海南省2023-2024学年高一下学期阶段性教学检测（三）（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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2.考查范围：必修第一册全书.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，又，
所以，
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦二倍角公式可得结果.
【详解】因为，
所以或，又，所以.
故选：A.
3. 扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算可得.
【详解】由扇形的面积公式可得.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】化弦为切，代入求值.
【详解】.
故选：B
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间.
【详解】当时，设，
则，
故在上是单调递增函数；
又，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：C.
6. 如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先研究函数的奇偶性，排除AB，再根据当时，，排除C，经过判断，D选项正确.
【详解】A选项，的定义域为，
，故为偶函数，图象关于y轴对称，A错误；
B选项，的定义域为，
，故为偶函数，图象关于y轴对称，B错误；
C选项，的定义域为，
，故为奇函数，
但当时，，不合要求，C错误；
D选项，的定义域为，
且，故为奇函数，
当时，，当时，，满足要求
故选：D
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数、对数函数、正弦函数的性质，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，而，
即，所以.
故选：A
8. 指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（ ）（参考数据：，）
A. 10.5天B. 9天C. 8天D. 6天
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数模型，结合指数与对数运算列方程求解即可得结论.
【详解】当时，感染人数累计增加了，则，所以，
则，所以，
所以感染人数累计增加可得，则，
此时，所以，
故感染人数累计增加需要的时间大约为天.
故选：B.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，当时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小，
所以C不正确；
对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确.
故选：AD.
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 若正数满足，则的最小值为16
C. 若，则函数的最大值为
D. 若，则函数的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式的“一正二定三相等”逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，函数中，故当，，最小值不为2，故A不正确；
对于B，若正数满足，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，故B正确；
对于C，若，则函数，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，若，则函数，
当且仅当，即时取等，但是，取等条件不成立，故，故D不正确.
故选：BC.
11. 对于函数，若存在非零常数，使得，都有，则称为广周期函数，广周期为.已知函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 是广周期函数
C. 若为广周期函数，则的广周期只有一个
D. 若在上的值域为，则在上的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：由题意可知为的周期，结合周期性分析求解；对于BC：根据广周期函数的定义结合题意分析判断；对于D：由选项BC可得：，结合题意分析求解.
【详解】对于选项A：因为，可知为的周期，
若，则，故A正确；
对于选项B：因为，
可知是广周期函数，且1为广周期，故B正确；
对于选项C：若为广周期函数，
可知存在非零常数，使得，都有，
则对任意，
则，
注意到，可知为的广周期，
所以的广周期不唯一，故C错误；
对于选项D：由选项BC可得：，
即，
因为，，
若，则，
所以；
同理可得：若，，则；
若，，则；
综上所述：在上的值域为，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】由对数和指数的运算得出结果即可.
【详解】.
故答案为：.
13. 函数在区间上的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用和差角公式、二倍角公式及辅助角公式，得到，再根据条件及的性质，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又，所以，令，
因为，所以，
故答案为：.
14. 已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合，利用图象确定的范围，再结合对数的运算得到正确结果即可.
【详解】作出函数的图象，如下：
由图像可知，，
由，且，所以，
因为，所以，则，
又，所以，
所以取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于分段函数求方程根的个数问题，可采用数形结合，画出图象后，从图象上确定所求根的大致范围，再结合对数的运算求解.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）化简：；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简得到答案；
（2）根据得到，再对原式化简即可得到结果.
【详解】（1）
（2）因为，
所以，
所以.
16. 已知函数，.
（1）当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减；
（2）若在区间内有2个零点，求实数取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先有，其次利用单调性的定义结合作差法即可得证；
（2）首先，其次由题意可得，且，解不等式组即可求解.
【小问1详解】
当时，，
任取，且，
则
，
因为，
所以，
所以，
即，
由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.
小问2详解】
因为，
所以函数必有一个零点
又因为在区间内有2个零点，
所以，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为
17. 已知锐角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.
（1）求的值；
（2）若锐角满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，得到，，由二培角公式化简，即可得到结果.
（2）由已知，将切化弦，和正余弦同角间关系联立，解出的正余弦，然后由，两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由三角函数的定义可得，已知为锐角
所以，
所以.
【小问2详解】
因为均为锐角，
所以.
由题意得，
解得，
所以
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，设，则，代入当时，，则得到的解析式；
（2）用换元法将化为，再由，使得成立”转化为，使得成立”，通过分离参数，得到，由函数的单调性，从而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
设，则，
因为是奇函数，
所以.
因为函数是定义在上的奇函数，
所以.
综上，.
【小问2详解】
当时，.
设，易知当时，，
令.
，使得成立”即为，使得成立”，
所以，使得，
又在上单调递增，故，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）若的最小正周期为，求的值；
（2）将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简函数，结合的最小正周期为，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，令，则转化为函数在区间上无最值，结合余弦函数的单调性，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数
，
因为的最小正周期为，所以，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，
将的图象向下平移1个单位长度，可得，
因为，可得，
令，则转化函数在区间上无最值，
因为函数的单调区间为，
则满足，解得，
上述不等式组有正数解，则应满足，所以，
所以或，
当时，得；当时，得，
综上，实数的取值范围是.