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2024嘉兴高三下学期二模数学试题含答案
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这是一份2024嘉兴高三下学期二模数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了4），设，则“”是“是纯虚数”的，已知定义在上的函数满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
（2024.4）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
3.设，则“”是“是纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若正数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.2
5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A.180种 B.210种 C.240种 D.360种
8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（ ）
A.若删去3，则
B.若删去9，则
C.无论删去哪个数，均有
D.若，则
10.已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D.方程在区间上有两个不同的实数解
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（ ）
A.若直线与准线相交于点，则三点共线
B.若直线与准线相交于点，则平分
C.
D.若直线的方程为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）
13.设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则__________.
14.在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角所对的边分别是，已知.
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，，求的值.
16.（15分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）.
（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给数据，判断是否有的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：，
18.（17分）
已知双曲线的虚轴长为4，浙近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过右焦点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.
19.（17分）
已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.
（1）写出，并求；
（2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
（3）若2024是数列中的某一项，求及的值.
2024年高三教学测试
数学参考答案
（2024.4）
一､单选题（40分）
1-8DCBA DBCD
第8题：由变形得，从而有，，所以，所以，则，
又，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，又，所以，所以，故选D.
二､多选题（18分）
9.ACD 10.AB 11.ACD
第11题：对于选项，因为直线经过焦点，设直线，与抛物线联立得，
由题意得，
，所以，
即三点共线，正确；
对于选项，因为，
所以，所以，与和相交于点矛盾，错误；
对于选项与距离等于与距离，则，
所以正确；
对于选项D，，
，，D正确.故选ACD
三､填空题（15分）
12.均可 13. 14.3
第14题：依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设，外接球半径记为，
外接球的球心如图点.
，得，
在Rt中，，
所以当时，外接球的半径会更小.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
四､解答题（77分）
15.（13分）
解析：（1），即，解得或；
（2）解法一：由正弦定理得，
，因为，所以；
，解得，所以.
解法二：由余弦定理得，因为，所以，又，所以，所以.
16.（15分）
解析：（1）解法一：，
，
底面，
平面平面，
平面平面.
解法二：.
如图建立空间直角坐标系，，
，则，
设是平面的法向量，则
，取，
设是平面的法向量，则
，取，
所以，所以平面平面.
（2）解法一：在直角梯形中，解得，
过作分别平行于，连结，作
交于点，连结，
平面，
平面，
，
为平面与平面的夹角，
，在中解得，
.
（2）解法二：在直角梯形中，解得，
如图建立空间直角坐标系，，
，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
，
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17.（15分）
解析：（1）估计流感的感染率.
（2）列联表：
根据列联表，计算.
因为，所以有的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.
（3）设事件为“一次检测结果呈阳性”，事件为“被检测者确实患有流感”，
由题意得，，
由全概率公式得，，所以此人真的患有流感的概率是.
18.（17分）
解析：（1）易知双曲线的标准方程为.
（2）设，联立方程得，
且，
由三点共线得①，
由得，即②，
由①②解得.
由可知，四边形是平行四边形，所以，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
19.（17分）
解析：（1）因为，此时，
，
.
（2）当时，，
是数列中的项，
比它小的项分别有个，
有个，
有个，
所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项.
（3）是数列中的项，故，
则当时，，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
①个数字任取7个得个，
②，得个，
③，得个，
④，得个，
⑤，得个，
⑥，得个，
⑦，得个，
所以比2024小的项共有个，
其中
故2024是数列的第329项，即.
方法二：共有元素个，
最大的是，其次为，
所以2024是数列的第项，即.
在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
疫苗情况
流感情况
合计
患有流感
不患有流感
打疫苗
220
580
800
不打疫苗
80
120
200
合计
300
700
1000
（2024.4）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
3.设，则“”是“是纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若正数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.2
5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A.180种 B.210种 C.240种 D.360种
8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（ ）
A.若删去3，则
B.若删去9，则
C.无论删去哪个数，均有
D.若，则
10.已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D.方程在区间上有两个不同的实数解
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线的准线为为坐标原点，在轴上方有两束平行于轴的入射光线和，分别经上的点和点反射后，再经上相应的点和点反射，最后沿直线和射出，且与之间的距离等于与之间的距离.则下列说法中正确的是（ ）
A.若直线与准线相交于点，则三点共线
B.若直线与准线相交于点，则平分
C.
D.若直线的方程为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量是非零向量，且与的夹角相等，则的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）
13.设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则__________.
14.在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角所对的边分别是，已知.
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，，求的值.
16.（15分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）.
（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给数据，判断是否有的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：，
18.（17分）
已知双曲线的虚轴长为4，浙近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过右焦点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.
19.（17分）
已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.
（1）写出，并求；
（2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
（3）若2024是数列中的某一项，求及的值.
2024年高三教学测试
数学参考答案
（2024.4）
一､单选题（40分）
1-8DCBA DBCD
第8题：由变形得，从而有，，所以，所以，则，
又，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，又，所以，所以，故选D.
二､多选题（18分）
9.ACD 10.AB 11.ACD
第11题：对于选项，因为直线经过焦点，设直线，与抛物线联立得，
由题意得，
，所以，
即三点共线，正确；
对于选项，因为，
所以，所以，与和相交于点矛盾，错误；
对于选项与距离等于与距离，则，
所以正确；
对于选项D，，
，，D正确.故选ACD
三､填空题（15分）
12.均可 13. 14.3
第14题：依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设，外接球半径记为，
外接球的球心如图点.
，得，
在Rt中，，
所以当时，外接球的半径会更小.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
四､解答题（77分）
15.（13分）
解析：（1），即，解得或；
（2）解法一：由正弦定理得，
，因为，所以；
，解得，所以.
解法二：由余弦定理得，因为，所以，又，所以，所以.
16.（15分）
解析：（1）解法一：，
，
底面，
平面平面，
平面平面.
解法二：.
如图建立空间直角坐标系，，
，则，
设是平面的法向量，则
，取，
设是平面的法向量，则
，取，
所以，所以平面平面.
（2）解法一：在直角梯形中，解得，
过作分别平行于，连结，作
交于点，连结，
平面，
平面，
，
为平面与平面的夹角，
，在中解得，
.
（2）解法二：在直角梯形中，解得，
如图建立空间直角坐标系，，
，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
，
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17.（15分）
解析：（1）估计流感的感染率.
（2）列联表：
根据列联表，计算.
因为，所以有的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.
（3）设事件为“一次检测结果呈阳性”，事件为“被检测者确实患有流感”，
由题意得，，
由全概率公式得，，所以此人真的患有流感的概率是.
18.（17分）
解析：（1）易知双曲线的标准方程为.
（2）设，联立方程得，
且，
由三点共线得①，
由得，即②，
由①②解得.
由可知，四边形是平行四边形，所以，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，
所以，当且仅当，即时取等号.
19.（17分）
解析：（1）因为，此时，
，
.
（2）当时，，
是数列中的项，
比它小的项分别有个，
有个，
有个，
所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项.
（3）是数列中的项，故，
则当时，，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
①个数字任取7个得个，
②，得个，
③，得个，
④，得个，
⑤，得个，
⑥，得个，
⑦，得个，
所以比2024小的项共有个，
其中
故2024是数列的第329项，即.
方法二：共有元素个，
最大的是，其次为，
所以2024是数列的第项，即.
在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
疫苗情况
流感情况
合计
患有流感
不患有流感
打疫苗
220
580
800
不打疫苗
80
120
200
合计
300
700
1000
