，
设，，则，，，
由（2）可知，
，
，
在中，
，
解得或（舍去），
，，
，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
2．（2023•运城二模）综合与实践：
问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：
在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点恰好在边上．
问题解决：（1）如图1，连接，，，与交于点．
①的值为 ， ；
②求的长．
（2）如图2，若将四边形沿渞直线折叠，得到四边形，使得点的对应点恰好在上，点的对应点为，点在上，求的长．
【分析】（1）①根据矩形的每一个角都是直角，以及点恰好在边上和得出旋转角的度数；
②先由旋转的性质可得出：，，然后在中由勾股定理求出的长，进而即可求出的长；
（2）连接，先求出’的长，进而可求出，再利用勾股定理可求出，，然后设，则，，，，最后在中由勾股定理列出关于的方程即可得出答案．
【解答】解：（1）①四边形为矩形，，，，
，，
当矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点恰好在边上时，
旋转角，
由旋转的性质可知：点与点为旋转前、后的对应点，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，
由勾股定理得：．
②由旋转的性质可知：，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，，，
，解得：，
．
故答案为：①，；②1.5．
（2）连接．
由旋转的性质可知：，，
由翻折的性质可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：．
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在△中，，，
由勾股定理得：．
设，则，
，，．
在中，由勾股定理得：，
，解得：，
．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，图形的翻折变换及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转、翻折变换，难点是设置适当的未知数，灵活利用勾股定理进行计算．
3．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：．
【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值．
【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点、分别在边、上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由．
【分析】【问题探究】利用证明，得；
【知识迁移】过点作于点，利用，得，即可得出答案；
【拓展应用】作，交于，，交于，说明，得，且四边形、是平行四边形，进而解决问题．
【解答】【问题探究】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
【知识迁移】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，，
在与中，，，
，
，
，
；
【拓展应用】解：当时，，
作，交于，，交于，
则，，，
，
，
，
，
，，，，
四边形、是平行四边形，
，，
当时，．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．
4．（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证；
【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．求的值；
【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且于点．请直接写出的值．
【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得；
（2）作于点，作于点，证明，得，可得答案；
（3）过点作于点，交于点，首先说明，得，再利用是等腰三角形，得出，进而解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：作于点，作于点，
则，，
，，，
又，
，
，
，
即；
（3）解：过点作于点，交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2023•湘潭县三模）已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点．
（1）如图①，若，，，且，求证：；
（2）如图②，若，，且时，求证：；
（3）如图③，若，，设，当时，直接写出的值．
【分析】（1）根据矩形的判定知四边形是矩形，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知，则，从而证明结论成立；
（2）首先可知，得，再通过，得，进而解决问题；
（3）作于点，交的延长线于点，连接，设，可知四边形是矩形，利用证明，得，根据，得，则，在中，利用勾股定理列方程，再利用（1）中基本模型解决问题．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于点，交的延长线于点，连接，设，
，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，构造模型、应用模型解决问题是解题的关键．
题型六：A字相似模型
1．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形中，，点在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如果点在边上，且，求证：．
【分析】（1）利用平行线的性质证明，然后利用已知条件可以证明，由此即可解决问题；
（2）利用（1）的结论和已知条件可以证明，接着利用相似三角形的在即可求解．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
，
；
（2），且，
，
而，
，
，
．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．
2．（2023•西安校级模拟）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
【分析】过作于，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长．
【解答】解：如图所示，过作于，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
桥的长度为80米．
【点评】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“”型或“”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
3．（2023•金安区校级模拟）如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于．
（1）求证：点为的中点；
（2）若的直径为3，，求的长．
【分析】（1）连接，，由题意可得，，进而可得，可得，根据，，可得，进而可得，即可得证．
（2）在中，根据勾股定理可求得，再利用，可得．
【解答】（1）证明：连接，，
由题意可得，，
则，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点．
（2）解：，
，
在中，．
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理，熟练掌握与圆有关的性质以及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（2023•拱墅区模拟）如图，在中，平分，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【分析】（1）利用角平分线的定义，平行线的判定定理和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论，相似三角形的性质定理，列出比例式求得，，再利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
设，则，
，
，
，
，
，．
由（1）知：，
．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（2023•平遥县二模）下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识 相似三角形的对应边成比例 ；（写出一个即可）
（3）任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．
【分析】任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出的长；
任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
【解答】解：任务一：由题知，
．
，
又，，，
，
解得．
故河流的宽度为．
任务二：本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识．
任务三：在河对岸找一个参照物，站在的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与、共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．
【点评】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
6．（2023•香洲区一模）如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）利用证明即可；
（2）利用（1）的结论和平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正确使用平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
7．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，已知在四边形中，，于，，，，点在边上，联结分别交、于点、．
（1）求线段的长；
（2）当时，设，，求关于的函数解析式．
【分析】（1）过点作于，先计算出，再根据等腰三角形的性质得，然后证和相似，进而利用相似三角形的性质可得的长，最后利用勾股定理可求出的长，进而可得出答案；
（2）过点作于，过点作于，由，得，，证四边形为矩形得，再证和相似得，进而得，，最后再证和相似，利用相似三角形的性质即可得出关于的函数解析式．
【解答】解：（1）过点作于，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
（2）过点作于，过点作于，
，，
，
由（1）可知：，
，
，，，，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
即：，
即：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
即：，
，，
，
，
，
，
即：，
整理得：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，难点是准确的作出辅助线，构造相似三角形．
8．（2023•梁溪区校级二模）如图，在中，，，，点为边上的任意一点，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，探究：是否存在点，使得为直角三角形？
（1）请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点，不同的折叠方式确定的点请在不同的图中作出来（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出对应的线段的长．
【分析】（1）根据为直角三角形，分两种情况进行讨论：①当时，通过作的平分线交于点，沿折叠即可；②当时，通过作的平分线交于点，再作的垂直平分线交于点，沿折叠即可；
（2）设，则，①先求出，，然后在中利用勾股定理求出即可；②由作图及折叠的性质可知，再证和相似，然后利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：（1）存在点，使得为直角三角形．
为直角三角形，
有以下两种情况：
①当时，折叠方法如下：
作的平分线交于点，
沿折叠，则为直角三角形；
②当时，折叠方法如下：
作的平分线交于点，作的垂直平分线交于点，
沿折叠，则为直角三角形．
（2）①；②．
理由如下：设，则，
①在中，，，
由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
②由作图可知：，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
即：，
解得：，
．
综上所述：的长为或．
【点评】本题主要考查了图形的折叠变换和性质，基本尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握图形的折叠变换，难点是根据为直角三角形进行分类讨论．
9．（2023•原州区校级二模）如图，在中，，米，米．点在线段上，从向运动，速度为1米秒；同时点在线段上，从向运动，速度为2米秒．运动时间为秒．
（1）当为何值时，？
（2）当为何值时，的面积最大？并求出这个最大值；
（3）当为何值时，与相似？
【分析】（1）用表示出和的值，根据，得到关于的方程求得值即可；
（2）作于，证得，从而得到比例式，然后用表示出，从而计算其面积得到有关的二次函数求最值即可；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）从向运动，速度为1米秒；同时点在线段上，从向运动，速度为2米秒．运动时间为秒．
，，
，
，
，
解得：，
当为4时，．
（2）在中，
，
米，
如图，作于，
，
是公共角，
，
，
即：，
，
，
当时，最大值平方米；
（3）分两种情况讨论：
①如图1，，
则有，即，
解得：，
符合题意；
如图2，，
则，即，
解得：，符合题意；
综上所述，当或时，与相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解．
10．（2023•碑林区校级模拟）如图，是一个路灯杆，在灯光下，小明在处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米，已知小明的身高为米，求路灯的高．
【分析】设米，则米，米，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：设米，则米，米，
，，
，
，
，
，
同理：，
，
，
解得：．
，
．
路灯的高为5.6米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，中心投影，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
11．（2023•泰山区校级三模）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，且，．
（1）求证：①；②；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）①利用相似三角形的判定与性质解答即可；
②利用①的结论，三角形的外角和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）过点作于点，交于点，连接，利用等腰三角形的三线合一的性质和垂直平分线的性质得到；再利用等腰三角形的性质和平行线的判定定理得到；利用相似三角形的判定与性质得出比例式分别得到与长，则．
【解答】（1）①证明：，
，
，
，
；
②证明：，
．
，，
由①知：，
，
；
（2）解：过点作于点，交于点，连接，如图，
，，
，
即为的垂直平分线，
，
，
由（1）②知：，
，
，
，
．
，
，
，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2023•丹徒区二模）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”．
（1）如图2，．
①求证：点是点的“和谐点”；
②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”．
①若，求出点的坐标；
②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 ．
【分析】（1）①由考虑平角，只要证明即可；
②分别做线段、的中垂线，两条中垂线交于点，则为的外心，以为圆心，为半径作圆交于点，点即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；
（2）①通过求出的长度，然后求出直线的表达式为：，设点的坐标为，利用、两点间的距离公式解方程求出点；
②求出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时．
【解答】（1）①证明：，，
，
，
，
点是点的“和谐点”；
②解：以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求，如图：
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
也是点的“和谐点”；
（2）解：①，，
，
，，
，
，
直线的表达式为：，
设点的坐标为，
点，
，
，
，，
，或，；
②当点与点重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：
点，，
，
由①知，
，即，
，
；
当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图：
此时的外接圆与线段相切，则，且为直径，
，
点的坐标为，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
综上，若满足条件的点恰有2个，长的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，渗透了方程和数形结合的思想，关键是理解定义，紧靠．对于（2）②，关键是找出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时．
一．解答题（共11小题）
1．（2023•大连）如图，，，的延长线与相交于点，．求证：．
【分析】由已知，可得到，再利用证明，从而得到．
【解答】证明：，，
，
在和中，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是解题的关键．
2．（2023•无锡）如图，是的直径，为的切线，与相交于点．，交的延长线于点，．
（1）求 的度数；
（2）若，求的半径．
【分析】（1）连接，利用切线性质和平行线性质求得，再利用圆周角定理求得的度数，最后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案；
（2）结合（1）中所求易证得，再利用相似三角形性质及勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即的半径为2．
【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用相似三角形的判定及性质求得是解题的关键．
3．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度数是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）规律可知：，
，
又，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
4．（2022•泰州）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
（1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
（2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
【分析】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设与交于点，
当时，，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
（2）连接，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
5．（2022•凉山州）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40．求的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
菱形的面积的面积，
，
，
，
的长为10．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
6．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
（2）桌面上一点恰在点的正下方，且，，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 130 ．
【分析】（1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可；（2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值．
【解答】解：（1）设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，
，
，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
（2）①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由①，
，
，
即的长度的最大值为．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键．
7．（2022•哈尔滨）已知矩形的对角线，相交于点，点是边上一点，连接，，，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，设与相交于点，与相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用可证，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得，，从而可证，进而可得，，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，的面积的面积，再证明，从而可得的面积的面积的面积，最后利用线段中点和平行线证明8字模型全等三角形，即可解答．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
；
（2）解：，，，都与的面积相等，
理由：四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
，
，
，
的面积的面积的面积，
，
，，
，
的面积的面积，
，，，都与的面积相等．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2022•郴州）如图1，在矩形中，，．点是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为，连接．点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段的长．
【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）①连接，由直角三角形的性质得出，则点在以点为圆心，3为半径的圆上，当，，三点共线时，，此时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案；
②方法一：过点作交于点，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，证明，得出比例线段，列出方程，解得，求出，由（1）得，设，则，得出方程，解得或，则可得出答案．
方法二：过点作交于点，证明，由相似三角形的性质得出，求出，，证明，得出，求出，则可得出，后同方法一可求出的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①连接，如图2，
，
是直角三角形，
点是的中点，
，
点在以点为圆心，3为半径的圆上，
当，，三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：，
当，，三点共线时，，
此时，取得最小值，
在中，，
的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点作交于点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
由（2）可知的最小值为5，
即，
又，
，
，
解得，
即，
由（1）得，
设，则，
，
解得：或，
，，
或．
方法二：
如图4，过点作交于点，
，
，
由（2）可知的最小值为5，
即，
又，
，
，，
由得，
，
即，
解得，
．
由（1）得，
设，则，
，
解得：或，
，，
或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2022•湘潭）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
（1）特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线从图①状态开始绕点顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【分析】（1）易证和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出，和的长即可．
（2）（Ⅰ）易证，由即可得出，进而解答即可；
（Ⅱ）易证，由即可得出，进而解答即可；
（3）根据题意可证明，由此可得出的长，根据，可得出结论．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）（Ⅰ）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（Ⅱ）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（3）由（2）可知，，
，
，
，
，，
，
．
．
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．
10．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 ；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【分析】【问题一】利用判断出，即可得出答案；
（2）先求出，再利用判断出，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【解答】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题二】如图③，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
①当时，如图④，延长，相交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③当时，如图⑥，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的长度为2或3或6或7．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
11．（2023•益阳）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，．
（1）求证：△；
（2）求证：；
（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．
【分析】（1）利用证明；
（2）要证，也就是证明，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明即可．
（3）设，利用建立方程求解．
【解答】（1）证明：，，
，
，，
△；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
设，则，，
，
，
△△，
，
，
，
，平分四边形的面积，
，
，
，（舍，
．
【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3），设，利用什么等量关系建立方程是关键．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知内接于，点在上（不与点，，重合），过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，．求证：点，，在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）
如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，
则，（依据
点，，，四点共圆，
．（依据
又，
．
同上可得点，，，四点共圆，
题目
测量河流宽度
目标示意图
测量数据
，，