2024年广东省惠州市惠城三中等七校中考数学联考试卷（含解析）

这是一份2024年广东省惠州市惠城三中等七校中考数学联考试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在﹣3，，0，2这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．C．0D．2
2．（3分）“跑一场马，认识一座城”．2024惠州马拉松是惠州市人民政府主办的首届马拉松赛事，共57249人报名参与，12000人中签，中签的12000人来自13个国家、34个省份，参赛规模之大、参赛人员之多，均属惠州首次．用科学记数法表示12000是（ ）
A．1.2x105B．1.2x104C．0.12x105D．12x104
3．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）
A．创B．教C．强D．市
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6B．3x2+2x3＝5x5
C．（x2）3＝x5D．（ab）3＝ab3
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）
A．x（x+1）＝45B．＝45
C．x（x﹣1）＝45D．＝45
8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（ ）
A．22°B．44°C．23°D．46°
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61B．62C．63D．64
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（ ）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣＝ ．
12．（3分）分解因式：x2﹣16y2＝ ．
13．（3分）方程的解是 ．
14．（3分）已知a，b为实数，且满足+＝b﹣2，则的值为
15．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，则+3x2+2016＝ ．
16．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题（一）（本大题共4个小题，共20分）
17．（4分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
18．（4分）化简，求值：（1﹣）÷，其中a＝4．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接DA，若BD＝6，求CD的长．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，共28分）
21．（8分）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为35°，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为45°．求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan35°≈0.70，cs35°≈0.82，sin35°≈0.57）
22．（10分）为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；
（2）将两个统计图补充完整；
（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
23．（10分）如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？
（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子；
（3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，共24分）
24．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF＝AB．
25．（12分）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
2024年广东省惠州市惠城三中等七校中考数学联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在﹣3，，0，2这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．C．0D．2
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2，＞﹣2，0＞﹣2，2＞﹣2，
∴在﹣3，，0，2这四个数中，比﹣2小的数是﹣3．
故选：A．
2．（3分）“跑一场马，认识一座城”．2024惠州马拉松是惠州市人民政府主办的首届马拉松赛事，共57249人报名参与，12000人中签，中签的12000人来自13个国家、34个省份，参赛规模之大、参赛人员之多，均属惠州首次．用科学记数法表示12000是（ ）
A．1.2x105B．1.2x104C．0.12x105D．12x104
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：12000＝1.2x104，
故选：B．
3．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）
A．创B．教C．强D．市
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“建”与“强”是相对面．
故选：C．
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6B．3x2+2x3＝5x5
C．（x2）3＝x5D．（ab）3＝ab3
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据合并同类项法则判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据积的乘方判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝x6，故该选项符合题意；
B选项，3x2与2x3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a3b3，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
7．（3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）
A．x（x+1）＝45B．＝45
C．x（x﹣1）＝45D．＝45
【分析】设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
依题意得：＝45，
故选：D．
8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（ ）
A．22°B．44°C．23°D．46°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝46°，然后利用圆内接四边形对角互补可得∠D＝134°，再根据已知可得＝，进而可得AD＝DC，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝44°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝46°，
∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝134°，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝23°，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61B．62C．63D．64
【分析】先求出，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
【解答】解：∵AD＝3BD，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积＝，
故选：D．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（ ）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
12．（3分）分解因式：x2﹣16y2＝ （x+4y）（x﹣4y） ．
【分析】先把x2和16y2分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣16y2
＝x2﹣（4y）2
＝（x+4y）（x﹣4y）．
故答案为：（x+4y）（x﹣4y）．
13．（3分）方程的解是 x＝4 ．
【分析】首先通分去掉分式方程的分母，从而把分式方程转换为整式方程，然后按照解整式方程的方法解方程即可求出方程的解．
【解答】解：∵，
∴5x﹣4（x+1）＝0，
∴x＝4．
当x＝4时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为x＝4．
故填空答案：x＝4．
14．（3分）已知a，b为实数，且满足+＝b﹣2，则的值为 4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a，b为实数，且满足+＝b﹣2，
∴a＝8，b＝2，
则＝＝4．
故答案为：4．
15．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，则+3x2+2016＝ 2024 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到＝3x1﹣1，则原式可化为3（x1+x2）+2016，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴﹣3x1+1＝0，
∴＝3x1﹣1，
∴＝3x1﹣1+3x2+2017＝3（x1+x2）+2015，
∵元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，
∴x1+x2＝3，
∴＝3×3+2015＝2024．
故答案为：2024．
16．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 （π+﹣） cm2．
【分析】连接OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解．
【解答】解：连接OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，
∴CF＝，
∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
＝﹣×
＝π﹣（cm2）
三角形ODE的面积＝OD×OE＝（cm2），
∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
＝﹣（π﹣）﹣
＝π+﹣（cm2）．
故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．
故答案为：（π+﹣）．
三、解答题（一）（本大题共4个小题，共20分）
17．（4分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+2+2
＝5．
18．（4分）化简，求值：（1﹣）÷，其中a＝4．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝4代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝4时，原式＝＝4．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接DA，若BD＝6，求CD的长．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AB于点E，交BC于点D；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD＝6，再根据等边对等角可得∠DAB＝∠B＝30°，然后再计算出∠CAB的度数，进而可得∠CAD的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD＝AD＝3．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝6，
∵∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴CD＝AD＝3，
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，
解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，共28分）
21．（8分）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为35°，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为45°．求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan35°≈0.70，cs35°≈0.82，sin35°≈0.57）
【分析】根据题意可得：AB⊥BC，CD＝6米，设AB＝x米，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出BC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，CD＝6米，
设AB＝x米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴BD＝＝x（米），
∴CB＝CD+BD＝（x+6）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝35°，
∴tan35°＝＝≈0.7，
解得：x＝14，
经检验：x＝14是原方程的根，
∴AB＝14米，
∴建筑物AB的高度约为14米．
22．（10分）为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；
（2）将两个统计图补充完整；
（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；
（2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的10%，
∴被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），
∴喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人）；
（2）喜欢“跑步”的学生占学生总人数1﹣（10%+30%+20%）＝40%，
补全统计图如下：
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，
∴刚好抽到2名女生的概率为＝．
23．（10分）如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？
（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子；
（3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义．
【分析】（1）根据反比例函数的性质来判断；
（2）一个矩形面积和长、宽的例子；
（3）根据图象求出函数关系式，且自变量的取值范围为大于0；
（4）A点坐标为（2，3），表示的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
【解答】解：（1）根据反比例函数的性质可知：这个函数图象所反映的两个变量之间是反比例函数关系；
（2）设一个矩形的长为x、宽为y，面积为6，则矩形长、宽、面积的关系表达式为：y＝；
（3）根据图象在第一象限可知：y＝自变量x的取值范围为：x＞0；
（4）∵A点的坐标为（2，3）
根据表达式的实际意思，
则A点的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，共24分）
24．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF＝AB．
【分析】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，求得∠ACB＝∠D，根据角平分线的性质得到∠BAC＝∠CAD，通过相似三角形得到∠ABC＝∠ACD，等量代换得到∠OCB＝∠ACD，求出∠OCD＝90°，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE＝＝10，根据相似三角形的性质得到，代入数据得到r＝，于是得到结论；
（3）过C作 CG⊥AE于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AD，CG＝CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性质得到BG＝FD，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC＝∠ACD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝6，DE＝8，
∴AE＝＝10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE＝∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴，
即，
∴r＝，
∴BE＝10﹣＝；
（3）证明：过C作 CG⊥AE于G，
在△ACG与△ACD中，
，
∴△ACG≌△ACD，
∴AG＝AD，CG＝CD，
∵BC＝CF，
在Rt△BCG与Rt△FCD中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△FCD，
∴BG＝FD，
∴AF+2DF＝AD+DF＝AG+GB＝AB，
即AF+2DF＝AB．
25．（12分）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
【解答】（1）解：AP＝2t（cm）
∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝45°＝∠DEF，
∴CQ＝CE＝t（cm），
∴AQ＝8﹣t（cm），
t的取值范围是：0≤t≤5；
（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB＝10（cm），SinB＝，PB＝（10﹣2t）（cm），EB＝（6﹣t）（cm），
∴PG＝PBSinB＝（10﹣2t）（cm）
∴y＝S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE＝＝
∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值＝（cm2）
（3）若AP＝AQ，则有2t＝8﹣t解得：（s）
若AP＝PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH＝QH＝（cm），PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴，
即，
解得：（s）
若AQ＝PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI＝PI＝AP＝t（cm）
∵∠AIQ＝∠ACB＝90°∠A＝∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴即，
解得：（s）
综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．