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2025高考物理一轮总复习第5章万有引力与宇宙航行第14讲万有引力定律及应用相对论提能训练
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这是一份2025高考物理一轮总复习第5章万有引力与宇宙航行第14讲万有引力定律及应用相对论提能训练，共9页。
题组一 开普勒定律的应用
1．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是( D )
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的eq \f(1,4)
C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则eq \f(a3,T2)＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
[解析] 根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝eq \f(1,2)r·vΔt，可知地球在近日点的运行速度最大，在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；根据对称性可知，地球从冬至到夏至的运行时间为公转周期的eq \f(1,2)，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知地球从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故地球从冬至到春分的运行时间小于公转周期的eq \f(1,4)，B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有eq \f(a3,T2)＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。
2．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球静止轨道，GTO是地球静止轨道的转移轨道。已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( A )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
[解析] 根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，静止轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球静止卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律得eq \f(R\\al(3,1),R\\al(3,2))＝eq \f(T\\al(2,1),T\\al(2,2))，解得T1＝3 h，A正确。
题组二 万有引力定律及重力加速度的理解
3．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( C )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
[解析] 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有eq \f(GMm,R2)＝mg，又有eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，联立解得g＝eq \f(c2,2R)，代入数据解得重力加速度约为1012 m/s2，故C项正确。
4．(2024·安徽马鞍山高三模拟)一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( D )
A.eq \f(3πk2,GT2k2－1) B．eq \f(3πk2,GT2k－12)
C.eq \f(3πkk＋1,GT2k) D．eq \f(3πk,GT2k－1)
[解析] 地球自转的角速度ω＝eq \f(2π,T)，设地球质量为M，半径为R，根据题意可得Geq \f(Mm,R2)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(G\f(Mm,R2)－mω2R))，又ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3πk,GT2k－1)，故D正确，A、B、C错误。
题组三 万有引力定律的应用 宇宙速度
5．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( D )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
[解析] 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
6．(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( A )
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
[解析] 因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。故选A。
7．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝eq \f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( C )
A．30πeq \r(\f(r,g)) B．30πeq \r(\f(g,r))
C．120πeq \r(\f(r,g)) D．120πeq \r(\f(g,r))
[解析] 设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq \f(M地m,R2)，月球绕地球公转有Geq \f(M地m月,r2)＝m月eq \f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq \r(\f(r,g))，故选C。
8．(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq \r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( B )
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
[解析] 恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝eq \f(GMm,R2)可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，整理得v＝eq \r(\f(GM,R))，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝eq \f(4π,3)R3ρ得R＝eq \r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq \r(2)倍，则v′＝eq \r(2)v＝eq \r(\f(2GM,R))，联立整理得v′2＝2v2＝eq \f(2GM,R)＝2Geq \r(3,\f(4πρM2,3))，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。故选B。
能力综合练
9.北京时间2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，并进入预定轨道，飞船进入近地点200千米、远地点363千米、倾角41.6度的近地轨道(LEO)。然后变轨进入交会对接轨道，“神十七”飞船采用快速交会对接模式上行，于26日傍晚对接于离地面380公里的中国空间站“天和”核心舱前向端口，航天员于当晚进入空间站。神舟十七号航天员乘组由汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员组成，三名航天员进行了多项科学实验和技术验证，为中国航天的发展积累了宝贵经验。下列描述错误的是( D )
A．飞船进入预定轨道运动轨道是椭圆
B．在远地点运动速度比近地点运动速度小
C．预定轨道运行周期比空间站“天和”核心舱小
D．中国空间站定点在赤道上空，相对地面静止
[解析] 根据题意可知，其预定轨道上有远地点和近地点，可知其预定轨道是椭圆，故A正确，不符合题意；根据开普勒第二定律，在同一轨道上运动过程中，相同时间内与中心天体中心连线扫过的面积相等，设近地点的半径为r1，速度为v1远地点的半径为r2，速度为v2，取极短时间Δt，则有eq \f(1,2)r1v1·Δt＝eq \f(1,2)r2v2·Δt，由于r1v2，即在远地点运动速度比近地点运动速度小，故B正确，不符合题意；根据万有引力充当向心力有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，可得T＝eq \r(\f(4π2R3,GM))，由此可知，轨道半径越大，其周期越大，由于预定轨道半径小于空间站“天和”核心舱运行轨道半径，因此预定轨道运行周期比空间站“天和”核心舱小，故C正确，不符合题意；中国空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，其运行周期小于同步卫星，其相对地面并非静止，故D错误，符合题意。故选D。
10. (2024·陕西榆林高三校联考阶段练习)2023年8月29日华为Mate60隆重上市，该手机搭载我国自主研发的麒麟9 000s芯片，手机还有一个最大的亮点就是可以连接天通一号01星实现卫星通信。已知天通一号01星P相对于地球的最大张角为θ，如图所示，已知地球的平均密度为ρ，地球的半径为R，引力常量为G，天通一号01星的运动可看作绕地球做匀速圆周运动，天通一号01星可视为质点，则根据以上数据可以求出( C )
A．天通一号01星距地面的高度为h＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－sin \f(θ,2)))
B．第一宇宙速度的大小为eq \r(\f(4πGρR,3))
C．天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为eq \f(4,3)πGρRsin2eq \f(θ,2)
D．天通一号01星运行的周期为T＝eq \r(\f(3π,4ρGsin3\f(θ,2)))
[解析] 设天通一号01星距地面的高度为h，如图所示，根据几何关系可得eq \f(R,R＋h)＝sin eq \f(θ,2)，解得h＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin \f(θ,2))－1))，故A错误；设第一宇宙速度大小为v，则有Geq \f(Mm1,R2)＝m1eq \f(v2,R)，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，两式联立得解v＝Req \r(\f(4πGρ,3))，故B错误；设天通一号01星轨道半径为r，天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为g′，天通一号01星在轨道所在处有Geq \f(Mm,r2)＝mg′，地球表面物体有Geq \f(Mm1,R2)＝m1g，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，又eq \f(R,r)＝sin eq \f(θ,2)，联立解得g′＝eq \f(4,3)πGρRsin2eq \f(θ,2)，故C正确；天通一号01星做匀速圆周运动有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，根据几何关系eq \f(R,r)＝sin eq \f(θ,2)，联立解得周期T＝eq \r(\f(3π,ρGsin3\f(θ,2)))，故D错误。故选C。
11．(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),9)，该星球半径R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是( ABD )
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s
B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s
D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
[解析] 根据牛顿第二定律，物块上滑过程中，在沿斜面方向上有μmgcs θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcs θ＝ma2，又知v－t图像的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝eq \f(6－0,0.6) m/s2＝10 m/s2，a2＝eq \f(2,0.4) m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，则该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(gR)＝eq \r(15×6×104×103) m/s＝3.0×104 m/s，故A项正确；根据黄金代换公式GM＝gR2可得该星球的质量M＝eq \f(gR2,G)＝eq \f(15×6×104×1032,6.67×10－11) kg≈8.1×1026 kg，故B项正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故C项错误；该星球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(8.1×1026 kg,\f(4,3)×π×R3)≈896 kg/m3，故D项正确。
12．(2023·浙江卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( B )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
[解析] 根据开普勒第三定律有eq \f(T2,R3)＝eq \f(T\\al(2,地),R\\al(3,地))，解得T＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R地)))3)T地，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T)))t，解得t＝eq \f(TT地,T－T地)＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R3)))，由表格中的数据可得t火＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R\\al(3,火))))≈800天，t天＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R\\al(3,天))))≈369天，故选B。
13. (2024·海南海口月考)2021年1月20日0时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将天通一号03星发射升空，发射入轨后将与地面移动通信系统共同构成天地一体化移动通信网络。有一检测仪器置于压力传感器上，在地面仪器静止时测得仪器对平台的压力为F0，地面的重力加速度为g，地球半径为R；现运载火箭点火后以加速度a＝eq \f(g,2)竖直向上做匀加速直线运动，到某高处时发现压力传感器的示数为eq \f(3F0,4)，已知引力常量为G，并且忽略地球自转。
(1)求压力传感器的示数为eq \f(3F0,4)时运载火箭离地面的高度h；
(2)若天通一号03星在离地面高度为3h处开始绕地球做匀速圆周运动，运行N圈的时间为t，求地球的密度。
[答案] (1)R (2)eq \f(192πN2,Gt2)
[解析] (1)在地面仪器静止时，有F0＝mg
忽略地球自转，物体在地球表面所受的重力等于万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，某高处时，设重力加速度为g1，则mg1＝eq \f(GMm,R＋h2)，运载火箭以加速度a＝eq \f(g,2)竖直向上做匀加速直线运动，传感器的示数为eq \f(3F0,4)，则仪器受到的支持力为eq \f(3F0,4)，根据牛顿第二定律得eq \f(3,4)F0－mg1＝ma，联立可得g1＝eq \f(g,4)，h＝R。
(2)天通一号03星在离地面高度为3h处绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得eq \f(GMm,R＋3h2)＝m(R＋3h)eq \f(4π2,T2)
运行N圈的时间为t，则T＝eq \f(t,N)，
所以M＝eq \f(256N2π2R3,Gt2)
地球的体积V＝eq \f(4,3)πR3
地球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(192πN2,Gt2)。
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径R/AU
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
题组一 开普勒定律的应用
1．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是( D )
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的eq \f(1,4)
C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则eq \f(a3,T2)＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
[解析] 根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝eq \f(1,2)r·vΔt，可知地球在近日点的运行速度最大，在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；根据对称性可知，地球从冬至到夏至的运行时间为公转周期的eq \f(1,2)，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知地球从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故地球从冬至到春分的运行时间小于公转周期的eq \f(1,4)，B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有eq \f(a3,T2)＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。
2．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球静止轨道，GTO是地球静止轨道的转移轨道。已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( A )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
[解析] 根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，静止轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球静止卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律得eq \f(R\\al(3,1),R\\al(3,2))＝eq \f(T\\al(2,1),T\\al(2,2))，解得T1＝3 h，A正确。
题组二 万有引力定律及重力加速度的理解
3．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( C )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
[解析] 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有eq \f(GMm,R2)＝mg，又有eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，联立解得g＝eq \f(c2,2R)，代入数据解得重力加速度约为1012 m/s2，故C项正确。
4．(2024·安徽马鞍山高三模拟)一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( D )
A.eq \f(3πk2,GT2k2－1) B．eq \f(3πk2,GT2k－12)
C.eq \f(3πkk＋1,GT2k) D．eq \f(3πk,GT2k－1)
[解析] 地球自转的角速度ω＝eq \f(2π,T)，设地球质量为M，半径为R，根据题意可得Geq \f(Mm,R2)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(G\f(Mm,R2)－mω2R))，又ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3πk,GT2k－1)，故D正确，A、B、C错误。
题组三 万有引力定律的应用 宇宙速度
5．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( D )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
[解析] 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
6．(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( A )
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
[解析] 因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。故选A。
7．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝eq \f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( C )
A．30πeq \r(\f(r,g)) B．30πeq \r(\f(g,r))
C．120πeq \r(\f(r,g)) D．120πeq \r(\f(g,r))
[解析] 设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq \f(M地m,R2)，月球绕地球公转有Geq \f(M地m月,r2)＝m月eq \f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq \r(\f(r,g))，故选C。
8．(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq \r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( B )
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
[解析] 恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝eq \f(GMm,R2)可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，整理得v＝eq \r(\f(GM,R))，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝eq \f(4π,3)R3ρ得R＝eq \r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq \r(2)倍，则v′＝eq \r(2)v＝eq \r(\f(2GM,R))，联立整理得v′2＝2v2＝eq \f(2GM,R)＝2Geq \r(3,\f(4πρM2,3))，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。故选B。
能力综合练
9.北京时间2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，并进入预定轨道，飞船进入近地点200千米、远地点363千米、倾角41.6度的近地轨道(LEO)。然后变轨进入交会对接轨道，“神十七”飞船采用快速交会对接模式上行，于26日傍晚对接于离地面380公里的中国空间站“天和”核心舱前向端口，航天员于当晚进入空间站。神舟十七号航天员乘组由汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员组成，三名航天员进行了多项科学实验和技术验证，为中国航天的发展积累了宝贵经验。下列描述错误的是( D )
A．飞船进入预定轨道运动轨道是椭圆
B．在远地点运动速度比近地点运动速度小
C．预定轨道运行周期比空间站“天和”核心舱小
D．中国空间站定点在赤道上空，相对地面静止
[解析] 根据题意可知，其预定轨道上有远地点和近地点，可知其预定轨道是椭圆，故A正确，不符合题意；根据开普勒第二定律，在同一轨道上运动过程中，相同时间内与中心天体中心连线扫过的面积相等，设近地点的半径为r1，速度为v1远地点的半径为r2，速度为v2，取极短时间Δt，则有eq \f(1,2)r1v1·Δt＝eq \f(1,2)r2v2·Δt，由于r1
10. (2024·陕西榆林高三校联考阶段练习)2023年8月29日华为Mate60隆重上市，该手机搭载我国自主研发的麒麟9 000s芯片，手机还有一个最大的亮点就是可以连接天通一号01星实现卫星通信。已知天通一号01星P相对于地球的最大张角为θ，如图所示，已知地球的平均密度为ρ，地球的半径为R，引力常量为G，天通一号01星的运动可看作绕地球做匀速圆周运动，天通一号01星可视为质点，则根据以上数据可以求出( C )
A．天通一号01星距地面的高度为h＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－sin \f(θ,2)))
B．第一宇宙速度的大小为eq \r(\f(4πGρR,3))
C．天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为eq \f(4,3)πGρRsin2eq \f(θ,2)
D．天通一号01星运行的周期为T＝eq \r(\f(3π,4ρGsin3\f(θ,2)))
[解析] 设天通一号01星距地面的高度为h，如图所示，根据几何关系可得eq \f(R,R＋h)＝sin eq \f(θ,2)，解得h＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin \f(θ,2))－1))，故A错误；设第一宇宙速度大小为v，则有Geq \f(Mm1,R2)＝m1eq \f(v2,R)，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，两式联立得解v＝Req \r(\f(4πGρ,3))，故B错误；设天通一号01星轨道半径为r，天通一号01星轨道所在处的重力加速度大小为g′，天通一号01星在轨道所在处有Geq \f(Mm,r2)＝mg′，地球表面物体有Geq \f(Mm1,R2)＝m1g，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，又eq \f(R,r)＝sin eq \f(θ,2)，联立解得g′＝eq \f(4,3)πGρRsin2eq \f(θ,2)，故C正确；天通一号01星做匀速圆周运动有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，地球的质量为M＝ρ×eq \f(4,3)πR3，根据几何关系eq \f(R,r)＝sin eq \f(θ,2)，联立解得周期T＝eq \r(\f(3π,ρGsin3\f(θ,2)))，故D错误。故选C。
11．(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),9)，该星球半径R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是( ABD )
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s
B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s
D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
[解析] 根据牛顿第二定律，物块上滑过程中，在沿斜面方向上有μmgcs θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcs θ＝ma2，又知v－t图像的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝eq \f(6－0,0.6) m/s2＝10 m/s2，a2＝eq \f(2,0.4) m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，则该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(gR)＝eq \r(15×6×104×103) m/s＝3.0×104 m/s，故A项正确；根据黄金代换公式GM＝gR2可得该星球的质量M＝eq \f(gR2,G)＝eq \f(15×6×104×1032,6.67×10－11) kg≈8.1×1026 kg，故B项正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故C项错误；该星球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(8.1×1026 kg,\f(4,3)×π×R3)≈896 kg/m3，故D项正确。
12．(2023·浙江卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( B )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
[解析] 根据开普勒第三定律有eq \f(T2,R3)＝eq \f(T\\al(2,地),R\\al(3,地))，解得T＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R地)))3)T地，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T)))t，解得t＝eq \f(TT地,T－T地)＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R3)))，由表格中的数据可得t火＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R\\al(3,火))))≈800天，t天＝eq \f(T地,1－\r(\f(R\\al(3,地),R\\al(3,天))))≈369天，故选B。
13. (2024·海南海口月考)2021年1月20日0时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将天通一号03星发射升空，发射入轨后将与地面移动通信系统共同构成天地一体化移动通信网络。有一检测仪器置于压力传感器上，在地面仪器静止时测得仪器对平台的压力为F0，地面的重力加速度为g，地球半径为R；现运载火箭点火后以加速度a＝eq \f(g,2)竖直向上做匀加速直线运动，到某高处时发现压力传感器的示数为eq \f(3F0,4)，已知引力常量为G，并且忽略地球自转。
(1)求压力传感器的示数为eq \f(3F0,4)时运载火箭离地面的高度h；
(2)若天通一号03星在离地面高度为3h处开始绕地球做匀速圆周运动，运行N圈的时间为t，求地球的密度。
[答案] (1)R (2)eq \f(192πN2,Gt2)
[解析] (1)在地面仪器静止时，有F0＝mg
忽略地球自转，物体在地球表面所受的重力等于万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，某高处时，设重力加速度为g1，则mg1＝eq \f(GMm,R＋h2)，运载火箭以加速度a＝eq \f(g,2)竖直向上做匀加速直线运动，传感器的示数为eq \f(3F0,4)，则仪器受到的支持力为eq \f(3F0,4)，根据牛顿第二定律得eq \f(3,4)F0－mg1＝ma，联立可得g1＝eq \f(g,4)，h＝R。
(2)天通一号03星在离地面高度为3h处绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得eq \f(GMm,R＋3h2)＝m(R＋3h)eq \f(4π2,T2)
运行N圈的时间为t，则T＝eq \f(t,N)，
所以M＝eq \f(256N2π2R3,Gt2)
地球的体积V＝eq \f(4,3)πR3
地球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(192πN2,Gt2)。
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径R/AU
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
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