2024年江苏省苏州市高新区中考数学模拟试卷(含解析)
展开1.下列各数中,是无理数的是( )
A. 2.5B. 10C. −16D. 0
2.据统计,2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元,将41500用科学记数法表示为( )
A. 4.15×104B. 0.415×104C. 0.415×105D. 4.15×105
3.下列计算正确的是( )
A. a+2a2=3a2B. a10÷a2=a5C. a4⋅a2=a8D. (a3)2=a6
4.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10,8,6,9,8,7,8,对于这组数据,下列判断中错误的是( )
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 方差是8
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为( )
A. 12πB. 15πC. 20πD. 24π
6.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位,1丈=10尺)其大意为:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少?则水深为( )
A. 10尺
B. 12尺
C. 13尺
D. 15尺
7.王同学用长方形纸片折纸飞机,前三步分别如图①、②、③.第一步:将长方形纸片沿对称轴对折后展开,折出折痕EF;第二步:将△AEG和△BEH分别沿EG,EH翻折,AE,BE重合于折痕EF上;第三步:将△GEM和△HEN分别沿EM,EN翻折,EG,EH重合于折痕EF上.已知AB=20cm,AD=20 2cm,则MD的长是( )
A. 10cmB. 5 2cmC. 20−10 2cmD. 10 2−10cm
8.如图,已知矩形ABCD的一边AB长为12,点P为边AD上一动点,连接BP、CP,且满足∠BPC=30°,则BC的值可能是( )
A. 6
B. 6.8
C. 5 3
D. 92 3
二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.−64的立方根是______.
10.使代数式 x−1有意义的x的取值范围是 .
11.若一组数据1、3、x、5、8的众数为8,则这组数据的中位数为______.
12.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为______.
13.已知正六边形的内切圆半径为 3,则它的周长为______.
14.已知点P是半径为4的⊙O上一点,平面上一点Q到点P的距离为2,则线段OQ的长度a的范围为______.
15.如图,O、B两点是线段AC的三等分点,以AB为直径作⊙O,点E为⊙O上一点,连接CE,交⊙O于点D,连接BD,若点D恰为线段CE中点,则tan∠ABD为______.
16.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC=4,BC=3,将Rt△ABC绕着直角边AC中点G旋转,得到△DEF,若△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上,斜边DE与AC交于点H,则CH= ______.
三、计算题:本大题共1小题,共6分。
17.解方程组3x−2y=82x+y=3.
四、解答题:本题共10小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算:( 2−1)0+(13)−2−327.
19.(本小题8分)
先化简,再求值:(a−2a−a−1a+2)÷(a−4),其中a满足a−2a=−2.
20.(本小题8分)
如图,某校食堂实行统一配餐,为方便学生取餐,食堂开设了4个窗口,分别记为①、②、③、④,学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐.
(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人,则小明选择在②号窗口取餐的概率是______;
(2)若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人,求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
21.(本小题8分)
2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行,我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况.他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温,从中随机抽取了60天的日平均气温,并绘制成如下统计图:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)这60天的日平均气温的中位数为______;众数为______;
(2)若日平均气温在18℃至21℃的范围内(包括18℃和21℃)为“舒适温度”,请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数.
22.(本小题8分)
如图,点A、B、C、D在一条直线上,EA//FB,EC//FD,AB=CD.求证:EF//AD.
23.(本小题8分)
如图,从灯塔C处观测轮船A、B的位置,测得轮船A在灯塔C北偏西α的方向,轮船B在灯塔C北偏东β的方向,且AC=2 2海里,BC= 10海里,已知csα= 22、sinβ=3 1010,求A、B两艘轮船之间的距离.(结果保留根号)
24.(本小题8分)
如图,以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD,矩形长AD、BC交直线y=−x+3于点F、E,反比例函数y=kx(x>0)的图象正好经过点F、E.
(1)线段EF长为______;
(2)求k值.
25.(本小题8分)
如图,在△ABC中,点D为BC边上的一个动点,以CD为直径的⊙O交AD于点E,过点C作CF//AB,交⊙O于点F.连接CE、EF,若AC是⊙O的切线.
(1)求证:∠BAC=∠CEF;
(2)若AB=10,AC=6,CE=EF,求直径CD的长.
26.(本小题8分)
如图1,抛物线L:y=−x2+bx+c经过点A(0,1),对称轴为直线x=1与x轴的交于点B.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)点C在抛物线上,若△ABC的内心恰好在x轴上,求点C的坐标;
(3)如图2,将抛物线L向上平移k(k>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点M,过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N.P为线段OM上一点.若△PMN与△POB相似,并且符合条件的点P恰有2个,求k的值.
27.(本小题8分)
已知矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE于点F.
(1)如图1,若BE= 2,求AE⋅AF的值;
(2)如图2,连接AC交DF于点G,若AGCG=23,求cs∠FCE的值;
(3)如图3,延长DF交AB于点G,若G点恰好为AB的中点,连接PC,过A作AK//FC交FD于K,设△ADK的面积为S1,△CDF的面积为S2,则S1S2的值为______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:2.5,−16,0是有理数;
10是无理数.
故选:B.
根据无理数的定义解答即可.
本题考查的是无理数,熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键.
2.【答案】A
【解析】解:41500=4.15×104.
故选:A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【答案】D
【解析】解:A、原式=a+3a2,不符合题意;
B、原式=a8,不符合题意;
C、原式=a6,不符合题意;
D、原式=a6,符合题意;
故选:D.
A、不能合并同类项;
B、用同底数幂的除法法则计算;
C、用同底数幂的乘法法则计算;
D、用幂的乘方法则计算.
本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方,掌握这几个知识点的综合应用是解题关键.
4.【答案】D
【解析】解:平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7=8,
按从小到大排列为:6,7,8,8,8,9,10,
∴中位数是8;
∵8出现了3次,次数最多,
∴众数是8;
方差S2=18[(10−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=1.25.
所以D错误.
故选:D.
由题意可知:这组数据的平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7;总数个数是奇数的,按从小到大的顺序排列,取中间的那个数便为中位数,按此方法求中位数;一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数,这组数据8出现次数最多,由此求出众数;一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差,按此方法计算方差.
考查了方差,加权平均数,中位数及众数的知识,正确理解中位数、众数及方差的概念,是解决本题的关键.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算,掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键.
先利用勾股定理求解得到母线长l为5,再运用公式s=πlr求解即可.
【解答】
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5,
由已知得,母线长l=5,半径r为4,
∴圆锥的侧面积是s=πlr=5×4×π=20π.
故选:C.
6.【答案】B
【解析】解:设水深为h尺,则芦苇长为(h+1)尺,
根据勾股定理,得(h+1)2−h2=(10÷2)2,
解得h=12,
∴水深为12尺,
故选:B.
设水深为h尺,则芦苇长为(h+1)尺,根据勾股定理列方程,解出h即可.
本题主要考查勾股定理的应用,熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:∵四边形ABCD为矩形,AB=20cm,AD=20 2cm,
∴∠A=90°,
由第一步折叠可得,AD//EF,AE=BE=10cm,
由第一步折叠可得,AE=A′E=10cm,∠EA′G=∠A=90°,
∴AE//A′G,
∴四边形AEA′G为平行四边形,
∵AE=A′E,∠A=90°,
∴平行四边形AEA′G为正方形,
∴AG=AE=10cm,
∴GD=AD−AG=(20 2−10)cm,
在Rt△AEG中,EG= AG2+AE2= 102+102=10 2(cm),
根据第三步折叠可得,∠GEM=∠G′EM,
∵GD//EF,
∴∠GME=∠G′EM,
∴∠GEM=∠GME,
∴GE=GM=10 2cm,
∴MD=GD−GM=20 2−10−10 2=(10 2−10)cm.
故选:D.
根据第一、二步折叠易得四边形AEA′G为正方形,AG=10cm,以此得出GD=(20 2−10)cm,根据勾股定理求出EG=10 2cm,根据第三步折叠可得∠GEM=∠G′EM,进而得到∠GEM=∠GME,则GE=GM,于是MD=GD−GM,即可求解.
本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质,熟练掌握折叠的性质是解题关键.
8.【答案】B
【解析】解:①如图1,当点P与点A重合时,∠BPC最小,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∵AB=12,∠BPC=30°,
∴BC=AB 3=12 3=4 3≈6.928,
此时BC是满足题意的最大值;
②如图2,当点P是AD的中点时,∠BPC最大,此时BC最小,
过点B作BE⊥CP于E,
设BE=a,AP=x,则BC=AD=2x,
∵∠BPC=30°,
∴BP=2BE=2a,PE= 3a,
∴12⋅2x⋅12=12⋅2a⋅ax2+122=4a2,
解得:x=24+12 3(舍)或24−12 3,
∴BC=2x=48−24 3,
综上,48−24 3≤BC≤4 3,即6.432≤BC≤6.928.
故选:B.
考虑∠BPC的两个临界点,①如图1,当点P与点A重合时,∠BPC最小,此时BC的值最大;②如图2,当点P是AD的中点时,∠BPC最大,此时BC最小;分别计算BC的值,确定BC的最大值和最小值,可得结论.
本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形的性质,矩形的性质,三角形的面积等知识,正确画图,确定点P的两个临界点是解本题的关键.
9.【答案】−4
【解析】【分析】
此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同.
根据立方根的定义求解即可.
【解答】
解:∵(−4)3=−64,
∴−64的立方根是−4.
故选−4.
10.【答案】x≥1
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件:被开方数为非负数求解即可.
【解答】
解:因为代数式 x−1有意义,
所以x−1≥0,
解得:x≥1.
故答案为:x≥1.
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件,掌握被开方数为非负数是解题关键.
11.【答案】5
【解析】解:∵数据1、3、x、5、8的众数为8,
∴x=8,
则数据重新排列为1、3、5、8、8,
所以中位数为5,
故答案为:5.
根据众数和中位数的概念求解.
本题考查了众数和中位数的概念,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
12.【答案】π8
【解析】解:设正方形的边长为2a,则正方形的内切圆的半径为a,
所以针尖落在黑色区域内的概率=12⋅π⋅a24a2=π8.
故答案为π8.
用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率.
本题考查了几何概率:某事件的概率=某事件对应的面积与总面积之比.
13.【答案】12
【解析】解:如图,连接OA、OB,OG;
∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径,设正六边形的半径为a,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=a,
∴OG=OA⋅sin60°=a× 32= 3,解得a=2,
∴它的周长=6a=12.
故答案为:12.
根据题意画出图形,利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值,根据已知得出六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径是解题关键.
14.【答案】2≤a≤6
【解析】解:如图,当点Q在圆外且O,Q,P三点共线时,线段OQ的长度的最大,最大值为4+2=6;
当点Q在圆内且O,Q,P三点共线时,线段OQ的长度的最小,最小值为4−2=2,
所以,线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6.
故答案为:2≤a≤6.
如图,当点Q在圆外且O,Q,P三点共线时,线段OQ的长度的最大,当点Q在圆内且O,Q,P三点共线时,线段OQ的长度的最小,据此得到结论.
本题考查了点与圆的位置关系,正确的作出图形是解题的关键.
15.【答案】 15
【解析】解:连接OE、AD,如图,设⊙O的半径为r,
∵O、B两点是线段AC的三等分点,
∴OB=CB,
∵点D恰为线段CE中点,
∴BD为△OCE的中位线,
∴BD=12OE=12r,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,AD= AB2−BD2= (2r)2−(12r)2= 152r,
∴tan∠ABD=ADBD= 152r12r= 15.
故答案为: 15.
连接OE、AD,如图,设⊙O的半径为r,先证明BD为△OCE的中位线,则BD=12r,再根据圆周角定理得到∠ADB=90°,再利用勾股定理计算出AD= 152r,然后根据正切的定义求解.
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.
16.【答案】2839
【解析】解:连接CD,
∵AC=4,BC=3,
由勾股定理得,AB=5,
∵点G为AC的中点,
∴AG=CG,
∵△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上,
∴AG=DG,
∴∠A=∠ADG,∠GCD=∠GDC,
∴∠ADC=12×180°=90°,
∵csA=ADAC=ACAB,
∴AD4=45,
∴AD=165,
∵∠AHD=∠DHG,∠HDG=∠HAD,
∴△HDG∽△HAD,
∴DGAD=DHHA=HGHD=2165=58,
设GH=5x,则DH=8x,AH=5x+2,
∴8x5x+2=58,
解得x=1039,
经检验,x=1039是方程的解,
∴AH=5x+2=12839,
∴CH=AC−AH=4−12839=2839,
故答案为:2839.
连接CD,根据AG=GD=CG,可说明∠ADC=90°,从而求出AD的长,再利用△HDG∽△HAD,得DGAD=DHHA=HGHD=2165=58,设GH=5x,则DH=8x,AH=5x+2,进而得出x的值.
本题主要考查了旋转的性质,相似三角形的判定与性质,三角函数等知识,证明△HDG∽△HAD是解决问题的关键.
17.【答案】解:3x−2y=8①2x+y=3②,
②×2+①得:7x=14,
解得:x=2,
将x=2代入②得:y=−1,
则原方程组的解为x=2y=−1.
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可.
此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
18.【答案】解:( 2−1)0+(13)−2−327
=1+9−3
=7.
【解析】先化简各式,然后再进行计算即可解答.
本题考查了实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,准确熟练地进行计算是解题的关键.
19.【答案】解:原式=[(a−2)(a+2)a(a+2)−a(a−1)a(a+2)]⋅1a−4
=a2−4−a2+aa(a+2)⋅1a−4
=a−4a(a+2)⋅1a−4
=1a2+2a,
∵a−2a=−2,
∴a2−2=−2a,
∴a2+2a=2,
∴原式=12.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出a2+2a的值,代入进行计算即可.
本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解题的关键.
20.【答案】14
【解析】解:(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人,则小明选择在②号窗口取餐的概率是14,
故答案为:14;
(2)画树状图如下:
共有16种等可能的结果,其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种,即①②、②①、②③、③②、③④、④③,
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为616=38.
(1)直接由概率公式求解即可;
(2)画树状图,共有16种等可能的结果,其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种,再由概率公式求解即可.
本题考查的是用树状图法求概率,树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21.【答案】解:(1)19.5;19;
(2)∵12+13+9+660×30=20(天),
∴估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天.
【解析】解:(1)这60天的日平均气温的中位数为19+202=19.5,
众数为19,
故答案为:19.5,19;
(2)见答案。
(1)根据中位数和众数的概念求解即可;
(2)用样本中气温在18℃~21℃的范围内的天数所占比例乘以4月份的天数即可.
本题主要考查众数和中位数、加权平均数、样本估计总体,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
22.【答案】证明:∵EA//BF,EC//FD,
∴∠A=∠FBD,∠ACE=∠D,
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,
即AC=BD,
在△AEC和△BFD中,
∠A=∠FBDAC=BD∠ACE=∠D,
∴△AEC≌△BFD(ASA),
∴EC=FD,
∵EC//FD,
∴四边形EFDC为平行四边形,
∴EF//CD,
∴EF//AD.
【解析】由平行线的性质得∠A=∠FBD,∠ACE=∠D,再证AC=BD,然后证△AEC≌△BFD(ASA),然后利用平行四边形的判定与性质即可得出结论.
本题考查全等三角形的判定和性质,平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型.
23.【答案】解:过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D,作BF⊥AE于点F,
∴AE//CH//BD,
∴∠CAE=∠ACH=α,∠CBD=∠BCH=β,
则四边形FEDB为矩形,
∴EF=BD,FB=ED,
在Rt△AEC中,∠CAE=α,
∵csα= 22,
∴α=45°,
∵AC=2 2海里,
∴AE=CE= 22AC=2(海里),
在Rt△BCD中,∠CBD=β,BC= 10海里,
∴CD=sinβ⋅BC=3 1010× 10=3(海里),
由勾股定理得,BC2=BD2+CD2,即( 10)2=BD2+32,
解得,BD=1,
∴AF=AE−EF=1(海里),BF=EC+CD=2+3=5(海里),
则AB= AF2+BF2= 12+52= 26(海里),
答:A,B两艘轮船之间的距离为 26海里.
【解析】过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D,作BF⊥AE于点F,根据等腰直角三角形的性质分别求出AE、CE,根据正弦的定义分别求出BD、CD,根据勾股定理计算,得到答案.
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题,掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
24.【答案】解:(1) 2;
(2)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象正好经过点F、E,
∴k=m(−m+3)=(m+1)(−m+2),
解得m=1,
∴k=m(−m+3)=1×2=2.
【解析】解:(1)∵点F、E在直线y=−x+3图象上,
∴设F(m,−m+3),则E(m+1,−(m+1)+3),即(m+1,−m+2)
∴EF= (m+1−m)2+(−m+2+m−3)2= 2.
故答案为: 2;
(2)见答案。
(1)表示出E、F的坐标,然后利用勾股定理即可求得EF的长度;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=m(−m+3)=(m+1)(−m+2),解得即可.
本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,求线段的长度,正确表示出点的坐标是解题的关键.
25.【答案】(1)证明:∵CF//AB,
∴∠B=∠FCB,
∵∠FCB=∠DEF,
∴∠B=∠DEF,
又∠BAC+∠B=90°,
∵CD是圆O的直径,
∴∠CED=90°,
∴∠DEF+∠CEF=90°,
∴∠BAC=∠CEF;
(2)连接FD,并延长和AB相交于G,
∵CE=EF,
∴∠EFC=∠ECF,
∵四边形CEDF为圆内接四边形,
∴∠ADG=∠ECF,
又∵∠CDE=∠CFE,
∴∠ADG=∠CDE,
∵CD为⊙O的直径,
∴∠DFC=90°,
∵FC//AB,
∴∠FGA=90°,
∴∠FGA=∠ACD,
∵AD=AD,
∴△AGD≌△ACD(AAS),
∴DG=CD,AC=AG=6,
∵∠ACB=90°,AB=10,AC=6,
∴BC= AB2−AC2=8,
在Rt△BDG中,设CD=x,
则BD=BC−CD=8−x,BG=AB−AG=10−6=4,DG=CD=x,
∵BG2+DG2=BD2,
∴42+x2=(8−x)2,
∴x=3,
即CD=3.
【解析】(1)根据直径所对圆周角等于直角即可证明结论;
(2)连接FD,并延长和AB相交于G,由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案.
本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,平行线的性质,圆内接四边形的性质,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.
26.【答案】解:(1)由题意知:−b2×(−1)=1c=1,
解得:b=2c=1,
∴抛物线L的解析式为:y=−x2+2x+1;
(2)由题意得:x轴平分∠ABC,即∠ABO=∠CBO,
∵△ABC的内心恰好在x轴上,
∴△ABC的三个内角的角平分线交点在x轴上,
由此可知点C在y轴的左侧,
过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:
由题意知:OA=1,OB=1,
∴∠ABO=∠DBC=45°,
∴DC=DB,
设C(a,−a2+2a+1),则有CD=a2−2a−1,BD=1−a,
∴a2−2a−1=1−a,
解得:a1=−1,a2=2(不符合题意,舍去),
∴点C(−1,−2);
(3)如图2,
设抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+1+k,
∴M(0,1+k)、N(2,1+k)、B(1,0),
设P(0,t),
当△PMN∽△BOP时,PMMN=BOOP,
∴1+k−t2=1t,
∴t2−(1+k)t+2=0①;
当△PMN∽△POB时,PMMN=POOB,
∴1+k−t2=t1,
∴t=13(k+1)②;
(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时,Δ=(1+k)2−8=0,
解得:k=2 2−1(负值舍去),
此时方程①有两个相等实数根:t1=t2= 2,
方程②有一个实数根:t=2 23,
∴k=2 2−1;
(Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时,
把②代入①,得:
19(k+1)2−13(k+1)2+2=0,
解得:k=2(负值舍去),
此时,方程①有两个不相等的实数根:t1=1、t2=2,
方程②有一个实数根:t=1,
∴k=2,
综上,当△PMN与△POB相似,并且符合条件的点P恰有2个,则k=2 2−1或2.
【解析】(1)根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A(0,1)求解可得;
(2)由题意易得x轴平分∠ABC,即∠ABO=∠CBO,且点C在y轴的左侧,过点C作CD⊥x轴于点D,设C(a,−a2+2a+1),然后可得a2−2a−1=1−a,进而问题可求解;
(3)设抛物线L1的解析式为y=−x2+2x+1+k,知M(0,1+k)、N(2,1+k)、B(1,0),再设P(0,t),分△PMN∽△BOP和△PMN∽△POB两种情况,由对应边成比例得出关于t与k的方程,利用符合条件的点P恰有2个,结合方程的解的情况求解可得.
本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心,熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键.
27.【答案】38
【解析】解:(1)∵E是BC的中点,
∴BC=2BE=2 2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2 2,∠B=90°,AD//BC,
∴∠AEB=∠DAF,
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=90°=∠B,
∴△ABE∽△DFA,
∴AEAD=BEAF,
∴AE⋅AF=AD⋅BE=2 2× 2=4;
(2)延长DE交CB的延长线于H,连接DE、AH,如图2所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,AD=BC,∠BCD=90°,
∴△ADG∽△CHG,
∴ADCH=AGCG=23,
∴BH=12BC,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE=BH,
∴EH=BC=AD,
∴四边形ADEH是平行四边形,
∵DF⊥AE,
∴四边形ADEH是菱形,
∴DF=HF,∠AEH=∠AED,DE=AD=EH=BC,
∴CE=12DE,
∴∠CDE=30°,
∴∠CED=90°−30°=60°,
∴∠AEH=∠AED=60°,
∵DF⊥AE,
∴∠FDE=30°=∠CDE,
∴FE=CE,
∴∠FCE=∠CFE=12∠AEH=30°,
∴cs∠FCE= 32;
(3)过F作PQ⊥AB于P,交CD于Q,作KH⊥AD于H,如图3所示:
则PQ=AD,AP=DQ,PQ//BC//AD,
∵G是AB的中点,E是BC的中点,
∴AB=2AG,BC=2BE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠DAG=90°,
∵DF⊥AE,
∴∠ADF+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAG,
∴ABAD=BEAG,
∴AB⋅AG=AD⋅BE,即12AB2=12AD2,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=PQ,
设AB=BC=CD=AD=PQ=4a,
则BE=AG=2a,
∴tan∠ADG=tan∠BAE=2a4a=12,AE=DG= (2a)2+(4a)2=2 5a,
∵DF⊥AE,
∴AF=AG×ADDG=2a×4a2 5a=4 55a,
∵PQ//BC,
∴△APF∽△ABE,
∴APAB=PFBE=AFAE,即AP4a=PF2a=4 55a2 5a,
解得:AP=85a,PF=45a,
∴CQ=PB=AB−AP=4a−85a=125a,
FQ=PQ−PF=4a−45a=165a,
∵KH⊥AD,
∴tan∠ADG=KHDH=12,
设KH=x,则DH=2x,
∵PQ//AD,AK//FC,
∴∠DAF=∠QFE,∠KAF=∠CFE,
∴∠DAK=∠QFC,
又∵∠AHK=∠FQC=90°,
∴△AHK∽△FQC,
∴HKCQ=AHFQ,即x125a=AH165a,
解得:AH=43x,
∵AH+DH=AD,
∴43x+2x=4a,
解得:x=65a,
∴KH=65a,
∵△ADK的面积为S1=12AD×KH,△CDF的面积为S2=12CD×FQ,
∴S1S2=KHFQ=65a165a=38;
故答案为:38.
(1)证明△ABE∽△DFA,得出AEAD=BEAF,即可得出答案;
(2)延长DE交CB的延长线于H,连接DE、AH,证明△ADG∽△CHG,得出ADCH=AGCG=23,证出BE=CE=BH,得出EH=BC=AD,证明四边形ADEH是菱形,得出DF=HF,∠AEH=∠AED,DE=AD=EH=BC,得出CE=12DE,求出∠CDE=30°,得出∠AEH=∠AED=60°,求出∠FDE=30°=∠CDE,得出FE=CE,由等腰三角形的性质得出∠FCE=∠CFE=12∠AEH=30°,即可得出答案;
(3)过F作PQ⊥AB于P,交CD于Q,作KH⊥AD于H,则PQ=AD,AP=DQ,PQ//BC//AD,证明△ABE∽△DAG,证出AB=AD,得出四边形ABCD是正方形,得出AB=BC=CD=AD=PQ,设AB=BC=CD=AD=PQ=4a,则BE=AG=2a,由三角函数得出tan∠ADG=tan∠BAE=2a4a=12,由勾股定理得出AE=DG=2 5a,由三角形面积求出AF=4 55a,证明△APF∽△ABE,的APAB=PFBE=AFAE,求出AP=85a,PF=45a,得出CQ=PB=AB−AP=125a,FQ=PQ−PF=165a,由三角函数得出tan∠ADG=KHDH=12,设KH=x,则DH=2x,证明△AHK∽△FQC,得出HKCQ=AHFQ,求出AH=43x,由AH+DH=AD得出方程43x+2x=4a,解得x=65a,KH=65a,由三角形面积公式即可得出答案.
本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识;本题综合性强,熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键.
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