2023年广东省江门市台山市横山中学中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省江门市台山市横山中学中考数学一模试卷，共17页。

1．（3分）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9B．+9C．D．﹣
2．（3分）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们首次出舱任务，飞船的时速每小时2800000000千米，2800000000千米用科学记数法表示应为（ ）
A．2.8×108千米B．2.8×109千米
C．28×1012千米D．2.8×1012千米
3．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球体D．长方体
4．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）给出一组数据：1，8，5，6，7，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．5.5C．6D．9
6．（3分）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比值是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）计算下列各式结果为a6的是（ ）
A．a2•a3B．（a2）4C．a3+a3D．a8÷a2
8．（3分）当x≥2时，下列式子一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如果关于x的不等式2≤3x+b＜8的整数解之和为7，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣7≤b≤﹣4B．﹣7＜b＜﹣4
C．﹣7≤b＜﹣4D．﹣7≤b＜﹣4或﹣19＜b＜﹣16
10．（3分）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为10；③当P在运动过程中，CD的最小值2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：x3y2﹣4x3＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13．（3分）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为 ．
14．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦CD＝2，∠AOB+∠COD＝180°，则弦AB的长为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣2x），其中x＝+1．
18．（8分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（9分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
20．（9分）某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料．
（1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？
（2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）．
21．（9分）如图，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，平面直角坐标系中，有A，B，C，D，E，O六个格点．
（1）若一个反比例函数的图象恰好经过A，B两点，求这个反比例函数的解析式；
（2）请在图1，图2中，在六个格点中任选四个，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（3）求出你所画出的平行四边形的面积．
22．（12分）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D．
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值．
23．（12分）小刚在用描点法画抛物线y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质： ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线与x轴的交点分别为A、B（A在B的左侧）与y轴的交点为C，其对称轴与x轴的交点为D，在抛物线的对称轴上存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，求出P点的坐标；
（4）在（3）的条件下，抛物线上有一点Q，使△BCQ的内心在x轴上，直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：实数9的相反数是：﹣9．
故选：A．
2． 解：2800000000＝2.8×109．
故选：B．
3． 解：A、圆柱的主视图、左视图和俯视图中，有两个长方形一个圆形，故本选项错误；
B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；
C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；
D、长方体的主视图、左视图和俯视图中，有长方形或正方形，且当长、宽、高不等时，三种视图各不相同；故本选项错误；
故选：C．
4． 解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、＝3，故B不符合题意．
C、＝3，故C符合题意．
D、＝6，故D不符合题意．
故选：C．
5． 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：1，5，6，7，8，
则中位数为6．
故选：C．
6． 解：设圆的半径为R，
如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC＝30°，BD＝OB•cs30°＝R，
故BC＝2BD＝R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2＝OB2，即BE＝R，
故BC＝R；
故圆内接正三角形、正方形的边长之比为：＝．
故选：A．
7． 解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B．（a2）4＝a8，故本选项不合题意；
C．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
D．a8÷a2＝a6，故本选项符合题意．
故选：D．
8． 解：A、当x＝2时，x﹣2＝0，分式无意义，不符合题意；
B、当x＝3时，x﹣3＝0，分式无意义，不符合题意；
C、∵x≥2，∴x﹣1＞0，二次根式有意义，符合题意；
D、当x＝2时，2﹣3＜0，二次根式无意义，不符合题意；
故选：C．
9． 解：2≤3x+b＜8，
即
∵解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜，
∴不等式组的解集为≤x＜，
∵关于x的不等式2≤3x+b＜8的整数解之和为7，
∴有四种情况：
①整数解是7，
，此不等式组无解，舍去；
②整数解是3和4，
，此时不等式组的解集是﹣7≤b＜﹣4；
③整数解是±1，±2，0，3，4，
，此不等式组的解集是﹣7≤b＜﹣4；
④不等式组的整数解是±1，±2，±3，±4，±5，±6，7，
，此时不等式组无解；
即﹣7≤b＜﹣4，
故选：C．
10． 解：①∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBC＝90°，
∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，
∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，
∵∠BOP＝45°，
∴∠DOP＝∠BOP＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，
∴四边形OBPD是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，
∵点A（10，0），点B（0，6），
∴OA＝10，OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，
∴∠DOA＝30°，
∴DH＝＝3，
∴△OAD的面积为，故②错误；
③连接OC，
则OD+CD≥OC，
即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，
∵AC＝OB＝6，OA＝10，
∴OC＝＝＝2，
∴CD＝OC﹣OD＝2﹣6，
即CD的最小值为2﹣6；故③正确；
④∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠ODP＝∠OBP＝90°，
∴∠ADP＝180°，
∴P，D，A三点共线，
∵OA∥CB，
∴∠OPB＝∠POA，
∵∠OPB＝∠OPD，
∴∠OPA＝∠POA，
∴AP＝OA＝10，
∵AC＝6，
∴CP＝＝8，
∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝x3（y2﹣4）
＝x3（y+2）（y﹣2）．
故答案为：x3（y+2）（y﹣2）．
12． 解：∵方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，
解得：m＝2或m＝﹣6，
故答案为：2或﹣6．
13． 解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
14． 解：如图，AO的延长线交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝2，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝4，
故答案为：4．
15． 解：如图，设点O为弧的一个交点，
连接OA、OB，过O作OE⊥AB于E，则△OAB为等边三角形，
∵AB＝OA＝OB，
∴∠OBC＝30°，
过点O作EF⊥CD，分别交AB、CD于点E、F，则OE为等边△OAB的高，
∴OE＝AB＝，∴OF＝2﹣，
∴阴影部分的面积S＝4×（S正方形ABCD﹣S△AOB﹣2S扇形CBO）
＝4×（2×2﹣﹣2×）
＝16﹣4﹣．
故答案为：16﹣4﹣．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：
＝
＝
＝．
17． 解：÷（﹣2x）
＝
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝．
18． （1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
19． 解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣5﹣7﹣20＝18（人），在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：20人，18人，36；
（2）设男生为A，女生为B，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率＝．
20． 解：（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，
依题意有：，
解得：x＝3，
经检验，x＝3为原方程的解，
制作1个A种产品需要原材料为：（1+60%）x＝4.8，
答：制作1个B种产品需要3千克原材料，则制作1个A种产品需要4.8千克原材料；
（2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）千克原材料制作B种产品，
由题意得：，
解得：y≤120，
答：应最多安排120千克原材料制作A种产品，安排150千克原材料制作B种产品．
21． 解：（1）由图可知A，B的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣2，2）
设这个反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过A，B，
∴1＝，
∴k＝﹣4，
∴这个反比例函数的解析式为：y＝；
（2）如图所示，四边形BEOC和四边形AEDC即为所求；
（3）图1中所画的平行四边形BEOC的面积＝3×2＝6；
图2中所画的平行四边形AEDC的面积＝6×2﹣（×5×1+×5×1+×1×1+×1×1）＝6．
22． （1）证明：如图①中，连接BI．
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心．
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴＝，
∵DB＝DI，
∴＝．
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心．
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝∠BAC＝60°，
∴IH＝AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝，即直径为，
∴AI的最大值为﹣8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8﹣4．
23． 解：（1）∵抛物线经过（﹣1，0），（4，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝；
故答案为：抛物线的对称轴是直线x＝（答案不唯一）；
（2）∵抛物线经过（﹣1，0），（0，2），（1，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝；
（3）如图1，
∵抛物线y＝﹣x2+x+2＝，
∴抛物线的对称轴x＝﹣，
∴OD＝，
∵C（0，2），
∴OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1＝DP2＝DP3＝CD，
如图所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1＝ED＝2，
∴DP1＝4，
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．
（4）如图2．作点C关于x轴的对称点C'，则C'（0，﹣2），连接BC'并延长与抛物线交于点Q，由图形的对称性可知Q为所求的点，
设直线BC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线BC'的解析式为y＝x﹣2，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴Q（﹣2，﹣3）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
2
3
3
2
0
…