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2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题
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这是一份2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.的值为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.5C.D.2
3.若，则等于（ ）
A.49B.55C.120D.165
4.已知对于任意，都有，且则（ ）
A.4B.8C.64D.256
5.已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A.15B.25C.30D.35
7.已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A.B.C.D.
8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
9.已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A.B.C.D.
10.已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A.椭圆的离心率为B.直线的斜率为
C.为等腰三角形D.
11.某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表：
已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.
（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）
则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，当时，_________.
13.已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.
14.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.
15.（本小题满分13分）设数列的前项和为，若，.
（1）求，，并证明：数列是等差数列；
（2）求.
16.（本小题满分15分）已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值.
17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
18.（本小题满分17分）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.
（1）求证：；
（2）已知，平面，且平面.
①求证：；
②求与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的最小值.
【参考答案】
一、单选题
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A
二、多选题
9.AD 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12.113.14.
四、解答题
15.（1）当时，由条件得，所以.
当时，由条件得，所以.
因为，所以（），
两式相减得：，即，
所以，
从而数列为等差数列.
（2）由（1）知，
与（1）类似，可证：，，…，成等差数列，
所以
.
16.（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，，
解得：，所以的最小值为.
17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；
再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；
若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.
②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为.
所以，前三次传球中满足题意的概率为：.
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.
18.（1）连交于，连.
由于为的重心，所以为的中点.
在三棱柱中，因为，，，所以，从而.
由于为的中点，所以，，又，所以平面，因为平面，所以，因为，所以.
（2）①∵，，∴为正三角形；同理，也为正三角形，∴，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，
由于为的重心，∴平面，又平面，所以.
②设的重心为，，且，在平面内，过作，连，则平面.
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，
所以，，，，
，
所以.
设，与平面所成的角为，
则，
所以，
因为平面，所以设，由①知：，从而存在实数，使，
所以，解得：，，，
从而.，令，
，令，
.
19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为（，），从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，所以，，双曲线的方程为：.
（2）①，设直线的方程为：，将代入方程：，
得：，当且时，
设，，则，.
设直线得倾斜角为，不妨设，则，
由于，，，四点共圆知：，所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，令，则，从而，
所以，又，得：，
，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点的坐标为.
②，由①知：，所以.
，所以，
若，在轴上方时，在的上方，即时，；
若，在轴下方时，即时，，所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆的半径为，面积为，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
耕种深度/cm
8
10
12
14
16
18
每公顷产量/t
6
8
11
12
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.的值为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.5C.D.2
3.若，则等于（ ）
A.49B.55C.120D.165
4.已知对于任意，都有，且则（ ）
A.4B.8C.64D.256
5.已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A.15B.25C.30D.35
7.已知曲线与曲线在第一象限交于点，在处两条曲线的切线倾斜角分别为，，则（ ）
A.B.C.D.
8.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
9.已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A.B.C.D.
10.已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A.椭圆的离心率为B.直线的斜率为
C.为等腰三角形D.
11.某农科所针对耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表：
已知，用最小二乘法求出关于的经验回归方程：，，，数据在样本，的残差分别为，.
（参考数据：两个变量，之间的相关系数为，参考公式：，，）
则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，当时，_________.
13.已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.
14.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.
15.（本小题满分13分）设数列的前项和为，若，.
（1）求，，并证明：数列是等差数列；
（2）求.
16.（本小题满分15分）已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值.
17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
18.（本小题满分17分）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.
（1）求证：；
（2）已知，平面，且平面.
①求证：；
②求与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的最小值.
【参考答案】
一、单选题
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A
二、多选题
9.AD 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12.113.14.
四、解答题
15.（1）当时，由条件得，所以.
当时，由条件得，所以.
因为，所以（），
两式相减得：，即，
所以，
从而数列为等差数列.
（2）由（1）知，
与（1）类似，可证：，，…，成等差数列，
所以
.
16.（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，，
解得：，所以的最小值为.
17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；
再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；
若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.
②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为.
所以，前三次传球中满足题意的概率为：.
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.
18.（1）连交于，连.
由于为的重心，所以为的中点.
在三棱柱中，因为，，，所以，从而.
由于为的中点，所以，，又，所以平面，因为平面，所以，因为，所以.
（2）①∵，，∴为正三角形；同理，也为正三角形，∴，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，
由于为的重心，∴平面，又平面，所以.
②设的重心为，，且，在平面内，过作，连，则平面.
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，
所以，，，，
，
所以.
设，与平面所成的角为，
则，
所以，
因为平面，所以设，由①知：，从而存在实数，使，
所以，解得：，，，
从而.，令，
，令，
.
19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为（，），从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，所以，，双曲线的方程为：.
（2）①，设直线的方程为：，将代入方程：，
得：，当且时，
设，，则，.
设直线得倾斜角为，不妨设，则，
由于，，，四点共圆知：，所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，令，则，从而，
所以，又，得：，
，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点的坐标为.
②，由①知：，所以.
，所以，
若，在轴上方时，在的上方，即时，；
若，在轴下方时，即时，，所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆的半径为，面积为，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
耕种深度/cm
8
10
12
14
16
18
每公顷产量/t
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8
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