长沙市华益中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷（附参考答案）

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中属于无理数的是（ ）
A. 3.14159265B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查无理数定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【详解】解：A、3.14159265，是小数，属于有理数，不符合题意；
B、，是整数，属于有理数，不符合题意；
C、，是分数，属于有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色，最大发行量枚，数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：A．
3. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线
C. 平行线之间的距离最短D. 平面内经过一点有无数条直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短．
【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，
这是因为：两点之间，线段最短．
故选：A．
5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组无解，
∴不等式组的解集在数轴上为
故选：．
6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：已知，且，
当添加，根据能判断，选项A不符合题意；
当添加，根据能判断，选项B不符合题意；
当添加，根据能判断，选项D不符合题意；
如果添加，不能根据判断，选项C符合题意；
故选：C．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可以投中7次
C. 调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用全面调查
D. 数据9，7，2，6，3，4的中位数是5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查随机事件、概率、调查与统计及中位数，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据中位数、随机事件及概率可进行排除选项．
【详解】解：A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件；故原说法错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次有可能投中7次；故原说法错误；
C、调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用抽样调查；故原说法错误；
D、数据9、7、2、6、3、4按从小到大的顺序排列为2、3、4、6、7、9，所以中位数为；原说法正确；
故选D．
8. 已知圆弧的度数为，弧长为，则圆的半径为（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为．设扇形的半径为r ，根据弧长公式和已知条件得出，再求出答案即可．
【详解】解：设圆的半径为r ，
∵圆弧的度数为，弧长为，
∴，
解得：，
即圆的半径是18，
故选D．
9. 如图，已知与位似，位似中心为点，若的周长与的周长之比为，则是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象位似与相似的关系和性质，根据周长比知道相似比，从而得出位似比，掌握位似比和相似比的关系是解题的关键．
【详解】解：的周长与的周长之比为
故选：C．
10. 长沙市体育中考由三个项目组成，田径项目15分，基础项目10分，球类项目15分．
①田径运动：1000米跑（男）、800米跑（女）、分值15分．
②基础项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选其中一项，报考前确定），分值10分，
③球类项目，篮球运球、足球运球、排球向上垫球、200米游泳（学生自选其中一项，报考前确定），分值15分．
比如：男生小益选择了“1000米跑（男），实心球，排球”作为中考体育项目．请问，对于2024年参加体育中考的小华（女）而言，她总共可以有（ ）种不同选择．
A. 8B. 10C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是用树状图法或列表法求概率．树状图法活列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．
把一分钟仰卧起坐、实心球、立定跳远、一分钟跳绳、篮球运球、足球运球、排球向上垫球、200米游泳分别记为：A、B、C、D、E，F，G，H，然后列表表示出所有等可能得结果即可．
【详解】解：把一分钟仰卧起坐、实心球、立定跳远、一分钟跳绳、篮球运球、足球运球、排球向上垫球、200米游泳分别记为：A、B、C、D、E，F，G，H，
列表如下：
∴共有16种等可能的结果，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：mn2﹣m=__________．
【答案】m（n+1）（n﹣1）
【解析】
【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解．
【详解】mn2﹣m=m（n2﹣1）=（n+1）（n﹣1）
考点：提公因式法与公式法的综合运用
12. 对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高（单位：）进行测量，算出平均数和方差为：，，，，于是可估计株高较整齐的小麦品种是______．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小越稳定即可得到答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴可估计株高较整齐的小麦品种是甲，
故答案为：甲．
13. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
14. 已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据函数图象得出，进而即可求解．
【详解】解：设，依题意，
∴，
当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为___________．（，结果精确到0.1）

【答案】13.8####
【解析】
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算，先计算零指数幂、绝对值、二次根式和特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45
【解析】
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式
．
当，时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
19. 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．

（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据______；
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
（2）求证：．
【答案】（1）B （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得，，则有，进而问题可求证．
【小问1详解】
解：由作图可知：，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
综上所述：这两个三角形全等的判定依据；
故选B；
【小问2详解】
证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，我省各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“渡江战役纪念馆”，C．“徽文化园”，D．“长江白紧豚保护研究所”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在本次调查中，一共抽取了________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）学校想从选择研学基地的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两人中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20，图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由B的人数除以所占百分比得出一共抽取的学生人数，即可解决问题；求出C、D的人数，将条形统计图补充完整即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰有一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
在本次调查中，一共抽取的学生人数为：（名），
C的人数为：（名），
D的人数为：（名），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：20；
【小问2详解】
∵基地D有4名学生，恰有两名女生，∴有2名男生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰有一名男生和一名女生的结果有8种，
∴所选两人中恰有一名男生和一名女生的概率为．
21. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，F是上的一点，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质及，得到，由，得到四边形是平行四边形，根据即可证明结论；
（2）由解（1）四边形是矩形，求得的值，再根据解直角三角形求出，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
由（1）知，在矩形中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
23. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

（1）求证：；
（2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）①2；②
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论；
（2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解；
②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，点D为切点，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圆O的半径为2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
24. 我们不妨约定：若点的横纵坐标分别是点横纵坐标的倍，则把点称为点的“阶位似点”．若一个函数的图象上至少存在这样的一组不重合的两点，则称该函数为“阶位似函数”．例如，点是的“2阶位似点”，点，点均在函数图象上，所以一次函数可以叫做“2阶位似一次函数”，仔细审题，认真回答下列问题：
（1）下列说法，正确的打“√”，错误的打“”．
①点“3阶位似点”在二次函数的图象上．（ ）
②无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”．（ ）
③若反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，则的值只能等于．（ ）
（2）已知点是点的“阶位似点”，且均在“阶位似二次函数”的图象上，点在反比例函数的图象上，且点在第一象限，求的值；
（3）已知关于的“阶位似二次函数”（其中，是常数，）的顶点为，与轴交于点，直线与坐标轴围成的三角形的面积为，若关于的一次函数随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）①；②√；③
（2）
（3）
【解析】
【分析】①（1）首先求出点的“3阶位似点”为，然后代入求解判断即可；
②设一次函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后代入得到，令，求出，然后结合判断即可；
③设反比例函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后将将代入，根据题意得到，进而求解即可；
（2）首先求出,然后将和代入得到，,然后由题意得到,即,分别代入整理得到,求出或,进而求解即可；
（3）得出的顶点坐标为，求得，进而可得直线的解析式为，求得的坐标，进而得出的表达式，根据一次函数的性质可得，进而根据二次函数的性质求得的最值，进而即可求解．
【小问1详解】
①根据题意得，点的“3阶位似点”为
将代入，故①错误；
②设一次函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
将代入
若
∴
∵
∴无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”，故②正确；
③设反比例函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
∴将代入
∵反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，
∴
解得，故③错误；
【小问2详解】
∵点是点的“阶位似点”，
∴
∵点P和点Q均在“阶位似二次函数”的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上
∴,即,
∴将代入
得
∴
将代入得,
整理得,
∴
∴或
解得或或
∵,点在第一象限，
∴
∴，；
【小问3详解】
解：∵关于的一次函数随的增大而减小，
∴
∴
∵的顶点坐标为
当时，
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
所以直线的解析式为
当时，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴当时，随着的增大而增大，
又∵
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，“阶位似点”新定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点A是轴正半轴上一点，是的外接圆，点是劣弧的中点，的半径是2．

（1）求的周长；
（2）如图2．连接，．与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的值；
（3）如图3，连接交于点，点为线段上一点，连接交于点，交轴于点，记的长度为，的长度为，请求出关于的函数关系式．
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解；
（2）由题意易得，即，则有，然后可得，进而问题可求解；
（3）过点K作轴于点H，过点P作轴于点G，由题意易得，然后可证，则有，由此可得，设，当点P与点Q横坐标相同时，不符合题意；进而可求直线的解析式为，最后分类求解即可．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为，的半径是2，
∴，
∴，
∴的周长为；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
∴，即，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点K作轴于点H，过点P作轴于点G，如图所示：
由（2）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
当点P与点Q的横坐标相同时，即，解得：，
∴直线与y轴无交点，此时不符合题意；
当时，设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴令时，则有，即，
∴当时，点Q在y的正半轴上，则有：
，
当时，点Q在点B下方，则有：
；
综上所述：．
【点睛】本题主要考查函数、圆的基本性质及三角函数，解题的关键是要正确作出辅助线及数形结合思想的运用．A
B
C
D
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
F
（A，F）
（B，F）
（C，F）
（D，F）
G
（A，G）
（B，G）
（C，G）
（D，G）
H
（A，H）
（B，H）
（C，H）
（D，H）
（1）在直线上任取一点，画线段．
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．
（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线
（4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．