广东省2024年九年级中考数学一轮复习：勾股定理 模拟练习(含解析)

这是一份广东省2024年九年级中考数学一轮复习：勾股定理 模拟练习(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）

A．B．C．20D．
2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在等腰直角中，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．设，的面积分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·广东广州·一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（ ）

A．B．C． D．
4．（2023·广东揭阳·一模）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2023·山东济南·一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E，若，，则的长度为（ ）

A．3B．C．D．
6．（2023·广东广州·一模）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（ ）

A．B．3C．D．4
7．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（ ）

A．56B．C．D．
9．（2023·广东东莞·二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）

A．的面积为10B．
C．D．点到直线的距离是2
11．三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
二、填空题
12．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

13．（2023·广东肇庆·三模）如图，在中，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，若，，则线段的长为 ．
14．（2023·广东清远·三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
15．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，点E在边上，，，交于点D，若，，则 ．

16．（2023·广东佛山·三模）如图，在正方形中，分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．

17．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则 ．

18．如图，在中，平分，如果点P，点Q分别为上的动点，那么的最小值是 ．

19．（若的三边长分别为，且三角形的三条高所在的直线交于三角形的一个顶点，则面积为 ．
三、解答题
20．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
21．（2023·广东东莞·一模）如图，在中，．
(1)作的角平分线交于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，过点D作于E，求的长．
22．（2023·广东潮州·一模）如图，在中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的值．

23．（2023·广东河·二模）如图，在中，，，．

(1)尺规作图：作射线，使平分，交于（保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求点到的距离．
24．（2023·广东梅州·一模）如题图所示，为等腰直角三角形，，点D为线段上一点，延长至点E使，连接，，延长交于点F，求证：．
25．（2023·广东佛山·一模）如图，在中，，，．
(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若的周长为a，先化简，再求T的值．
26．（2022·广东肇庆·一模）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧三点在同一直线上处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得，，，求隧道CD的长．
参考答案：
1．D
【分析】
连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接，

由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：D
【点睛】
此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
2．C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，由题意得平分，过点E作于点F，利用角平分线的性质定理得到，利用三角形的面积公式得到，即可求出答案．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意得平分，
过点E作于点F，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图及性质定理是解题的关键．
3．C
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用坡度的定义得出答案．
【详解】解：由题意可得：（米），
则山坡的坡度为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据角平分线性质可得，通过角的计算即可得到，根据两直角三角形中斜边和其中一条直角边相等，即可由勾股定理得出另一条直角边也相等，从而得到，故①正确；再根据各角的计算可得出，故②正确；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，从而推出，故③正确；由条件可推理得四边形是矩形，，再由全等性质可得，故，则④正确．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．

，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，，
，故②正确，
平分，，，
，
，，
，
，
，故③正确，
在和中，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，灵活应用相关知识并采用等量代换的方法是解题关键．
5．C
【详解】根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长．
【解答】解：根据作图可知，
，，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据折叠可知， ，
在中，，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了表示数轴上的点，实数，及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
根据图示，可得：点是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出的值．
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上，且在左侧，
．
故选：．
8．B
【分析】延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，证，得，，再证，得，，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，进而求出，再利用即可解决问题．
【详解】解：延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，如图所示：

为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴，
故选：A．
10．A
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
12．/
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，由勾股定理得出，由折叠的性质知，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠的性质知，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：；
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵沿折叠，得到，
∴，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，
设以B为圆心6为半径的圆与交于点，
则，的最小值为的长；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
15．
【分析】延长至点F，使，连接，过点A作，交于点G，利用平行线的性质，等腰三角形的性质求得，利用三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理与性质定理和勾股定理解答即可得出结论．
【详解】解：如图，延长至点F，使，连接，过点A作，交于点G，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，依据已知条件恰当的添加辅助线是解题的关键．
16．
【分析】根据正方形的性质，设未知数，由勾股定理将用含的式子表示，再配方即可求出最小值．
【详解】 四边形是正方形，，
，，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、配方法等知识点，能够将用含的式子表示，并正确的配方是解决问题的关键．
17．
【分析】由折叠的性质得出，设，则．在中运用勾股定理列方程，解方程即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得：，
设，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
18．
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键．
过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求．
【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，
∵平分，
∴，
∴，
此时的值最小，
因为，
故是直角三角形，
故的面积，
∴，
∴的值最小为，
故答案为：．

19．6
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半进行计算．
【详解】∵，
∴是直角三角形，
∴的面积是，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
21．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用尺规作出的角平分线即可．
（2）利用角平分线的性质定理证明，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）的角平分线如图所示．
（2）∵平分，作于E，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．
【分析】过、点作的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出，由勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：作于，作于，
∵，
∴
又
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，且之间的距离为之间的距离为3，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答即可；
（2）作，垂足为，则为点到的距离，根据角平分线的性质定理得，证明，得到，勾股定理求出，在中，设，则，，由勾股定理得，求出x即可．
【详解】（1）解：如图1，射线为所求；
（2）图2，作，垂足为，则为点到的距离，
由作法知：平分
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
在中，设，则，，
则
解得
∴．

【点睛】此题考查了基本作图—角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确理解角平分线的性质定理是解题的关键．
24．见解析
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定，即可证得，，再根据直角三角形的性质及勾股定理，即可证得结论．
【详解】证明：是等腰直角三角形，，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用勾股定理是解决本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线得到即可；
（2）根据垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质得出，设，则，再根据勾股定理求出，从而得出的周长，最后根据完全平方公式化简T，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）如图所示，DE即为所求；
（2）由题可得，，，
∴中，，
设，则，
∴中，，
解得，
∴的周长，
∵，
∴当时，．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，也考查了垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及完全平方公式，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．
【分析】过点B作于点E，在中，通过含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BE，AE的长．根据三角形内角和定理可求出的度数，结合可求出的度数，即可判断为等腰直角三角形，得出，最后由和即可求出结论．
【详解】解：过点B作于点E，如图所示：
在中，，，，
，
．
，
在中，，，
，
，
答：隧道CD的长为
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定．求出AE，DE的长是解题的关键．