湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题（Word版附解析）

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由
长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；
澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中；
娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；九江市一中；南昌市二中.
联合命题
命题学校：石门县一中，审题学校：九江市一中；邵阳市二中
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（ ）
A. 2B. 8C. 8.2D. 8.5
2. 若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
3. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A. 28码B. 29.5码C. 32.5码D. 34码
4. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）
A. 四点共面B.
C. 三线共点D.
5. 设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
7. 2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（ ）
A. 792种B. 1440种C. 1728种D. 1800种
8. 在中，角所对边分别为，且，若，，则值为（ ）
A 1B. 2C. 4D. 2或4
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 复数在复平面内对应点为，若，则点的轨迹是一个椭圆
10. 已知，下列结论正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则
C. 若在上恰有4个极值点，则的取值范围为
D. 存，使得在上单调递减
11. 已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 和均奇函数B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.
13. 已知表面积为的球面上有四点是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为______，
14. 已知，若，则实数的取值范围是______，
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的都有，求实数的取值范围.
16. 在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值，
17. 现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.
（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.
18. 已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．
（1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（2）若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．
19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
（2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
（3）证明：当时，有．
成绩（单位：环）
6
7
8
9
10
人数
1
2
2
4
1