陕西省西安市第一中学2024届高三第四次质量监测文科数学试题

这是一份陕西省西安市第一中学2024届高三第四次质量监测文科数学试题，共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，已知，，，则，设抛物线，函数的极小值点为等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．C．34D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（ ）
A．B．6C．D．
6．函数的极小值点为（ ）
A．2B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A．B．C．D．8
8．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（ ）
A．图中的
B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
9．《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．在正四棱锥中，为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．已知等差数列的前项和，且是和的等比中项，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为________．
14．如图，一个圆柱内接于圆锥，且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的半，则该圆柱与圆锥的体积的比值为________．
15．数列满足，，则________．
16．已知函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象．
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为6，，求的长．
18．（12分）
某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：）如下：
这里用表示有个尺寸为的零件，，均为正整数．若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小于的概率为．
（1）求，的值．
（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为，标准差为，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．
19．（12分）
如图，几何体为三棱台．
（1）证明：平面．
（2）已知平面平面，，，，，求三棱台的体积．
参考公式：台体的体积，其中，分别为台体的上底面面积、下底面面积，为台体的高．
20．（12分）
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若过点作直线与函数的图像相切，判断切线的条数．
21．（12分）
已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）记直线与曲线的两个交点分别为，，求．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
高三数学考试质量监测
参考答案（文科）
1．C 因为，，所以．
2．D 因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限．
3．C ，因为，所以，解得．
4．C 因为，，所以．
5．D 由题意可知，，所以．因为抛物线的通径长为，所以轴，所以．
6．A 因为，所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2．
7．C 输入，不满足，可得；
当时，不满足，可得；当时，不满足，可得；
当时，满足，可得．
8．C 由，得，所以A正确；
这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确；
根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确．
9．A 设《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》这四本书分别为，，，，将四本书分成三组的情况有，，，，，共6种，其中，在一组的情况有一种，所以《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为．
10．D 连接交于，取的中点，连接，，．因为，所以为所求的角．
在中，为的中点，且，所以，
所以正四棱锥的所有棱长都相等．
设所有棱长均为2，在中，，，
所以．
11．D 因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增．因为，所以，则，解得．
12．C 当时，，所以．因为是和的等比中项，所以，即．易得，解得．
13．6 因为，所以．因为椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为，所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为6．
14． 设该圆柱的底面圆半径为，高为，则该圆柱的体积为．
圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的体积为．
故该圆柱与圆锥的体积的比值为．
15． 因为，所以．因为，所以，，，所以是一个周期数列，且周期为3，故．
16．①③ 的最小正周期为，①正确．
，②错误．
把函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，③正确．
17．解：（1）因为，
所以．
因为，所以，所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理可得，
所以．
18．解：（1）依题意可得
解得
（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为，
所以，
所以，，
所以这60个零件内径尺寸在内的个数为．
因为，所以这次抽检的零件不合格．
19．（1）证明：根据三棱台的几何性质可知，，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：根据三棱台的几何性质可知，．
过作的垂线，垂足为．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为，，所以，
，则三棱台的高为．
因为，所以的面积为．
又，所以的面积为．
故三棱台的体积．
20．解：（1）因为，
所以．
令，得；令，得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），则，
设切点为，
则，，
所以切线方程为．
将点代入得，
整理得．
因为方程有两个不相等正根，
所以方程共有三个不相等正根．
故过点可以作出三条直线与曲线相切．
21．（1）解：因为双曲线的虚轴长为2，所以．
因为，且，所以，，
所以双曲线的方程为．
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，
此时，．
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
联立方程组得，
由，得．
联立方程组得．
不妨设与的交点为，则．
同理可求，所以．
因为原点到直线的距离，
所以．
因为，所以，故的面积是定值，且定值为3．
22．解：（1）因为直线的参数方程为（为参数），
所以直线的普通方程为．
因为曲线的极坐标方程为，
且所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将代入曲线的直角坐标方程，
得．
设，对应的参数分别为，，则，，
所以．
23．解：（1）若，则．
当时，由，得，所以；
当时，由，得恒成立，所以；
当时，由，得，所以．
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
所以当，即时，．
由，解得或．
故的取值范围是．