四川省绵阳中学2023届高三理科数学模拟（二）及答案

这是一份四川省绵阳中学2023届高三理科数学模拟（二）及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z满足，则 （ ）
A．1B．C．D．
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）
A．20B．30C．60D．88
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为正方形，其内切圆与各边分别切于,连接,现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则

A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（ ）
A．6B．C．4D．
9．下面关于函数的叙述中，正确的是（ ）
①的最小正周期为
②的对称中心为
③的单调增区间为
④的对称轴为
A．①③B．②③④C．②④D．①③④
10．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则不正确的是（ ）
A．它的表面积为B．侧棱与下底面所成的角为
C．它的外接球的表面积为D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
12．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．2
二、填空题
13．已知，则
14．若则的值 ．
15．在中，，则的面积最大值为 ．
16．已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积 .
三、解答题
17．已知各项均为正数的等差数列的前项和为，是的等比中项，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和为．
18．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
19．如图1，在中，是直角，，是斜边的中点，分别是的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．

(1)求证：平面；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时．求的值．
条件①：；条件②：．
20．定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆.
(1)如图，已知为上的动点，延长至点，使得的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)在条件（1）下，已知椭圆是椭圆的相似椭圆，是椭圆的左､右顶点.点是上异于四个顶点的任意一点，当（为曲线的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值.
21．已知函数，.
(1)已知，若时，恒成立，求的取值范围；
(2)当时，求证：.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.
(1)若，在极坐标系中，直线经过点，求的值；
(2)若，直线与曲线S交于A、B两点，求的最小值.
23．已知函数
(1)求函数的最小值；
(2)若为正实数，且，求的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.
【详解】由题意知复数z满足，
即，
故选：C
2．C
【分析】利用全称命题的否定是特称命题及相关概念求解即可.
【详解】命题“”的否定为“”
故选：C
3．C
【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：由，，解得，
所以，
集合，
因为，所以，解得．
故选：C．
4．C
【分析】根据频率分布直方图求高度不低于的频率和频数即可．
【详解】由频率分布直方图知，高度不低于的频率为，
所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为．
故选：C．
5．A
【分析】计算出安排人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，共有种不同的方案，
甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，
故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.
故选：A.
6．D
【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，由是函数的最大值点，即可求出.
【详解】由题意知，函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，且恒成立，
所以，即，解得，
又是函数的最大值点，是函数的最小值点，
所以，又 ，解得.
故选：D.
7．C
【详解】分析：设正方形边长为,分别求解圆和正方形的面积，得到在圆内且在正方形内的面积，即可求解.
详解：设正方形边长为,则圆的半径为其面积为
设正方形边长为,则 其面积为
则在圆内且在正方形内的面积为
故
故选C．
点睛：本题考查条件概率的计算，其中设正方形边长和正方形得到在圆内且在正方形内的面积是解题的关键.
8．A
【分析】设，由，得为的中点, 表示的方程，求出点的坐标，结合抛物线的定义求得结果.
【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且，
则，易得直线的垂线的方程为.
令，得，故，由抛物线的定义易知，
故，
故选:A.
法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.
故选:A.
9．D
【分析】先利用三角恒等变换化简函数式，再逐一判定即可.
【详解】 ，
①，函数的最小正周期，①正确；
的定义域关于原点对称且为偶函数，
的对称轴为
∴②错误，④正确；
当，即时，单调递增，③正确.
故选：D
10．D
【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
11．C
【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断B的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径的正误，即可判断C，根据体积公式即可求解D．
【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，
侧面为等腰梯形，过、分别做的垂线，垂足为、，如图所示，
所以，则，
所以，
所以梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故A正确；
连接，，且交于点，连接，交于点，连接，
则垂直底面，
过作于，则底面，则四边形为矩形，
由题意得，所以，
同理，
又，所以，
在中，，
所以，即侧棱与下底面所成的角为，故B正确；
所以．
连接，在中，，
所以点到、、、、、、、的距离相等，均为，
所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，
所以外接球的表面积，故C错误；
正四棱台的体积，
棱长为的正方体的体积，
所以，所以，
所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确.
故选：C．
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
12．B
【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】，
当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立，
当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，∴，
∴，
∴，
令，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．
故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.
13．
【分析】首先求出，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】由可得，
故.
故答案为：
14．
【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解.
【详解】由，
令，可得；
令，可得，
所以.
故答案为：.
15．3
【分析】先由正弦定理得到，再建立平面直角坐标系求得点C的轨迹，从而得到的面积关于的解析式，利用函数的单调性即可求得的面积最大值.
【详解】因为，所以由正弦定理得，即，
以线段所在直线为x轴，以的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，
由得，
因为，所以整理得，
由此可知点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径，
所以的面积在上单调递减，
所以．
故答案为：.
16．
【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面积即可.
【详解】点的坐标为，则，
又，且直线过点，
则直线的方程为，整理得，
设点的坐标为，点的坐标为，
由，得，即，
直线的方程为，
，
①，
联立与，消去得，
则②，
把②代入①，解得，
故，
又直线与轴的交点为，
所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于、的方程组，解得即可；
（2）由（1）求出，从而得到，再利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）设正项等差数列的公差为，
因为是的等比中项，所以，即，
又，即，即，
解得或（舍去），
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以．
18．(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；
（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；
（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.
【详解】（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.
【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以.
因为面,面,
所以平面.
（2）在中，是直角，，P是斜边的中点，所以，即.
选条件①：.
因为，，,面,面,
所以面.
又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.
在中，是直角，，P是斜边的中点，所以.
所以，，.
因为分别是的中点，所以，，所以，.
因为点是线段上的动点，所以可设,所以.
不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.
显然为面的一个法向量.
所以二面角的余弦值为.
由题意可得：，
解得：.
所以.
选条件②：.
在中，是直角，，P是斜边的中点，所以..
因为，所以，所以.
所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，，.
因为分别是的中点，所以，，所以，.
因为点是线段上的动点，所以可设,所以.
不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.
显然为面的一个法向量.
所以二面角的余弦值为.
由题意可得：，
解得：.
所以.
20．(1)
(2)5
【分析】（1）由图可知是的中位线，由此可得长为定值，因为点在的垂直平分线上，所以，根据椭圆定义求解析式即可；
（2）假设出点坐标，表示直线与直线的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出的值.
【详解】（1）连接，易知且，
，又点在的垂直平分线上，
，
，满足椭圆定义，
，
曲线的方程为.
（2）由（1）知椭圆方程为，
则离心率，
楄圆的标准方程为，
设为椭圆异于四个顶点的任意一点，直线斜率，
则，
又，
.
设直线的斜率为，则直线的斜率为.
直线为，
由得，
设，则，
，
同理可得，
.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出时，在区间上的最小值，使即可；
（2）设，证明即可.
【详解】（1）∵，，
设，，则
∴在区间上单调递增，
∵，∴，，
∴在区间上单调递增，，
∴若恒成立，则，
综上所述，若时，恒成立，则的取值范围是.
（2）当时，，，
则，易知在区间上单调递增，
又∵，，
∴，使，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
∴在处取得极小值，也是最小值，，
∵，∴，两边同时取对数，又有，
∴，
设，，
则，易知在区间上单调递减，
又∵，，
∴，使，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴在处取得极大值，也是最大值，，
∵，∴，
∴，
设，，
∵，∴，
∵，∴，
易知在区间上单调递增，
∴至多有一个零点，∴，∴，
∴，
即.
【点睛】方法点睛：证明不等式恒成立问题，可以先通过导数求出的最小值和的最大值，再证明即可.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据点的极坐标求出点的直角坐标，再将和点的直角坐标代入直线的参数方程即可得解；
（2）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，再分和两种情况讨论求出直线所过的定点，再根据当Р为AB的中点时最小，结合圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）设点的直角坐标为，
因为点的极坐标为.
∴，，
∴当时，得解之，得
∴；
（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
∴曲线S是以为圆心，半径的圆，
当时，若，化直线的参数方程为普通方程：，
直线过定点，
若，直线的普通方程为：，直线也过点，
∴直线恒过定点，
∵，
∴点Р在圆C内，
∴当Р为AB的中点时最小，
这时，，
∴.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值；
（2）结合（1）得出，然后利用柯西不等式可得最小值．
【详解】（1），
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）由已知得当时，则由得：
即：
则由柯西不等式得：
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为