2024年天津市河东区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年天津市河东区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−3)×(−13)的结果等于( )
A. −103B. 19C. 1D. −1
2.估计 43的值在( )
A. 4到5之间B. 5到6之间C. 6到7之间D. 7到8之间
3.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空.空间站距离地球约为423000m，423000用科学记数法可表示为( )
A. 423×103B. 42.3×104C. 4.23×105D. 0.423×106
6.计算cs30°− 32的值等于( )
A. 0B. 32C. 1− 32D. 2− 32
7.计算2xx2−1−1x−1的结果正确的是( )
A. 1x+1B. 1x−1C. 2x−1x2−1D. x2−x−1x2−1
8.若点A(x1,−4)，B(x2,1)，C(x3,4)都在反比例函数y=−k2+1x的图象上.则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x19.若x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个根，则( )
A. x1+x2=−2B. x1+x2=3C. x1x2=−3D. x1x2=2
10.如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE=8，则C，D两点之间的距离为( )
A. 5B. 6C. 5 2D. 8
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把△ABC沿着CD折叠，点B的对应点为点E，连接AE.下列结论一定正确的是( )
A. AD+DE=AB
B. ∠CDE=60°
C. AE+EC=AC
D. AB/​/EC
12.如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=−14x2+34x+1的一部分(水平地面为x轴，单位：m)，有下列结论：①出球点A离点O的距离是1m；②羽毛球最高达到2516m；③羽毛球横向飞出的最远距离是3m；其中，正确结论的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.一个不透明的袋子里装有2个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为______．
14.计算：(−a3b)2= ______．
15.计算( 31+ 13)( 31− 13)的结果为______．
16.一次函数y=−x+4的图象向下平移3个单位后经过点(a,3)，则a的值为______．
17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在△ABC外，连接AE，BE，CE，过点A作AF⊥AE，交CE于点F，连接BF，若AE=AF=12BF= 2.则：
(Ⅰ)线段EF的长等于______；
(Ⅱ)△ABC的面积为______．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
(1)线段AB的长为______；
(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明) ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组3x+3≥4x①1+2x≥−3②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______．
20.(本小题8分)
某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量(单位：t).根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
21.(本小题10分)
已知点A，B，C在⊙O上．
(Ⅰ)如图①，过点A作⊙O的切线EF，交BC延长线于点E，D是弧BC的中点，连接DO并延长，交BC于点G，交⊙O于点H，交切线EF于点F，连接BA，BH，若∠ABH=24°，求∠E的大小；
(Ⅱ)如图②，若∠AOC+∠B=135°，⊙O的半径为5，BC=8，求AB的长．
22.(本小题10分)
综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔AB前有一段高为DE的台阶，已知CD的长为5米，高DE为3米，点E、C、A在同一条水平直线上.在点C处测得点B的仰角为45°，在点D处测得点B的仰角为38.7°．

(Ⅰ)求CE的长；
(Ⅱ)设塔AB的高度为h(单位：m)．
①用含有h的式子表示线段EA的长；
②求塔AB的高度(tan38.7°≈0.80，结果保留整数)．
23.(本小题10分)
已知小天家、文具店、公园依次在同一条直线上，文具店离小天家0.6km，公园离小天家0.8km，小天从家出发，先用了8min匀速步行去文具店；从文具店出来后接着匀速步行了3min到公园锻炼；从公园出来后，接着用了10min匀速步行回到家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(Ⅰ)①填表：
②填空：小天从文具店到公园的速度为______km/min；
③当28≤x≤68时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅱ)当小天离开文具店30min时，小天的弟弟小津从公园出发匀速步行直接回家，如果小津的速度为0.05km/min，那么小津在回家的途中遇到小天时离家的距离是多少？(直接写出结果即可)．
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形OAB的顶点A(2 3,0)，∠BAO=30°，菱形CDEF的顶点C(0,1)，E(−2 3,1)，F(− 3,0)．
(Ⅰ)填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______；
(Ⅱ)将菱形CDEF沿水平方向向右平移，得到菱形C′D′E′F′，点C，D，E，F的对应点分别为C′，D′，E′，F′，设FF′=t，菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分的面积为5．
(ⅰ)如图②，当边D′E′分别与AB、OB相交于点M、N，边E′F′与OB相交于点P，边F′C′与AB相交于点Q，且菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(ⅱ)当S= 32时，求t的值(直接写出结果即可)．
25.(本小题10分)
已知抛物线y=12x2+bx+c(b,c为常数)，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D．
(Ⅰ)若b=−2，c=−6．
①求点A和点D的坐标；
②连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
(Ⅱ)若点B的坐标为(−c,0)，且c<−1，抛物线上的点F的横坐标为m，且−b答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(−3)×(−13)=1，
故选：C．
根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘计算即可．
本题考查了有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵ 36< 43< 49，即6< 43<7，
∴ 43的值在6到7之间，
故选：C．
先估算 43的大小，从而判断其在哪两个整数之间，进行解答即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】
解：从正面看，从左到右，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的概念解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：423000=4.23×105，
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：cs30°− 32
= 32− 32
=0．
故选：A．
首先计算特殊角的三角函数值，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
7.【答案】A
【解析】解：2xx2−1−1x−1
=2x(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)
=2x−x−1(x+1)(x−1)
=x−1(x+1)(x−1)
=1x+1，
故选：A．
先通分，然后根据同分母的分式相加减的运算法则计算即可．
本题考查了分式的加减，熟练掌握异分母的分式相加减的运算法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=−k2+1x中，−(k2+1)<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵−4<0<1<4，
∴B、C两点在第二象限，A点在第四象限，
∴x2故选：B．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：因为x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个根，
所以x1+x2=2，x1x2=−3．
故选：C．
根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC=OD=CE=DE=5，
∴四边形OCED为菱形，
∴CD⊥OE，OF=EF=12OE=4，CF=DF，
由勾股定理得，CF= OC2−OF2=3，
∴CD=2CF=6，
即C，D两点之间的距离为6．
故选：B．
连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC=OD=CE=DE=5，即四边形OCED为菱形，则可得OF=EF=12OE=4，CF= OC2−OF2=3，则CD=2CF=6．
本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，
∴AD=BD=CD，
根据折叠的性质可得，BD=DE，
∴AB=AD+BD=AD+DE，
故A选项正确，符合题意；
当∠B=60°时，△BCD和△ECD为等边三角形，此时∠CDE=60°，
∴∠CDE不一定为60°，
故B选项错误，不符合题意；
当点E在AC边上时，AE+EC=AC，
当点E不在AC边上时，根据三角形三边关系可得，AE+EC>AC，
故C选项错误，不符合题意；
当∠BCD=45°时，点E在AC边上，
此时AE和CD不平行，
故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
根据折叠的性质可得BD=DE，则AB=AD+BD=AD+DE，即可判断A选项；假如∠CDE=60°，则∠B=60°，但无法得出∠B的度数，则无法判断∠CDE的大小，以此可判断B选项；根据三角形的三边关系即可判断C选项；取一个特殊的点E，当点E在AC边上，此时AE和CD不平行，以此即可判断D选项．
本题主要考查折叠的性质、直角三角形斜边上的中线、三角形的三边关系，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：当x=0时，y=1，
则出球点A离地面点O的距离是1m，故①正确；
∵y=−14x2+34x+1，
∴y=−14(x−32)2+2516，
∴此次羽毛球最高可达到2516m，故②正确；
当y=0时，0=−14x2+34x+1，
解得：x1=−1(舍去)，x2=4≠3.故③错误；
其中，正确结论的个数是2个，
故选：C．
①当x=0时代入解析式求出y的值即可；
②将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
③当y=0时代入解析式求出x的值即可．
本题考查了二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时将二次函数的解析式的一般式化为顶点式是关键．
13.【答案】211
【解析】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为22+3+6=211，
故答案为：211．
根据题目中的数据，可以直接写出从袋中任意摸出一个球为绿球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
14.【答案】a6b2
【解析】解：(−a3b)2=a6b2．
故答案为：a6b2．
直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确把握运算法则是解题关键．
15.【答案】18
【解析】解：( 31+ 13)( 31− 13)
=31−13
=18，
故答案为：18．
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
16.【答案】−2
【解析】解：一次函数y=−x+4的图象向下平移3个单位后得到y=−x+4−3=−x+1，
∵平移后的函数图象经过点(a,3)，
∴3=−a+1，
解得a=−2，
故答案为：−2．
根据平移的规律得到y=kx+2−3，然后根据待定系数法即可求得k的值，从而求得正比例函数的表达式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了一次函数的图象上点的坐标特征．
17.【答案】2 5
【解析】解：(Ⅰ)∵AF⊥AE，AE=AF= 2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF= AE2+AF2=2，
故答案为：2．
(Ⅱ)连接BF，如图所示：
∵AF⊥AE，AE=AF= 2，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠AFC=180°−∠AFE=135°，
∵AF⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠BAF=90°，∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△EAB和△FAC中，
AE=AF∠EAB=∠FACAB=AC，
∴△EAB≌△FAC(SAS)，
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=135°，
∴∠BEC=∠AEB−∠AEF=135°−45°=90°，
∵12BF= 2，
∴BF=2 2，
在Rt△BEF中，EF=2，BF=2 2，
由勾股定理得：BE= BF2−EF2=2，
∴CF=BE=2，
∴CE=EF+CF=2+2=4，
在Rt△BCE中，BE=2，CE=4，
由勾股定理得：BC= BE2+CE2=2 5，
在Rt△ABC中，AB=AC，BC=2 5，
由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，
∴2AB2=(2 5)2，
∴AB2=10，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12AB2=5．
(Ⅰ)在Rt△AEF中，根据AE=AF= 2，由勾股定理可得EF的长；
(Ⅱ)连接BF，先证△AEF为等腰直角三角形，则∠AEF=∠AFE=45°，进而得∠AFC=135°，再证△EAB和△FAC全等得BE=CF，∠AEB=∠AFC=135°，则∠BEC=∠AEB−∠AEF=90°，在Rt△BEF中由勾股定理得BE=2，则CF=BE=2，CE=EF+CF=4，在Rt△BCE中由勾股定理得BC=2 5，由此可得△ABC的面积．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
18.【答案】 29 取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【解析】解：(1)AB= 22+52= 29．
故答案为： 29；
(2)如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA=∠QCB，∠CBQ=∠CAP=60°，
∵AC=CB，
∴△ACP≌△BAQ(ASA)，
∴∠ACP=∠BCQ，CP=CQ，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
(1)利用勾股定理求解即可．
本题考查作图−复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
19.【答案】x≤3 x≥−2 −2≤x≤3
【解析】解：3x+3≥4x①1+2x≥−3②．
(Ⅰ)解不等式①，得x≤3；
(Ⅱ)解不等式②，得x≥−2；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为−2≤x≤3．
故答案为：x≤3，x≥−2，−2≤x≤3．
分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可得出答案．
本题主要考查解不等式组，掌握大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解是解题的关键
20.【答案】解：(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为：8÷16%=50(个)；
m%=1050×100%=20%，即m=20；
故答案为：50，20；
(Ⅱ)这组月均用水量数据的平均数是：5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×450=5.9(t)，
∵6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6t；
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，
∴这组数据的中位数是6t．
【解析】(Ⅰ)根据每月用水5t的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水6.5t的户数除以总户数，即可得出m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．
本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．
21.【答案】解：(Ⅰ)如图①，连接OA，
∵EF与⊙O相切于点A，
∴EF⊥OA，
∴∠OAF=90°，
∵∠ABH=24°，
∴∠AOF=2∠ABH=2×24°=48°，
∵D是弧BC的中点，DH是⊙O的直径，
∴DH垂直平分BC，
∴∠EGF=90°，
∵∠E+∠F=90°，∠AOF+∠F=90°，
∴∠E=∠AOF=48°，
∴∠E的度数是48°．
(Ⅱ)如图②，作CL⊥AB于点L，则∠BLC=∠ALC=90°，
∵∠AOC+∠B=135°，∠AOC=2∠B，
∴2∠B+∠B=135°，
∴∠B=45°，∠AOC=90°，
∴∠LCB=∠B=45°，
∴BL=CL，
∵⊙O的半径为5，BC=8，
∴OA=OC=5，BC= BL2+CL2= 2CL2= 2CL=8，
∴AC= OA2+OC2= 52+52=5 2，BL=CL=4 2，
∴AL= AC2−CL2= (5 2)2−(4 2)2=3 2，
∴AB=AL+BL=3 2+4 2=7 2，
∴AB的长是7 2．
【解析】(Ⅰ)连接OA，由切线的性质得EF⊥OA，则∠OAF=90°，求得∠AOF=2∠ABH=48°，由垂径定理证明DH垂直平分BC，则∠EGF=90°，即可由“同角的余角相等”证明∠E=∠AOF=48°；
(Ⅱ)作CL⊥AB于点L，由∠AOC+∠B=135°，∠AOC=2∠B，求得∠B=45°，∠AOC=90°，则BL=CL，由BC= 2CL=8，求得BL=CL=4 2，而AC=5 2，所以AL= AC2−CL2=3 2，求得AB=AL+BL=7 2．
此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：DE⊥CE，
在Rt△DEC中，CD=5m，DE=3m，
∴CE= CD2−DE2= 52−32=4(m)，
∴CE的长为4m；
(Ⅱ)①由题意得：BA⊥AC，
在Rt△ABC中，AB=h m，∠BCA=45°，
∴AC=ABtan45∘=h(m)，
∵CE=4m，
∴AE=CE+CA=(4+h)m，
∴线段EA的长为(4+h)m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：DF=AE=(4+h)m，AF=DE=3m，
在Rt△BDF中，∠BDF=38.7°，
∴BF=DF⋅tan38.7°≈0.8(4+h)m，
∵AF+BF=AB，
∴3+0.8(4+h)=h，
解得：h=31，
∴塔AB的高度约为31m．
【解析】(Ⅰ)根据题意可得：DE⊥CE，然后在Rt△DEC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(Ⅱ)①根据题意可得：BA⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF=AE=(4+h)m，AF=DE=3m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，再根据AF+BF=AB列出关于h的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】340 0.6 0.8 115
【解析】解：(Ⅰ)①由图象可知，小天从家到文具店的速度为0.6÷8=340(km/min)，
∴当小天离开家1min时，小天到家的距离为340×1=340(km)；
当小天离开家15min时，小天到家的距离为0.6km，
当小天离开家58min时，小天到家的距离为0.8km，
故答案为：340，0.6，0.8；
②小天从文具店到公园的速度为0.8−0.628−25=115(km/min)，
故答案为：115；
③当28≤x≤58时，y=0.8；
当58把(58,0.8)，(68,0)代入解析式得58k+b=0.868k+b=0，
解得k=−0.08b=5.44，
∴y=−0.08x+5.44．
综上所述，小天离家的距离y关于时间x的函数解析式为y=0.8(28≤x≤58)−0.08x+5.44(58(Ⅱ)当小天离开文具店30min时，x=25+30=55，
∴此时小天在公园，
小津从公园回家所用时间为(min)，
此时小天离开家55+16=71(min)，
设小津离家的距离y与小天离开家的时间x的函数解析式为y=mx+n，
把(55,0.8)，(71,0)代入解析式得55m+n=0.871m+n=0，
解得m=−0.05n=3.35，
∴小津离家的距离y与小天离开家的时间x的函数解析式为y=−0.05x+3.55，
联立方程组y=−0.05x+3.55y=−0.08x+5.44，
解得x=63y=0.4．
∴小津在回家的途中遇到小天时离家的距离是0.4km．
(Ⅰ)①根据函数的图象计算即可；
②根据速度=路程÷时间计算即可；
③根据函数图象分段写出函数解析式即可；
(Ⅱ)先求出小津离家的距离y与小天离开家的时间x的函数解析式，再联立方程组y=−0.2x+12.8y=−0.05x+3.35，求交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
24.【答案】(0,2 (− 3,2)
【解析】解：(Ⅰ)∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，OA=2 3，
∴OB=2 3⋅tan30°=2 3× 33=2，
∴B(0,2)，
∵CE=2 3，OF= 3，四边形CDEF是菱形，
∴DF=2OC=2，
∴D( 3,2)，
故答案为：(0,2)，( 3,2)；
(Ⅱ)(i)如图1，
连接CE，作F′G⊥AB于G，
∴CE′=CE−EE′=2 3−t，
∵tan∠FCO=OFOC= 3，
∴∠FCO=60°，
同理可得：∠BCD=60°，
∴∠DCF=60°，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE=EF，∠D′E′F′=∠DEF=∠DCF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠CDF=60°，
由平移的性质得，
DE//D′E′，
∵DF//OB，
∴∠ENP=∠EDF=60°，
∴△EPN是等边三角形，
∵CP= 33CE′= 33(2 3−t)，S△E′PN=12PN⋅CE′=CP⋅CE′，
∴S△E′PN= 33(2 3−t)2
∵FG=12AF′=12(AF−FF′)=12(3 3−t)，
∴S▱QME′F′=E′F′⋅FG=3 3−t，
∴S=(3 3−t)− 33(2 3−t)2− 33(2 3−t)2=− 33t2+3t− 3( 3(ii)如图2，
当0∵CC′=t，PN=2 33t，
∴S=12CC′⋅PN= 33t2，
由 33t2= 32得，
t= 62，
当 3由− 33t2+3t− 3= 32得，
t1=3 3−32(舍去)，t2=3 3+32(舍去)，
如图3，
当2 3由3 3−t= 32得，
t=5 32，
综上所述：t= 62或5 32．
(Ⅰ)解直角三角形AOB求得OB，求得点B坐标，根据菱形的性质得出D点坐标；
(Ⅱ)(i)连接CE，作F′G⊥AB于G，可得出△DEF是等边三角形，进而得出△EPN是等边三角形，进而求得S△E′PN= 33(2 3−t)2和S▱QME′F′=E′F′⋅FG=3 3−t，进而得出S的解析式；
(ii)分为当0本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形和解方程等知识，解决问题的关键是分类讨论．
25.【答案】解：(Ⅰ)①若b=−2，c=−6，则抛物线的表达式为：y=12x2−2x−6=12(x−2)2−8，
则点D(2,−8)；
令y=12x2−2x−6=12(x−2)2−8=0，则x=−2或6，
即点A、B的坐标分别为：(−2,0)，(6,0)，
即D(2,−8)、点A(−2,0)；
②由点A、C(0,−6)的坐标得，直线AC的表达式为：y=−3x−6，
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y=−2x−12，
联立上述两个函数表达式得：−3x−6=−2x−12，
解得：x=65，则点E(65,−485)，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，过点B作BG⊥AE于点G，

由点A、B、E的坐标得，AE=16 105，BE=24 55，
而S△ABE=12⋅AB⋅EF=12⋅AE⋅BG，
则BG=12 105，
则sin∠CEB=BGEB= 22，
则∠CEB=45°；
(Ⅱ)将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=12c2−bc+c，
解得：c=2b−2，
则抛物线的表达式为：y=12x2+bx+2b−2，
设点F(m,12m2+bm+2b−2)，其中−b由抛物线的表达式知，点D(−b,−12b2+2b−2)，
过点F作FM⊥l于点M，连接DM，
则∠FMD=90°，则点M(b,12m2+bm+2b−2)，
由点B、C的坐标知，△CBO为等腰直角三角形，
则∠CBO=∠BCO=45°，
∵DF/​/BC，
则∠MDF=45°，则FM=MD，
即m+b=12(m+b)2，
解得：b=2−m(不合题意的值已舍去)，
则点F(m,−12m2+2)，
过点F作FH⊥x轴于点H，交BC于点N，

同理可得：直线BC的表达式为：y=x+c=x+2b−2，
则点H(m,0)，点N(m,2−m)，
则FH=−12m2+2，FN=2−m+12m2−2=12m2−m，
同理可得：∠HNB=∠NBH=45°=∠FNG=∠NFG，
则BG+3FG=BN+NG+3FG= 2NH+2 2FN=4 2，
即 2(m−2)+2 2(12m2−m)=4 2，
解得：m=3(不合题意的值已舍去)．
【解析】(Ⅰ)①由y=12x2−2x−6=12(x−2)2−8，则点D(2,−8)；令y=12x2−2x−6=12(x−2)2−8=0，则x=−2或6，即可求解；
②由S△ABE=12⋅AB⋅EF=12⋅AE⋅BG，得到BG=12 105，即可求解；
(Ⅱ)求出F(m,−12m2+2)，H(m,0)，点N(m,2−m)，得到FH=−12m2+2，FN=2−m+12m2−2=12m2−m，则BG+3FG=BN+NG+3FG= 2NH+2 2FN=4 2，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、等腰直角三角形的性质、线段长度的表示方法等，正确的运算能力是解题的关键．小天离开家的时间/min
1
8
15
58
小天离开家的距离/km
______
0.6
______
______