陕西省2024届高三教学质量检测（一）文科数学试题

这是一份陕西省2024届高三教学质量检测（一）文科数学试题，共14页。试卷主要包含了记为等差数列的前n项和，已知定义在上的函数，满足，且等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A． B． C． D．
3．我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，……，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
4．设x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：
现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（ ）
A．76 B．74.85 C．73 D．72.5
6．记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
7．一个四面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的一条渐近线l与椭圆交于A，B两点，若，（是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量的夹角为，，则________．
14．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b，a，c成等差数列，且，则_________．
15．已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为_________．
①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；
③．
16．已知F为抛物线（t为参数）的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）记数列的前n项和为，已知，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列是以1为首项，3为公差的等差数列，的前n项和为，求．
18．（12分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
（1）求x和y的值．
（2）分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
（3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．
参考公式：，
19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，点P在线段EF上运动．
（1）求证：；
（2）是否存在点P，使得平面ACE?若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：当时，对，不等式恒成立．
21．（12分）已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C于P，Q两点，求面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线过点，且倾斜角为，曲线的普通方程为，射线的方程，射线的方程为．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的定义域为．
（1）当时，求；
（2）若存在x，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
2024年陕西省高三教学质量检测试题（一）
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 的虚部为3．
2．B ，则且，可得的值域．
3．C 从表中第5行第6列开始向右读取数据，前7个数据分别是253，313，457，007，328，623，072．
4．C 作出可行域如图阴影部分所示，
由，得．
作出直线，并平移知，当直线过点A时，z取得最小值．
由得．
5．A ，
所以■．
6．C 设的公差为d，由得
解得，则的前2024项和为．
7．B 四面体的直观图如图所示．侧面底面ABC，且与均为腰长是的等腰直角三角形，．故四面体的外接球球心即为AC的中点O，所以外接球的半径为1，外接球的体积为．
8．C 圆的标准方程为，所以圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以，故选C．
9．D 因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而．又的图像关于直线对称，所以，因为，所以，所以，所以，将的图像向右平移个单位后，得到
所以．
当，
即时，单调递减．
因此的单调递减区间为．
10．A 为奇函数，．
故由，得．又在上单调递减，，，故选A．
11．A 由已知，则渐近线，即，又，
即，且四边形为矩形，所以，则，
又根据椭圆定义可知，所以离心率．
12．B 由化简可得，
即，设，则
设，则，
在上单调递减，在单调递增，则，
又在单调递增，
恒成立，即．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．答案：
解析：．
14．答案：
解析：在中，由及正弦定理，得．又b、a、c成等差数列，则，所以，所以．
因为，所以．
15．答案：①③
解析：①若，
所以函数在处的切线方程为，①选项正确．
②，②选项错误．
③，当时，，单调递减，没有极值，当时，由，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以为定值，③选项正确．
16．答案：64
解析：因为F为的焦点，所以．
由题意知直线的斜率均存在，且不为0，设的斜率为k，则的斜率为，故直线的方程分别为．由得．设，则，所以．同理可得．
所以
当且仅当，即时，取得等号．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
17．解析：（1）因为，
则当时，，
两式相减可得， 3分
则， 4分
且当时，，解得，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即； 6分
（2）因为，则， 8分
则 10分
12分
18．解析：（1） 2分
（2）由，
得 5分
∴有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”． 6分
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2
来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d 8分
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为：
事件共有9个 10分
或 12分
19．解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，
． 3分
平面ABCD，平面ABCD，，又，面BFED，
平面BFED， 5分
面BFED，
（2）在线段EF上存在P，使得平面ACE． 6分
证明如下：由已知可得四边形BFED为矩形，
中，，则 8分
10分
当时，，四边形OBPE为平行四边形，则
面AEC，面AEC，面AEC． 2分
20．解析：（1）定义域为． 2分
①时，在上为增函数；
②时，在上为增函数，在上为减函数． 5分
（2）证明：当时，
，
∴要证原不等式成立，即证对恒成立， 7分
令在上为增函数，… 10分
当时，，
对恒成立．
对恒成立． 12分
21．解析：（1）由题意得即． 4分
（2）由题意得直线的斜率存在且不为0．
，设， 5分
由得，
，同理，． 6分
①时，．此时过定点．
②时，，过点恒过定点． 8分
10分
．
令，当且仅当时取等号，
，且当时取等号．． 12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程]
解析：（1）直线的方程为，化简极坐标方程为： 3分
曲线：化简极坐标方程为： 5分
（2）联立即 7分
联立即 9分
故 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]
解析：（1）由题设知， 2分
①当时，得，解得．
②当时，得，无解．
③当时，得，解得．
∴函数的定义域为． 5分
（2）不等式即， 6分
当时，恒有， 8分
又不等式有解，，即，
∴m的取值范围为． 10分学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
100
105
90
85
80
地理成绩y
75
■
68
64
62
非一线
一线
总计
愿生
40
y
60
不愿生
x
22
40
总计
58
42
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
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