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所属成套资源：苏科版2023-2024学年八年级数学下册期中复习讲练测
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【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 期中考前必刷卷（一）.zip
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这是一份【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 期中考前必刷卷（一）.zip，文件包含期中讲练测苏科版八年级下册数学期中考前必刷卷一原卷版docx、期中讲练测苏科版八年级下册数学期中考前必刷卷一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第七章-第十章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．下列各式：x-1π，x-1x，x2-y2，2x+13m，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母.．根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如AB（B≠0，B中含有字母），逐一判断即可．
【详解】解：x-1x、2x+13m是分式，共有2个，
故选：B．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
3．下列调查方式较为合理的是 ( )
A．了解某班学生的视力情况，采用抽样的方式
B．调查某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式
C．调查某湖的水质情况，采用抽样的方式
D．调查全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式
【答案】C
【分析】
本题考查全面调查（普查）和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A、了解某班学生的视力情况，人数较少，调查方便，适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；
B、调查某品牌电脑的使用寿命，调查具有破坏性，适宜采用抽样的方式，故此选项不符合题意；
C、调查某湖的水质情况，调查不方便，适宜采用抽样的方式，故此选项符合题意；
D、调查全国初中学生的业余爱好，调查范围太大，不方便，适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2x+63y+6B．2x2yC．x+y3x-2yD．x+y2x-1
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案．
【详解】解：A. 2x+63y+6中x，y的值均扩大为原来的2倍得到4x+66y+6=2x+33y+3，故原选项不合题意；
B. 2x2y中x，y的值均扩大为原来的2倍得到8x22y=4x2y，故原选项不合题意；
C. x+y3x-2y中x，y的值均扩大为原来的2倍得到2x+2y6x-4y=x+y3x-2y，故原选项符合题意；
D. x+y2x-1中x，y的值均扩大为原来的2倍得到2x+2y4x-1，故原选项不合题意．
故选：C．
5．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程30千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程25千米．走路线b比路线a的平均速度提高40%，时间节省20分钟，问走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时．根据题意，可列方程（ ）
A．30x-251+40%x=20B．251+40%x-30x=2060
C．251+40%x-30x=20D．30x-251+40%x=2060
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列方式方程是解题的关键；根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合走路线b比路线a时间节省20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/小时，
由题意得，30x-25(1+40%)x=2060，
故选：D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质．根据矩形的性质得到∠DCA=∠BAC，由折叠的性质得到∠DCA=∠D'CA，得到∠CAF=∠D'CA，根据等腰三角形的判定定理得到FA=FC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA=∠D'CA，
∴∠CAF=∠D'CA，
∴FA=FC，
在Rt△BFC中，BF2+BC2=CF2，即42+(8-AF)2=AF2，
解得，AF=5，
则△AFC的面积=12×AF×BC=12×5×4=10，
故选：C．
7．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解】解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝12AC，EH＝12BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝12AC，EH＝12BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．
8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF=45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB=∠AEF；③正方形ABCD的周长=2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
【答案】C
【分析】当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE和△ADF的边对应不相等，由此判断①；延长CD至G，使得DG=BE，证明△ABE≌△ADG(SAS)和△AEF≌△AGF(SAS)，即可判断②；通过周长公式计算，再由BE+DF=EF，即可判断③；证明S△ABE+S△ADF=S△AGF，再由三角形的底与高的数量关系得S△AGF>S△CEF，进而判断④．
【详解】解：①当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF，
则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；
②延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，如图1，
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,∠ABE=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG,∠AEB=∠G,AE=AG，
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠AEF=∠G，
∴∠AEB=∠AEF，故②正确；
③∵△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC，
∵正方形ABCD的周长=4BC，
∴正方形ABCD的周长=2△CEF的周长，故③正确；
④∵△ABE≌△ADG(SAS)，
∴S△ABE=S△ADG，
∴S△ABE+S△ADF=S△AGF，
∵GF=EF>CF，AD≥CE，
∴12GF⋅AD>12CF⋅CE，即S△AGF>S△CEF，
∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分。）
9．分式x+6x2-x与1x2-2x+1的最简公分母是 ．
【答案】xx-12
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确的对分母分解因式．将各个分式的分母因式分解即可求解．
【详解】解：∵ x+6x2-x=x+6xx-1，1x2-2x+1=1x-12，
∴分式x+6x2-x与1x2-2x+1的最简公分母是xx-12，
故答案为：xx-12．
10．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得AC=80m，BC=70m，DE＝50m，则AB的长是 m．
【答案】100
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100米．
故答案为：100．
11．检查2500件食品的质量，按2%的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，总体是 ，样本容量是 ．
【答案】 2500件包装食品的质量 50
【分析】本题考查了总体、样本容量的概念．根据总体是指考查的对象的全体，样本容量是个体的数量即可解答．
【详解】解：检查一箱装有2500件包装食品的质量，按2%的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，
总体是2500件包装食品的质量，
样本容量是抽取的2500×%=50．
故答案为：2500件包装食品的质量； 50．
12．已知x=1时，分式-x+2bx-a无意义；x=4时，分式的值为0，则a+b的值为 ．
【答案】-1
【分析】
本题考查了分式的知识；当分式无意义时，分母x-a=0；分式是值为零时，分子x+2b=0，结合题意，分别求出a，b的值，故可求解．
【详解】∵x=1时，分式-x+2bx-a无意义，
∴1-a=0，
∴a=1，
∵x=4时，分式的值为0，
∴4+2b=0，
∴b=-2，
∴a+b=1+-2=-1，
故答案为：-1．
13．我国不同年份的国内生产总值如下：
请你选用合适的统计图反映我国经济建设的成就，应选用 统计图为宜．
【答案】折线
【分析】此题考查了统计图的选择，要求我们熟练掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点．
根据折线统计图表示的是事物的变化情况，即可得出答案．
【详解】解：反映我国经济建设的成就，应选用折线统计图为宜．
故答案为：折线．
14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 cm2．
【答案】65
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为10×10×0.65=65cm2，
故答案为：65．
15．在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．
【答案】1
【分析】
本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，
故答案为：1．
16．已知关于x的分式方程2x+3x-2=kx-2x+3+2的解满足-4【答案】-7【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式组，先求出分式方程的解，根据-4【详解】解：由分式方程2x+3x-2=kx-2x+3+2得，x=k-217，
∵分式方程2x+3x-2=kx-2x+3+2的解满足-4∴-4即k-217>-4k-217<-1，
解得-7又∵x-2x+3≠0，
∴x-2≠0且x+3≠0，
即k-217-2≠0且k-217+3≠0，
解得k≠35且k≠0，
∴k的取值范围为-7故答案为：-717．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为 ．
【答案】4.8
【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用，根据三角形的面积求出PE+PF=AG是解题的关键，作辅助线是难点．
过点A作AG⊥BD于G，连接PO，根据勾股定理列式求出BD的长度，再根据ΔABD的面积求出AG，然后根据ΔAOD的面积求出PE+PF=AG，从而得解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥BD于G，连接PO，
∵AB=6，AD=8，
∴BD=AB2+AD2=10，
∴SΔABD=12BD⋅AG=12AB⋅AD，
即12×10⋅AG=12×6×8，
解得AG=4.8，
在矩形ABCD中，AO=OD，
∴SΔAOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AG，
∴PE+PF=AG=4.8．
故答案为：4.8．
18．如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△EFB≌△ACB和△CDF≌△CAB即可判断①；当∠BAC=130°时，求出∠EAD=110°即可判断②；由AB=AC得到AE=AD即可判断③；由∠BAC=150°得到∠EAD=90°，得到ADFE是矩形，再结合③即可判断④；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键．
【详解】解：①∵△ACD、△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC，AC=AD，
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF，
∴△EFB≌△ACBSAS，
∴EF=AC，
∴EF=AC=AD，
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE，
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形 ADFE是平行四边形，故结论①正确；
②当∠BAC=130°时，
∠EAD=360°-∠BAE-∠BAC-∠CAD=360°-60°-130°-60°=110°，
由①知四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE不是矩形，故结论②错误；
③由①知AB=AE，AC=AD，四边形 AEFD是平行四边形，
∴当AB=AC时，AE=AD，
∴平行四边形ADFE是菱形，故结论③正确；
④当∠BAC=150°时，
∠EAD=360°-∠BAE-∠BAC-∠CAD=360°-60°-150°-60°=90°，
∵ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是矩形，
又由③知四边形ADFE是菱形，
∴四边形ADFE是正方形，故结论④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（第19小题6分，第20、21小题各7分，第22、23、24小题各8分，第25小题9分，第26小题11分，共64分）
19．化简：x-3x-1x+1÷x2-1x+12，然后再从x=-1，0，1中选择一个合适的值，代入求值．
【答案】1x+1，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算．根据分式的混合运算化简，再带值计算即可．
【详解】解：原式=xx+1x+1-3x-1x+1÷x-1x+1x+12
=x2+x-3x+1x+1⋅1x-12
=x-12x+1⋅1x-12
=1x+1
当x=0时，
∴原式=10+1=1．
20．在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图如图所示，其中条形统计图部分被不小心污染．
请根据统计图中的相关信息，回答下列问题：
(1)参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍；
(2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？
(3)在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度；
(4)拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3:5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，获一等奖的学生有多少人？
【答案】(1)3
(2)48名
(3)86.4°
(4)30人
【分析】（1）用参加“主持”比赛的人数除以参加“乐器”比赛人数即可；
（2）先求出参加比赛的总人数，再用总人数乘以参加“舞蹈”比赛的人数的百分比即可；
（3）先求出小品比赛人数，再用360°乘以小品比赛的人数的百分比即可得到答案；
（4）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：60÷20=3
即参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，
故答案为：3
（2）参加比赛的总人数为60÷72360=300，
300×16%=48，
∴全校一共有48名学生参加“舞蹈”比赛；
（3）300-100-48-60-20=72
360°×72300=86.4°
∴“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度；
（4）∵参加比赛活动的学生有50%获奖，总共有300人，
∴一共有150人获奖，
∵获二等奖与三等奖的人数之比3:5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，
∴设一等奖人数为x，则二等奖人数为1.5x，三等奖的人数为2.5x，
∴列方程为x+1.5x+2.5x=150，
解得x=30，
∴获一等奖的学生有30人．
21．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【答案】(1)298；0.601
(2)0.60
(3)3个
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：
（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：500×0.596=298，1202÷2000=0.601，
故答案为：298；0.601；
（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；
故答案为：0.60．
（3）解：∵摸到白球的概率的估计值是0.60，
∴摸到红球的概率的估计值是0.40，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.40=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3（个）．
22．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)在第三象限找一点D，使得A,C,D,B构成平行四边形的点D的坐标为_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)-5,-3
【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）以A点为旋转中心，分别作出B，C两点绕点A顺时针旋转90°的对应点B1，C1即可；
（2）分别作出A，B，C关于坐标原点O成中心对称的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）如图△AB1C1即为所求；
（2）如图△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，点D即为所求．
∴点D的坐标为-5,-3．
23．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下．
设每支圆珠笔为x元
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵m0【答案】(1)见解析
(2)整数m的值为3
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
（1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题；
（2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得12x=21x+1.2，
解得x=1.6，
经检验x=1.6是分式方程的解．
此时圆珠笔的数量为12÷1.6=7.5，
∵圆珠笔的数量为整数，
∴x=1.6不合题意，
∴嘉嘉搞错了；
（2）由题意可得12x=21x+m，
解得：x=4m3
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，0∴m=3，
∴x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴整数m的值为3．
24．综合与探究
我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1=a，x2=b的方程称为“十字分式方程”．
例如：x+3x=4为“十字分式方程”，可化为x+1×3x=1+3，∴x1=1，x2=3．
再如：x+8x=-6为“十字分式方程”，可化为x+-2×-4x=-2+-4，∴x1=-2，x2=-4．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若x+12x=-7为“十字分式方程”，则x1=______，x2=______．
(2)若十字分式方程，x-6x=-3的两个解分别为x1=m，x2=n，求nm+mn的值．
(3)若关于x的“十字分式方程”x-3k2+15kx+3=2k-8的两个解分别为x1,x2（k>0，且x1>x2），求x1+3x2+8的值．
【答案】(1)-3,-4
(2)-72
(3)-3
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“十字方程”得到mn=-6，m+n=-3，将nm+mn变形为(m+n)2-2mnmn，整体代入即可求解；
（3）将原方程变形为x+3+3k(-k-5)x+3=3k+(-k-5)，结合运用“十字方程”得到x1=3k-3，x2=-k-8，代入x1+3x2+8即可求解．
【详解】（1）解：（1）x+12x=-7可化为x+(-3)×(-4)x=(-3)+(-4)，
∴x1=-3，x2=-4．
故答案为：-3,-4；
（2）解：由已知得mn=-6，m+n=-3，
∴ nm+mn =m2+n2mn =(m+n)2-2mnmn =9+12-6 =-72；
（3）解：原方程变为x+3-3k2+15kx+3=2k-5，
∴x+3+3k(-k-5)x+3=3k+(-k-5)，
∵k>0，且x1>x2，
∴x1+3=3k，x2+3=-k-5，
∴x1=3k-3，x2=-k-8，
∴ x1+3x2+8=3k-3+3-k-8+8=3k-k=-3．
【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=45cm，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0(1)线段BP= cm，AM= cm（用含t的代数式表示）；
(2)求AD的长；
(3)当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)t,4t
(2)AD=6cm
(3)t=1.2s或t=2s
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）设AD=x，由勾股定理求出AD即可；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，得出MD=AD-AM=6-4tcm，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，得出MD=AM-AD=4t-6cm，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，得：BP=tcm,AM=4tcm；
故答案为：t,4t；
（2）设AD=xcm，则：CD=10-xcm，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2，
∴102-x2=452-10-x2，
解得：x=6；
∴AD=6cm；
（3）解：分两种情况：①当点M在点D的上方时，
由题意得：PQ=BP=tcm，AD=6cm，
∴MD=AD-AM=6-4tcm．
∵ PQ∥AC，
∴ PQ∥MD，
∴当PQ=MD，即当t=6-4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得t=1.2；
②当点M在点D的下方时，
根据题意得：PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，
∴MD=AM-AD=4t-6cm．
∵ PQ∥AC，
∴ PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，即当t=4t-6时，四边形PQMD是平行四边形，
解得t=2．
综上所述，当t=1.2或t=2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
26．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为8cm，宽为4cm．
(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片ABCD和EFGQ摆成图1的形状，点A与点E重合，边AD与边EF重合，边AB，QE在同一直线上．
请判断：△ACG的形状为_____________；
(2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形EFGQ绕点A顺时针转动m°（转动角度小于45°），即∠DAF=m°，边EF与边CD交于点M，连接BM，BN平分∠MBC，交CD于点N，∠AMB+∠AMC=180°，求∠CBN的度数；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形EFGQ绕点A顺时针转动一周，若边EF所在的直线恰好经过线段BQ的中点O时，连接BF，FQ，请直接写出△BFQ的面积．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)∠CBN=30°
(3)32-83或32+83
【分析】（1）根据矩形的性质，可证明△AQG≌△CBA，得到AG=AC，∠AGQ=∠CAB，再利用直角三角形的性质，可推得∠GAC=90°，即得答案；
（2）过点A作AH⊥BM于H，先证明△ADM≌△AHM，得到AH=4，可进一步证明∠ABH=30°，∠CBM=60°，从而可得答案；
（3）分旋转角小于90°和大于90°两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案．
【详解】（1）∵长方形纸片ABCD和EFGQ完全相同，
∴AQ=CB，∠Q=∠B=90°，GQ=AB，
∴△AQG≌△CBA(SAS)，
∴∠AGQ=∠CAB，AG=AC，
∵∠AGQ+∠GAQ=90°，
∴∠GAQ+∠CAB=90°，
∴∠GAC=90°，
∴△ACG是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图2，过点A作AH⊥BM于H，
∵∠AMB+∠AMC=180°，∠AMD+∠AMC=180°，
∴∠AMD=∠AMH
∵∠D=∠AHM=90°，AM=AM，
∴△ADM≌△AHM(AAS)，
∴AD=AH=4，
∵AB=8，
∴AH=12AB，
∴在Rt△AHB中，∠ABH=30°，
∴∠CBM=60°，
∵BN平分∠MBC，
∴∠CBN=30°；
（3）情况一，如图3.1，当旋转角小于90°时，
过B作BH⊥AF于点H，
∴∠BHO=∠QAO=90°，
∵O为BQ中点，
∴QO=BO，
∵∠QOA=∠BOH，
∴△QOA≌△BOH(AAS)，
∴OA=OH，AQ=BH=4，
在Rt△AHB中，AH=AB2-BH2=43，
∴AO=OH=23，
∵AF=8，
∴OF=8-23，
∴S△OFB=8-23×4×12=16-43，
∴S△BFQ=2S△OFB=32-83，
情况二：如图3.2，当旋转角大于90°时，
过B作BH⊥AF于H，
同情况一得△AQO≌△HBO(AAS)，
∴OA=OH，AQ=BH=4，
在Rt△ABH中，AH=AB2-BH2=43，
∴AO=OH=23，
∴S△FOB=12×4×8+23=16+43，
∴S△BFQ=2S△FOB=32+83，
综上所述，S△BFQ为32-83或32+83．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
年份
1970
1980
1990
2000
2010
2020
国内生产总值/亿元
2279.7
4587.6
18872.9
100280.1
412119.3
1015986.2
摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
_______
590
968
1202
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.596
0.590
0.605
_______
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第七章-第十章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．下列各式：x-1π，x-1x，x2-y2，2x+13m，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母.．根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如AB（B≠0，B中含有字母），逐一判断即可．
【详解】解：x-1x、2x+13m是分式，共有2个，
故选：B．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
3．下列调查方式较为合理的是 ( )
A．了解某班学生的视力情况，采用抽样的方式
B．调查某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式
C．调查某湖的水质情况，采用抽样的方式
D．调查全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式
【答案】C
【分析】
本题考查全面调查（普查）和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A、了解某班学生的视力情况，人数较少，调查方便，适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；
B、调查某品牌电脑的使用寿命，调查具有破坏性，适宜采用抽样的方式，故此选项不符合题意；
C、调查某湖的水质情况，调查不方便，适宜采用抽样的方式，故此选项符合题意；
D、调查全国初中学生的业余爱好，调查范围太大，不方便，适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2x+63y+6B．2x2yC．x+y3x-2yD．x+y2x-1
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案．
【详解】解：A. 2x+63y+6中x，y的值均扩大为原来的2倍得到4x+66y+6=2x+33y+3，故原选项不合题意；
B. 2x2y中x，y的值均扩大为原来的2倍得到8x22y=4x2y，故原选项不合题意；
C. x+y3x-2y中x，y的值均扩大为原来的2倍得到2x+2y6x-4y=x+y3x-2y，故原选项符合题意；
D. x+y2x-1中x，y的值均扩大为原来的2倍得到2x+2y4x-1，故原选项不合题意．
故选：C．
5．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程30千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程25千米．走路线b比路线a的平均速度提高40%，时间节省20分钟，问走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时．根据题意，可列方程（ ）
A．30x-251+40%x=20B．251+40%x-30x=2060
C．251+40%x-30x=20D．30x-251+40%x=2060
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列方式方程是解题的关键；根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合走路线b比路线a时间节省20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/小时，
由题意得，30x-25(1+40%)x=2060，
故选：D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质．根据矩形的性质得到∠DCA=∠BAC，由折叠的性质得到∠DCA=∠D'CA，得到∠CAF=∠D'CA，根据等腰三角形的判定定理得到FA=FC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA=∠D'CA，
∴∠CAF=∠D'CA，
∴FA=FC，
在Rt△BFC中，BF2+BC2=CF2，即42+(8-AF)2=AF2，
解得，AF=5，
则△AFC的面积=12×AF×BC=12×5×4=10，
故选：C．
7．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解】解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝12AC，EH＝12BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝12AC，EH＝12BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．
8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF=45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB=∠AEF；③正方形ABCD的周长=2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
【答案】C
【分析】当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE和△ADF的边对应不相等，由此判断①；延长CD至G，使得DG=BE，证明△ABE≌△ADG(SAS)和△AEF≌△AGF(SAS)，即可判断②；通过周长公式计算，再由BE+DF=EF，即可判断③；证明S△ABE+S△ADF=S△AGF，再由三角形的底与高的数量关系得S△AGF>S△CEF，进而判断④．
【详解】解：①当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF，
则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；
②延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，如图1，
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,∠ABE=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG,∠AEB=∠G,AE=AG，
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠AEF=∠G，
∴∠AEB=∠AEF，故②正确；
③∵△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC，
∵正方形ABCD的周长=4BC，
∴正方形ABCD的周长=2△CEF的周长，故③正确；
④∵△ABE≌△ADG(SAS)，
∴S△ABE=S△ADG，
∴S△ABE+S△ADF=S△AGF，
∵GF=EF>CF，AD≥CE，
∴12GF⋅AD>12CF⋅CE，即S△AGF>S△CEF，
∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；
故选：C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分。）
9．分式x+6x2-x与1x2-2x+1的最简公分母是 ．
【答案】xx-12
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确的对分母分解因式．将各个分式的分母因式分解即可求解．
【详解】解：∵ x+6x2-x=x+6xx-1，1x2-2x+1=1x-12，
∴分式x+6x2-x与1x2-2x+1的最简公分母是xx-12，
故答案为：xx-12．
10．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得AC=80m，BC=70m，DE＝50m，则AB的长是 m．
【答案】100
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100米．
故答案为：100．
11．检查2500件食品的质量，按2%的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，总体是 ，样本容量是 ．
【答案】 2500件包装食品的质量 50
【分析】本题考查了总体、样本容量的概念．根据总体是指考查的对象的全体，样本容量是个体的数量即可解答．
【详解】解：检查一箱装有2500件包装食品的质量，按2%的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，
总体是2500件包装食品的质量，
样本容量是抽取的2500×%=50．
故答案为：2500件包装食品的质量； 50．
12．已知x=1时，分式-x+2bx-a无意义；x=4时，分式的值为0，则a+b的值为 ．
【答案】-1
【分析】
本题考查了分式的知识；当分式无意义时，分母x-a=0；分式是值为零时，分子x+2b=0，结合题意，分别求出a，b的值，故可求解．
【详解】∵x=1时，分式-x+2bx-a无意义，
∴1-a=0，
∴a=1，
∵x=4时，分式的值为0，
∴4+2b=0，
∴b=-2，
∴a+b=1+-2=-1，
故答案为：-1．
13．我国不同年份的国内生产总值如下：
请你选用合适的统计图反映我国经济建设的成就，应选用 统计图为宜．
【答案】折线
【分析】此题考查了统计图的选择，要求我们熟练掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点．
根据折线统计图表示的是事物的变化情况，即可得出答案．
【详解】解：反映我国经济建设的成就，应选用折线统计图为宜．
故答案为：折线．
14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 cm2．
【答案】65
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为10×10×0.65=65cm2，
故答案为：65．
15．在如图所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．
【答案】1
【分析】
本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，
故答案为：1．
16．已知关于x的分式方程2x+3x-2=kx-2x+3+2的解满足-4
∵分式方程2x+3x-2=kx-2x+3+2的解满足-4
解得-7
∴x-2≠0且x+3≠0，
即k-217-2≠0且k-217+3≠0，
解得k≠35且k≠0，
∴k的取值范围为-7
【答案】4.8
【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用，根据三角形的面积求出PE+PF=AG是解题的关键，作辅助线是难点．
过点A作AG⊥BD于G，连接PO，根据勾股定理列式求出BD的长度，再根据ΔABD的面积求出AG，然后根据ΔAOD的面积求出PE+PF=AG，从而得解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥BD于G，连接PO，
∵AB=6，AD=8，
∴BD=AB2+AD2=10，
∴SΔABD=12BD⋅AG=12AB⋅AD，
即12×10⋅AG=12×6×8，
解得AG=4.8，
在矩形ABCD中，AO=OD，
∴SΔAOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AG，
∴PE+PF=AG=4.8．
故答案为：4.8．
18．如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△EFB≌△ACB和△CDF≌△CAB即可判断①；当∠BAC=130°时，求出∠EAD=110°即可判断②；由AB=AC得到AE=AD即可判断③；由∠BAC=150°得到∠EAD=90°，得到ADFE是矩形，再结合③即可判断④；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键．
【详解】解：①∵△ACD、△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC，AC=AD，
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF，
∴△EFB≌△ACBSAS，
∴EF=AC，
∴EF=AC=AD，
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE，
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形 ADFE是平行四边形，故结论①正确；
②当∠BAC=130°时，
∠EAD=360°-∠BAE-∠BAC-∠CAD=360°-60°-130°-60°=110°，
由①知四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE不是矩形，故结论②错误；
③由①知AB=AE，AC=AD，四边形 AEFD是平行四边形，
∴当AB=AC时，AE=AD，
∴平行四边形ADFE是菱形，故结论③正确；
④当∠BAC=150°时，
∠EAD=360°-∠BAE-∠BAC-∠CAD=360°-60°-150°-60°=90°，
∵ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是矩形，
又由③知四边形ADFE是菱形，
∴四边形ADFE是正方形，故结论④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（第19小题6分，第20、21小题各7分，第22、23、24小题各8分，第25小题9分，第26小题11分，共64分）
19．化简：x-3x-1x+1÷x2-1x+12，然后再从x=-1，0，1中选择一个合适的值，代入求值．
【答案】1x+1，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算．根据分式的混合运算化简，再带值计算即可．
【详解】解：原式=xx+1x+1-3x-1x+1÷x-1x+1x+12
=x2+x-3x+1x+1⋅1x-12
=x-12x+1⋅1x-12
=1x+1
当x=0时，
∴原式=10+1=1．
20．在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“乐器”五个选项中选择一项．现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图如图所示，其中条形统计图部分被不小心污染．
请根据统计图中的相关信息，回答下列问题：
(1)参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的______倍；
(2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？
(3)在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为______度；
(4)拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3:5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，获一等奖的学生有多少人？
【答案】(1)3
(2)48名
(3)86.4°
(4)30人
【分析】（1）用参加“主持”比赛的人数除以参加“乐器”比赛人数即可；
（2）先求出参加比赛的总人数，再用总人数乘以参加“舞蹈”比赛的人数的百分比即可；
（3）先求出小品比赛人数，再用360°乘以小品比赛的人数的百分比即可得到答案；
（4）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：60÷20=3
即参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，
故答案为：3
（2）参加比赛的总人数为60÷72360=300，
300×16%=48，
∴全校一共有48名学生参加“舞蹈”比赛；
（3）300-100-48-60-20=72
360°×72300=86.4°
∴“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度；
（4）∵参加比赛活动的学生有50%获奖，总共有300人，
∴一共有150人获奖，
∵获二等奖与三等奖的人数之比3:5，二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，
∴设一等奖人数为x，则二等奖人数为1.5x，三等奖的人数为2.5x，
∴列方程为x+1.5x+2.5x=150，
解得x=30，
∴获一等奖的学生有30人．
21．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【答案】(1)298；0.601
(2)0.60
(3)3个
【分析】
本题考查了利用频率估计概率：
（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：500×0.596=298，1202÷2000=0.601，
故答案为：298；0.601；
（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；
故答案为：0.60．
（3）解：∵摸到白球的概率的估计值是0.60，
∴摸到红球的概率的估计值是0.40，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.40=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3（个）．
22．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图：
(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)在第三象限找一点D，使得A,C,D,B构成平行四边形的点D的坐标为_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)-5,-3
【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）以A点为旋转中心，分别作出B，C两点绕点A顺时针旋转90°的对应点B1，C1即可；
（2）分别作出A，B，C关于坐标原点O成中心对称的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）如图△AB1C1即为所求；
（2）如图△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，点D即为所求．
∴点D的坐标为-5,-3．
23．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下．
设每支圆珠笔为x元
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵m0
(2)整数m的值为3
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
（1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题；
（2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得12x=21x+1.2，
解得x=1.6，
经检验x=1.6是分式方程的解．
此时圆珠笔的数量为12÷1.6=7.5，
∵圆珠笔的数量为整数，
∴x=1.6不合题意，
∴嘉嘉搞错了；
（2）由题意可得12x=21x+m，
解得：x=4m3
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，0
∴x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴整数m的值为3．
24．综合与探究
我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1=a，x2=b的方程称为“十字分式方程”．
例如：x+3x=4为“十字分式方程”，可化为x+1×3x=1+3，∴x1=1，x2=3．
再如：x+8x=-6为“十字分式方程”，可化为x+-2×-4x=-2+-4，∴x1=-2，x2=-4．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若x+12x=-7为“十字分式方程”，则x1=______，x2=______．
(2)若十字分式方程，x-6x=-3的两个解分别为x1=m，x2=n，求nm+mn的值．
(3)若关于x的“十字分式方程”x-3k2+15kx+3=2k-8的两个解分别为x1,x2（k>0，且x1>x2），求x1+3x2+8的值．
【答案】(1)-3,-4
(2)-72
(3)-3
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“十字方程”得到mn=-6，m+n=-3，将nm+mn变形为(m+n)2-2mnmn，整体代入即可求解；
（3）将原方程变形为x+3+3k(-k-5)x+3=3k+(-k-5)，结合运用“十字方程”得到x1=3k-3，x2=-k-8，代入x1+3x2+8即可求解．
【详解】（1）解：（1）x+12x=-7可化为x+(-3)×(-4)x=(-3)+(-4)，
∴x1=-3，x2=-4．
故答案为：-3,-4；
（2）解：由已知得mn=-6，m+n=-3，
∴ nm+mn =m2+n2mn =(m+n)2-2mnmn =9+12-6 =-72；
（3）解：原方程变为x+3-3k2+15kx+3=2k-5，
∴x+3+3k(-k-5)x+3=3k+(-k-5)，
∵k>0，且x1>x2，
∴x1+3=3k，x2+3=-k-5，
∴x1=3k-3，x2=-k-8，
∴ x1+3x2+8=3k-3+3-k-8+8=3k-k=-3．
【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=45cm，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0
(2)求AD的长；
(3)当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)t,4t
(2)AD=6cm
(3)t=1.2s或t=2s
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）设AD=x，由勾股定理求出AD即可；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，得出MD=AD-AM=6-4tcm，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，得出MD=AM-AD=4t-6cm，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，得：BP=tcm,AM=4tcm；
故答案为：t,4t；
（2）设AD=xcm，则：CD=10-xcm，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2，
∴102-x2=452-10-x2，
解得：x=6；
∴AD=6cm；
（3）解：分两种情况：①当点M在点D的上方时，
由题意得：PQ=BP=tcm，AD=6cm，
∴MD=AD-AM=6-4tcm．
∵ PQ∥AC，
∴ PQ∥MD，
∴当PQ=MD，即当t=6-4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得t=1.2；
②当点M在点D的下方时，
根据题意得：PQ=BP=tcm，AM=4tcm，AD=6cm，
∴MD=AM-AD=4t-6cm．
∵ PQ∥AC，
∴ PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，即当t=4t-6时，四边形PQMD是平行四边形，
解得t=2．
综上所述，当t=1.2或t=2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
26．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为8cm，宽为4cm．
(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片ABCD和EFGQ摆成图1的形状，点A与点E重合，边AD与边EF重合，边AB，QE在同一直线上．
请判断：△ACG的形状为_____________；
(2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形EFGQ绕点A顺时针转动m°（转动角度小于45°），即∠DAF=m°，边EF与边CD交于点M，连接BM，BN平分∠MBC，交CD于点N，∠AMB+∠AMC=180°，求∠CBN的度数；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形EFGQ绕点A顺时针转动一周，若边EF所在的直线恰好经过线段BQ的中点O时，连接BF，FQ，请直接写出△BFQ的面积．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)∠CBN=30°
(3)32-83或32+83
【分析】（1）根据矩形的性质，可证明△AQG≌△CBA，得到AG=AC，∠AGQ=∠CAB，再利用直角三角形的性质，可推得∠GAC=90°，即得答案；
（2）过点A作AH⊥BM于H，先证明△ADM≌△AHM，得到AH=4，可进一步证明∠ABH=30°，∠CBM=60°，从而可得答案；
（3）分旋转角小于90°和大于90°两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案．
【详解】（1）∵长方形纸片ABCD和EFGQ完全相同，
∴AQ=CB，∠Q=∠B=90°，GQ=AB，
∴△AQG≌△CBA(SAS)，
∴∠AGQ=∠CAB，AG=AC，
∵∠AGQ+∠GAQ=90°，
∴∠GAQ+∠CAB=90°，
∴∠GAC=90°，
∴△ACG是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图2，过点A作AH⊥BM于H，
∵∠AMB+∠AMC=180°，∠AMD+∠AMC=180°，
∴∠AMD=∠AMH
∵∠D=∠AHM=90°，AM=AM，
∴△ADM≌△AHM(AAS)，
∴AD=AH=4，
∵AB=8，
∴AH=12AB，
∴在Rt△AHB中，∠ABH=30°，
∴∠CBM=60°，
∵BN平分∠MBC，
∴∠CBN=30°；
（3）情况一，如图3.1，当旋转角小于90°时，
过B作BH⊥AF于点H，
∴∠BHO=∠QAO=90°，
∵O为BQ中点，
∴QO=BO，
∵∠QOA=∠BOH，
∴△QOA≌△BOH(AAS)，
∴OA=OH，AQ=BH=4，
在Rt△AHB中，AH=AB2-BH2=43，
∴AO=OH=23，
∵AF=8，
∴OF=8-23，
∴S△OFB=8-23×4×12=16-43，
∴S△BFQ=2S△OFB=32-83，
情况二：如图3.2，当旋转角大于90°时，
过B作BH⊥AF于H，
同情况一得△AQO≌△HBO(AAS)，
∴OA=OH，AQ=BH=4，
在Rt△ABH中，AH=AB2-BH2=43，
∴AO=OH=23，
∴S△FOB=12×4×8+23=16+43，
∴S△BFQ=2S△FOB=32+83，
综上所述，S△BFQ为32-83或32+83．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
年份
1970
1980
1990
2000
2010
2020
国内生产总值/亿元
2279.7
4587.6
18872.9
100280.1
412119.3
1015986.2
摸球个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
_______
590
968
1202
摸到白球的频率
0.580
0.640
0.580
0.596
0.590
0.605
_______
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