2023嘉兴高三下学期4月教学测试（二模）数学试题含答案

2023年高三教学测试

数学试题卷

2023.4

本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.的展开式中的系数为（    ）

A.-60    B.240    C.-360    D.720

3.已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（    ）

A.2023    B.2024    C.4046    D.4048

4.相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（    ）

A.35000古希腊里    B.40000古希腊里

C.45000古希腊里    D.50000古希腊里

5.已知正九边形，从中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知正方体的棱长为为空间内一点且满足平面，过作与平行的平面，与交于点，则（    ）

A.1    B.    C.    D.

7.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（    ）

A.若的最小正周期为，则

B.若，则在上的最大值为

C.若在上单调递增，则

D.若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为

10.已知一组样本数据，现有一组新的数据，，则与原样本数据相比，新的样本数据（    ）

A.平均数不变    B.中位数不变

C.极差变小    D.方差变小

11.已知抛物线及一点（非坐标原点），过点作直线与抛物线交于两点，则（    ）

A.若，则    B.若，则

C.    D.

12.已知菱形的边长为，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）

A.存在某个位置，使得

B.直线与平面所成角的最大值为

C.当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为

D.当时，分别以为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数满足（是虚数单位），则的虚部为__________.

14.已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为__________.

15.已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________.

16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为.点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，角所对的边分别是.已知.

（1）若，求；

（2）求的取值范围.

18.（12分）

已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.

19.（12分）

如图，在三棱台中，.

（1）求证：平面平面；

（2）若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.

20.（12分）

为了解市某疾病的发病情况与年龄的关系，从市疾控中心得到以下数据：

（1）若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为，根据这些数据可以建立发病率（‰）关于年龄（岁）的经验回归方程，求；

附：

（2）医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有市某位居民，年龄在表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有某疾病”.已知，，求（结果精确到0.001）.

21.（12分）

已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.

22.（12分）

已知.

（1）若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；

（2）若，设，证明：

①存在，使得成立；

②.

2023年高三教学测试

数学参考答案

2023.4

一､选择题：

7.解析：，又，所以，即，

又，所以，所以.

8.解析：等价于关于对称，选项对.，所以关于对称，又为偶函数，所以周期为2，故选项，正确.不一定关于对称，选项错误.

二､选择题

12.解析：为等腰三角形，所以不可能是直角，选项错误；

直线和夹角为，根据最小角定理可得，直线与平面所成角的最大值为，选项正确；为二面角的平面角，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外心为，则平分，，所以，三棱锥表面积为，选项正确；设正四面体的外接球半径为，勒洛四面体的半径为，则，由勒洛四面体的对称性可知，内切球切在每一个球面的中心，而顶点到切点的距离为2，故，选项D正确.

三､填空题

13.-1    14.    15.2    16.

解析：设，则.显然当靠近右顶点时，，

所以存在点使等价于，

又，所以，

所以.

由得，所以.

四､解答题

17.（10分）

解析：（1）由已知：，

得，

所以，

若，则；

（2）由题意得

，

而，所以，

故，即.

18.（12分）

解析：（1）因为，

故是首项为3，公比为3的等比数列.

从而，即.

（2）令，所以时满足条件，

即时为公共项，

所以.

19.（12分）

解析：（1）延长三条侧棱交于点，则，且，

为中点.取的中点，则，又.

，则，故，

即，所以平面，又平面，故平面平面.

（2）法一：设三棱台的高为的面积为，

的面积为，由

，所以.

过点作于点，则面，

过点作于点，连接，

则为二面角的平面角.

而，

而，

所以，故，

即二面角的余弦值为.

（2）法二：由得，

以为坐标原点，为轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

由，求得面的一个法向量，

由，求得面的一个法向量，

则，所以二面角的余弦值为.

20.（12分）

解析：（1），

（2）由已知得：，

，

.

21.（12分）

解析：（1），又，

联立得，得或18.

当时，；当时，舍去.

所以双曲线的方程为：.

（2）设，

直线与双曲线联立，得.所以①，

方法一：

由平分，则，

即，

两边平方得，，

即（2），将（1）代入可得，，所以.

方法二：

设的斜率为，其中.

则直线，直线，

因为平分，所以，即，

两边平方得，化简可得②，

将代入②得，

即（3），下同法一.

方法三：

因为平分，所以，

所以，

得，下同法二.

方法四：

延长交直线于点，可证，

因为平分，则点在以为直径的圆上，

即，将点代入得，，所以.

22.（12分）

解析：（1）构造，令，则在递增，，所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增，所以对任意恒成立，此时.

（2）①令，显然，则.令，

则，因为在递增，时，时，，所以存在，使得，即.于是在递减，在递增.因为，所以.

②要证，即证

因为，所以只要证，

即证，

即证

令，即证，

即证，

令，则.

构造，

则，

，

因为，

所以，所以，

所以成立，原命题成立.