中考数学真题分类汇编第一期专题27锐角三角函数与特殊角试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题27锐角三角函数与特殊角试题含解析，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1． （2018•山东枣庄•3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
2． （2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
3. （2018·湖北省孝感·3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC===6，
∴sinA===，
故选：A．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
4 （2018·山东青岛·3分）计算：2﹣1×+2cs30°= 2 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题．
【解答】解：2﹣1×+2cs30°
=
=
=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
5 （2018·天津·3分） 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
详解：cs30°=．
故选：B．
点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
6 （2018·重庆(A)·4分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为
（参考数据：，，）
【考点】三角函数的综合运用
【解析】延长AB交地面与点H. 作CM⊥DE. 易得,
【点评】此题考查三角函数的综合运用，解题关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系，属于中等题
7（2018·广东深圳·3分）如图，一把直尺， 的直角三角板和光盘如图摆放， 为 角与直尺交点， ,则光盘的直径是( )
A.3
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图）,
∵∠DAC=60°,
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°,
在Rt△AOB中，
∵AB=3,
∴tan∠BAO= ,
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图）,根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ,代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
二.填空题
1. （2018·广东广州·3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC= = = .
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
2（2018·浙江宁波·4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 1200（﹣1） 米（结果保留根号）．
【考点】仰角、俯角
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【解答】解：由于CD∥HB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=
∴HB==
==1200（米）．
∴AB=HB﹣HA
=1200﹣1200
=1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．

3 （2018·四川宜宾·3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若=，则= ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
【分析】由AB是直径，推出∠ADG=∠GCB=90°，因为∠AGD=∠CGB，推出cs∠CGB=cs∠AGD，可得=，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，想办法求出DG、AG即可解决问题；
【解答】解：连接AD，BC．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D是 的中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FA=FG，
∵=，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，
在Rt△ADE中，AD==4k，
∵AB是直径，
∴∠ADG=∠GCB=90°，
∵∠AGD=∠CGB，
∴cs∠CGB=cs∠AGD，
∴=，
在Rt△ADG中，DG==2k，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4 （2018•湖北荆门•3分）计算：×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+20180= ﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2×﹣|×﹣3|+1
=﹣2+1
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
5（2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 计算：__________．
【答案】0
【解析】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.
【解答】原式

故答案为：0.
【点评】本题考查实数的运算，主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
分式有意义的条件是分母不为零.
6（2018·山东泰安·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 ．
【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．
【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，
∴∠BA'C=90°，
在Rt△A'CB中，A'C==8，
设AE=x，则A'E=x，
∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36=（8+x）2，
∴x=2，
∴AE=2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2，
∴sin∠ABE==，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．
7（2018•山东滨州•5分）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB= ．
【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB===．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
8 (2018四川省眉山市1分 ) 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ,
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ,
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2,
又∵∠AOD=∠BOG,
∴tan∠AOD=2.
故答案为:2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ,从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2,根据对顶角相等从而得出答案
三.解答题
(要求同上一)
1（2018•江苏扬州•12分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cs∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故答案为2．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cs∠CPN=cs∠DCM=．
（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN，
∴∠CPN=∠ANM，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠ANM=∠MAN=45°，
∴∠CPN=45°．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2（2018•北京•5分）计算：．
【解析】解：原式．
【考点】实数的运算
（2018•株洲市）计算：
【答案】-1
【解析】分析：本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
详解：原式=
=2-3
=-1.
点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
3.计算：
【答案】解：原式=4-1+2- +2× ，
=4-1+2- + ，
=5.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】根据零指数幂，绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，化简计算即可.
4（2018年江苏省泰州市•12分）（1）计算：π0+2cs30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；
（2）化简：（2﹣）÷．
【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式=1+2×﹣（2﹣）﹣4
=1+﹣2+﹣4
=2﹣5；
（2）原式=（﹣）÷
=•
=．
【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．
5（2018·新疆生产建设兵团·6分）计算：﹣2sin45°+（）﹣1﹣|2﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．
【解答】解：原式=4﹣2×+3﹣（2﹣）
=4﹣+3﹣2+
=5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
6（2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
7（2018·四川宜宾·10分）（1）计算：sin30°+（2018﹣）0﹣2﹣1+|﹣4|；
（2）化简：（1﹣）÷．
【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数的意义计算；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘以运算，然后把x2﹣1分解因式后约分即可．
【解答】解：（1）原式=+1﹣+4
=5；
（2）原式=•
=x+1．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
8（2018·四川宜宾·10分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD于点E
∴∠DEC=90°，
∵BC=CD，
∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线．
（2）连接AC
∵AB是直径，点F在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC
在直角△PEF中，sin∠PEF==．
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．
9（2018·四川自贡·8分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cs45°．
【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=+2﹣2×
=+2﹣
=2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
10．（2018•湖北黄石•7分）计算：（）﹣2+（π2﹣π）0+cs60°+|﹣2|
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质进而化简得出答案．
【解答】解：原式=+1++2﹣
=+1++2﹣
=4﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
11.（2018·广东深圳·5分）计算： .
【答案】解：原式=2-2× + +1，=2- + +1，
=3.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，零指数幂一一计算即可得出答案.
12.（2018·广东·9分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC= 60 °；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；
（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°．
故答案为60．
（2）如图1中，
∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=OB=2，AB=OA=2，
∴S△AOC=•OA•AB=×2×2=2，
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC==2，
∴OP===．
（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．
则NE=ON•sin60°=x，
∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，
∴y=x2．
∴x=时，y有最大值，最大值=．
②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），
∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．
当x=时，y取最大值，y＜，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．
MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，
∴y=•MN•OG=12﹣x，
当x=4时，y有最大值，最大值=2，
综上所述，y有最大值，最大值为．
【点评】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
13（2018•广西桂林•6分）计算：
【答案】1
【解析】分析：根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和cs45°=得到原式=，然后进行乘法运算后合并即可．
详解：原式=，
=
=1．
点睛：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
14 (2018四川省眉山市5分 ) 计算：（π-2)°+4cs30°－ －（－ ）－2.
【答案】解：原式= ，
=-3.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式化简，负整数指数幂一一化简计算即可得出答案.
A．12.6米
B．13.1米
C．14.7米
D．16.3米