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2024年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模数学试题
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这是一份2024年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模数学试题，共13页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
本试卷包括三道大题，共 24 道小题，共 6页。全卷满分 120 分。考试时间为 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题(本大题共8小题，每小题 3分，共24分)
1.计算(-3)×(-4)的结果是
A.-7 B.-12 C.7 D.12
2.奥迪一汽新能源汽车有限公司已全面进入预批量生产，预计今年年底实现量产，届时年产能将超过 150 000 辆.将150 000 这个数用科学记数法表示为
A.15×10⁴ B.1.5×10⁵ C.1.5×10⁶ ×10⁶
3.下列图形中，是长方体表面展开图的是
4.已知正整数a、b满足等式 2+a=b2,下列各组数值中符合要求的是
A. a=1,b=1 B. a=1,b=2 C. a=2,b=2 D. a=4,b=2
5.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是
A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段 D.作角的平分线
6.如图，一个零刻度落在点 A 的量角器(半圆O)的直径为 AB，等腰直角三角尺的一顶点与点 B 重合，它的斜边 BQ与半圆交于点C，直角边 BP 与半圆交于点 D.若点 C 在量角器上的读数为26°，则点 D 在量角器上的读数为
A.58° B.71° C.103° D.116°
7.某路灯示意图如图所示,它是轴对称图形,若∠ACB=130°,AC=BC=1.2m,CD 与地面垂直且CD=6m，则灯顶 A 到地面的高度为
A.6+1.2sin25°m B.6+1.2cs25°m
C.6+1.2sin25°m D.6+1.2cs25°m
8.如图,点 A 在函数 y=4x(x<0)的图象上，点 B在函数 y=-6xx0)的图象上，AB与y轴交于点 C,D 是x轴上一点,连结 AD、BD、CD.若 AB∥x轴,则△ACD与△BCD 的面积比为
A. 25 B. 23
C. 32 D. 49
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分)
9.分解因式： a²-9=.
10.若关于x的一元二次方程 x²+4x+m=0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 .
11.某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台.甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台.若购买甲品牌电子白板费用为3(10+x)万元，则购买乙品牌电子白板费用为 万元.(用含 x的代数式表示)
12.如图,扇形的半径 OA=2,∠AOB=90°,C 是 AB上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点 D、E.若 CD=CE，则图中阴影部分图形的面积为 .(结果保留π)
13.如图,在四边形 ABCD 中,AB=6,AD=4,BC=2,CD=10,则对角线 BD 的长度可能是 .(写出一个即可)
14.公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下.安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O在同一水平面.如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 m.
三、解答题(本大题共 10 小题，共 78分)
15.(6分)先化简,再求值:( a-1²+aa+2,其中 a=5.
16.(6分)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，汽开区教育局鼓励在校内“学校种植园”开展“活动+劳动教育”课程.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供3张背面完全相同的卡片，其中正面分别印有白菜、辣椒、茄子图案.把这 3张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，记录后背面朝上放回，重新洗匀后，小华再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”的概率.
17.(6分)“竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”.为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作 600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前2 天完成任务.问原计划平均每天制作多少个玩偶?
18.(7分)如图,延长 ‖gramABCD的边 AB 到点 E,使 BE=BC,,延长边 CD 到点 F,使 DF=DA,连结AF、CE.求证:四边形 AECF 是平行四边形.
19.(7分)某校为更好地开展安全教育活动，随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每名被调查的学生从防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识薄弱项目中选择一项，根据调查结果，绘制出两幅不完整的统计图.
(1)求这次被调查的学生人数.
(2)补全条形统计图.
(3)请估计该校 1 800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数.
20.(7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，M是AB 与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中,作△DBC,使△DBC与△ABC全等.
(2)在图②中,作点 M关于 BC 的对称点 N.
(3)在图③中,在 BC边上找一点E,连结 ME,使 ME=MB.
21.(8分)甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数关系如图所示.(0≤x≤12)
(1)求甲距离终点的路程y(米)和跑步时间x(分)之间的函数关系式.
(2)求甲、乙两人相距最远时的距离.
22.(9分)【感知】如图①,在正方形ABCD 内部作等边三角形PBC,连结 PA、PD,则∠APD的大小为 度.
【迁移】小明遇到这样一个问题:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 是△ABC内的一点,且CD=AD,BD=BA,求证:∠ABC=3∠DBC.
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出， ∠DBA=30°,进而得证.下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作AC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，两平行线交于点 E，连结 DE.
∵BE∥AC,CE∥AB,∴四边形 ABEC是平行四边形.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴四边形 ABEC是正方形.
∵DC=DA,∴∠DCA=∠DAC.
∵四边形 ABEC是正方形,∴EC=AB=BE,∠ECA=∠BAC=∠ABE=90°.
∴∠ECA-∠DCA=∠BAC--∠DAC,即∠ECD=∠BAD.
∵CD=AD,EC=AB,∴△ECD≌△BAD(S. A. S.).
∴ED=BD.
请你补全余下的证明过程.
【拓展】如图③,在 Rt△ABC中,A C=BC=3,∠ACB=90°,CD=2BD,CF⊥ALD于点E,交 AB 于点F,则 BF的长为 .
23.(10分)如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=10,AC=8.动点 P 从点 A 出发,沿 AB 以每秒4个单位长度的速度向终点 B 运动.过点 P 作. PQ⊥AB交边AC 或边 BC 于点Q,且点 P 不与点A、B重合,点 Q不与点C 重合.设线段 PQ的中点为O,将 PQ 截. △ABC得到的小三角形绕点O 旋转 180°,得到 △PQM.设 P 点的运动时间为t秒.
(1)求 BC的长.
(2)用含 t 的代数式表示线段CQ 的长.
(3)当点 Q在边AC 上时,连结 BM,求线段 BM的最小值.
(4)在点 P 运动过程中，直接写出射线 CM平分 △ABC面积时t的值.
24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²+bx+2经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上,且点 P 的横坐标为m,过点 P 作 PQ⊥y轴,点 Q 的横坐标为2—4m.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.
(2)作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.
(3)当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.
(4)过点 P 作 PM⊥x轴,点 M 的纵坐标为m+2,且点 M 与点 P 不重合,连结 MQ,当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.数学参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9. (a+3)(a-3) 10. m<4 11. (20-2x) 12. π/2
13. 9(答案不唯一, 满足8三、解答题(本大题共 10 小题, 共 78分)
15. 原式 =a²-2a+1+a²+2a (2分)
=2a²+1. (4分)
当 a=5时，原式 =2×52+1=11. (6分)
16. 树状图如下:
或列表如下：
(4分)
所以P(小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”) =19. (6分)
17. 设原计划平均每天制作x个玩偶，根据题意，得 (1分)
600x-6001.2x=2. (3分)
解得 x=50. (5分)
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意. (6分)
答：原计划平均每天制作 50个玩偶.小明
情况
小华
白菜
辣椒
茄子
白菜
(白菜, 白菜)
(辣椒, 白菜)
(茄子，白菜)
辣椒
(白菜, 辣椒)
(辣椒，辣椒)
(茄子, 辣椒)
茄子
(白菜, 茄子)
(辣椒, 茄子)
(茄子，茄子)
18. ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB, DC=AB, AD=BC. (3分)
∵BE=BC, DF=DA, ∴BE=DF. (5分)
∴DF+DC=AB+BE, 即 FC=AE. (6分)
∵FC∥AE, ∴四边形AECF是平行四边形. (7分)
(其他证法按步骤酌情赋分)
19. (1) 16÷16%=100 (人) (2分)
所以这次被调查的学生人数为100 人.
(2) 补全条形统计图如图所示：
(4分)
31800×8100=144(人) (7分)
估计该校 1800 名学生中防溺水意识薄弱的学生人数约为144 人.
20. (1) (2) (3)
注: 图①、图②各2分, 图③3分. (7分)
图①画出一个即可，图③答案不唯一，以上仅供参考.
21.(1) 设甲距离终点的路程y(米) 和跑步时间x(分)之间的函数关系式为 y=kx+b.(1分)
把(12, 0)、(0, 3000) 代入,
得 12k+b=0,b=3000, (3分)
解得 k=-250,b=3000, (4分)
所以y=-250x+3000 (0≤x≤12). (5分)
(2) 当x=9时, 甲、乙两人相距最远.
y=-250×9+3000=750. (7分)
1000-750=250(米). (8分)
所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米.
22.【感知】150 (2分)
【探究】∵BD=BA,
∴ED=BD=BA, 即△EDB 是等边三角形. (3分)
∴∠EBD=60°. (4分)
∴∠DBA=90°-60°=30°.
∵∠BAC=90°, AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°. (5分)
∴∠CBD=∠ABC--∠DBA=45°-30°=15°. (6分)
∴∠ABC=3∠DBC. (7分)
【拓展】 652 (9分)
23. (1)在△ABC中, ∠C=90°, AB=10, AC=8,
∴BC=AB2-AC2=102-82=6. (2分)
(2)当 0 当 85(3) ∵△PQM 是由截△QPA绕点 O 旋转180°得到的,∴点A、O、M共线.
∴sin∠MAB=OPOA=32t32t2+4t2=37373. (7分)(6分)
当BM⊥AM时, BM取得最小值.
此时， BM=AB⋅sin∠MAB=10×37373=307373. (8分)
4t=4057 或 t=8543. (10分)
24. (1) ∵抛物线 y=x²+bx+2经过点(4, 2),
∴16+4b+2=2,解得b=-4. (1分)
∴该抛物线所对应的函数表达式为 y=x²-4x+2. (2分)
:y=x²-4x+2=x-2²-2,
∴该抛物线的顶点坐标为(2, -2) . (3分)
(2) ∵⊙P 与x轴相切,且⊙P的半径长为3,
∴yP=±3.
∵该抛物线顶点的纵坐标为-2, ∴yp=-3舍去.
当 yP=3时,
x-2²-2=3,解得 x1=2+5,x2=2-5. (5分)
∴点P的坐标为( 2+53或 2-53. (6分)
(3)当 m<25时, 点P在点Q 左侧.
若 22-m=132-4m-m,解得m=10(舍去).
若 22-m=232-4m-m,解得m=-2. (8分)
当 m>25时, 点 P在点Q 右侧.
若 2m-2=13m-2-4m,解得m=10.
若 2m-2=23m-2-4m,解得m=-2 (舍去). (10分)
综上, m=-2或m=10.
4-23≤m<0或 25
本试卷包括三道大题，共 24 道小题，共 6页。全卷满分 120 分。考试时间为 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题(本大题共8小题，每小题 3分，共24分)
1.计算(-3)×(-4)的结果是
A.-7 B.-12 C.7 D.12
2.奥迪一汽新能源汽车有限公司已全面进入预批量生产，预计今年年底实现量产，届时年产能将超过 150 000 辆.将150 000 这个数用科学记数法表示为
A.15×10⁴ B.1.5×10⁵ C.1.5×10⁶ ×10⁶
3.下列图形中，是长方体表面展开图的是
4.已知正整数a、b满足等式 2+a=b2,下列各组数值中符合要求的是
A. a=1,b=1 B. a=1,b=2 C. a=2,b=2 D. a=4,b=2
5.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是
A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段 D.作角的平分线
6.如图，一个零刻度落在点 A 的量角器(半圆O)的直径为 AB，等腰直角三角尺的一顶点与点 B 重合，它的斜边 BQ与半圆交于点C，直角边 BP 与半圆交于点 D.若点 C 在量角器上的读数为26°，则点 D 在量角器上的读数为
A.58° B.71° C.103° D.116°
7.某路灯示意图如图所示,它是轴对称图形,若∠ACB=130°,AC=BC=1.2m,CD 与地面垂直且CD=6m，则灯顶 A 到地面的高度为
A.6+1.2sin25°m B.6+1.2cs25°m
C.6+1.2sin25°m D.6+1.2cs25°m
8.如图,点 A 在函数 y=4x(x<0)的图象上，点 B在函数 y=-6xx0)的图象上，AB与y轴交于点 C,D 是x轴上一点,连结 AD、BD、CD.若 AB∥x轴,则△ACD与△BCD 的面积比为
A. 25 B. 23
C. 32 D. 49
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分)
9.分解因式： a²-9=.
10.若关于x的一元二次方程 x²+4x+m=0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 .
11.某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台.甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台.若购买甲品牌电子白板费用为3(10+x)万元，则购买乙品牌电子白板费用为 万元.(用含 x的代数式表示)
12.如图,扇形的半径 OA=2,∠AOB=90°,C 是 AB上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点 D、E.若 CD=CE，则图中阴影部分图形的面积为 .(结果保留π)
13.如图,在四边形 ABCD 中,AB=6,AD=4,BC=2,CD=10,则对角线 BD 的长度可能是 .(写出一个即可)
14.公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下.安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O在同一水平面.如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 m.
三、解答题(本大题共 10 小题，共 78分)
15.(6分)先化简,再求值:( a-1²+aa+2,其中 a=5.
16.(6分)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，汽开区教育局鼓励在校内“学校种植园”开展“活动+劳动教育”课程.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供3张背面完全相同的卡片，其中正面分别印有白菜、辣椒、茄子图案.把这 3张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，记录后背面朝上放回，重新洗匀后，小华再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”的概率.
17.(6分)“竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”.为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作 600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前2 天完成任务.问原计划平均每天制作多少个玩偶?
18.(7分)如图,延长 ‖gramABCD的边 AB 到点 E,使 BE=BC,,延长边 CD 到点 F,使 DF=DA,连结AF、CE.求证:四边形 AECF 是平行四边形.
19.(7分)某校为更好地开展安全教育活动，随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每名被调查的学生从防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识薄弱项目中选择一项，根据调查结果，绘制出两幅不完整的统计图.
(1)求这次被调查的学生人数.
(2)补全条形统计图.
(3)请估计该校 1 800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数.
20.(7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，M是AB 与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中,作△DBC,使△DBC与△ABC全等.
(2)在图②中,作点 M关于 BC 的对称点 N.
(3)在图③中,在 BC边上找一点E,连结 ME,使 ME=MB.
21.(8分)甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数关系如图所示.(0≤x≤12)
(1)求甲距离终点的路程y(米)和跑步时间x(分)之间的函数关系式.
(2)求甲、乙两人相距最远时的距离.
22.(9分)【感知】如图①,在正方形ABCD 内部作等边三角形PBC,连结 PA、PD,则∠APD的大小为 度.
【迁移】小明遇到这样一个问题:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 是△ABC内的一点,且CD=AD,BD=BA,求证:∠ABC=3∠DBC.
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出， ∠DBA=30°,进而得证.下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作AC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，两平行线交于点 E，连结 DE.
∵BE∥AC,CE∥AB,∴四边形 ABEC是平行四边形.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴四边形 ABEC是正方形.
∵DC=DA,∴∠DCA=∠DAC.
∵四边形 ABEC是正方形,∴EC=AB=BE,∠ECA=∠BAC=∠ABE=90°.
∴∠ECA-∠DCA=∠BAC--∠DAC,即∠ECD=∠BAD.
∵CD=AD,EC=AB,∴△ECD≌△BAD(S. A. S.).
∴ED=BD.
请你补全余下的证明过程.
【拓展】如图③,在 Rt△ABC中,A C=BC=3,∠ACB=90°,CD=2BD,CF⊥ALD于点E,交 AB 于点F,则 BF的长为 .
23.(10分)如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=10,AC=8.动点 P 从点 A 出发,沿 AB 以每秒4个单位长度的速度向终点 B 运动.过点 P 作. PQ⊥AB交边AC 或边 BC 于点Q,且点 P 不与点A、B重合,点 Q不与点C 重合.设线段 PQ的中点为O,将 PQ 截. △ABC得到的小三角形绕点O 旋转 180°,得到 △PQM.设 P 点的运动时间为t秒.
(1)求 BC的长.
(2)用含 t 的代数式表示线段CQ 的长.
(3)当点 Q在边AC 上时,连结 BM,求线段 BM的最小值.
(4)在点 P 运动过程中，直接写出射线 CM平分 △ABC面积时t的值.
24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²+bx+2经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上,且点 P 的横坐标为m,过点 P 作 PQ⊥y轴,点 Q 的横坐标为2—4m.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.
(2)作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.
(3)当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.
(4)过点 P 作 PM⊥x轴,点 M 的纵坐标为m+2,且点 M 与点 P 不重合,连结 MQ,当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.数学参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9. (a+3)(a-3) 10. m<4 11. (20-2x) 12. π/2
13. 9(答案不唯一, 满足8
15. 原式 =a²-2a+1+a²+2a (2分)
=2a²+1. (4分)
当 a=5时，原式 =2×52+1=11. (6分)
16. 树状图如下:
或列表如下：
(4分)
所以P(小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”) =19. (6分)
17. 设原计划平均每天制作x个玩偶，根据题意，得 (1分)
600x-6001.2x=2. (3分)
解得 x=50. (5分)
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意. (6分)
答：原计划平均每天制作 50个玩偶.小明
情况
小华
白菜
辣椒
茄子
白菜
(白菜, 白菜)
(辣椒, 白菜)
(茄子，白菜)
辣椒
(白菜, 辣椒)
(辣椒，辣椒)
(茄子, 辣椒)
茄子
(白菜, 茄子)
(辣椒, 茄子)
(茄子，茄子)
18. ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB, DC=AB, AD=BC. (3分)
∵BE=BC, DF=DA, ∴BE=DF. (5分)
∴DF+DC=AB+BE, 即 FC=AE. (6分)
∵FC∥AE, ∴四边形AECF是平行四边形. (7分)
(其他证法按步骤酌情赋分)
19. (1) 16÷16%=100 (人) (2分)
所以这次被调查的学生人数为100 人.
(2) 补全条形统计图如图所示：
(4分)
31800×8100=144(人) (7分)
估计该校 1800 名学生中防溺水意识薄弱的学生人数约为144 人.
20. (1) (2) (3)
注: 图①、图②各2分, 图③3分. (7分)
图①画出一个即可，图③答案不唯一，以上仅供参考.
21.(1) 设甲距离终点的路程y(米) 和跑步时间x(分)之间的函数关系式为 y=kx+b.(1分)
把(12, 0)、(0, 3000) 代入,
得 12k+b=0,b=3000, (3分)
解得 k=-250,b=3000, (4分)
所以y=-250x+3000 (0≤x≤12). (5分)
(2) 当x=9时, 甲、乙两人相距最远.
y=-250×9+3000=750. (7分)
1000-750=250(米). (8分)
所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米.
22.【感知】150 (2分)
【探究】∵BD=BA,
∴ED=BD=BA, 即△EDB 是等边三角形. (3分)
∴∠EBD=60°. (4分)
∴∠DBA=90°-60°=30°.
∵∠BAC=90°, AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°. (5分)
∴∠CBD=∠ABC--∠DBA=45°-30°=15°. (6分)
∴∠ABC=3∠DBC. (7分)
【拓展】 652 (9分)
23. (1)在△ABC中, ∠C=90°, AB=10, AC=8,
∴BC=AB2-AC2=102-82=6. (2分)
(2)当 0
∴sin∠MAB=OPOA=32t32t2+4t2=37373. (7分)(6分)
当BM⊥AM时, BM取得最小值.
此时， BM=AB⋅sin∠MAB=10×37373=307373. (8分)
4t=4057 或 t=8543. (10分)
24. (1) ∵抛物线 y=x²+bx+2经过点(4, 2),
∴16+4b+2=2,解得b=-4. (1分)
∴该抛物线所对应的函数表达式为 y=x²-4x+2. (2分)
:y=x²-4x+2=x-2²-2,
∴该抛物线的顶点坐标为(2, -2) . (3分)
(2) ∵⊙P 与x轴相切,且⊙P的半径长为3,
∴yP=±3.
∵该抛物线顶点的纵坐标为-2, ∴yp=-3舍去.
当 yP=3时,
x-2²-2=3,解得 x1=2+5,x2=2-5. (5分)
∴点P的坐标为( 2+53或 2-53. (6分)
(3)当 m<25时, 点P在点Q 左侧.
若 22-m=132-4m-m,解得m=10(舍去).
若 22-m=232-4m-m,解得m=-2. (8分)
当 m>25时, 点 P在点Q 右侧.
若 2m-2=13m-2-4m,解得m=10.
若 2m-2=23m-2-4m,解得m=-2 (舍去). (10分)
综上, m=-2或m=10.
4-23≤m<0或 25
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