江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题（附参考答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知单位向量，的夹角为120°，则
A．-2 B．0 C．1 D．2
2．在正方体中，下列关系正确的是
A． B． C． D．
3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40．若这两组数据的中位数相等，则删除的数为
A．25 B．30 C．35 D．40
4．已知函数则
A． B． C． D．
5．设，，，则的最小值为
A． B． C． D．3
6．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
7．设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为
A． B． C． D．
8．若csα，，成等比数列，则sin2α＝
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则
A．C的虚轴长为 B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于
10．已知，．若随机事件A，B相互独立，则
A． B． C． D．
11．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）的图象关于点（2，0）对称，，，则
A．f（x）为偶函数 B．g（x）为偶函数 C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，i为虚数单位．若集合，，且，则m＝________．
13．在△ABC中，，，M为BC的中点，，则AM＝________．
14．若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：
（1）能否有95％的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望．
附：，．
16．（15分）设函数．已知f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且．
（1）若f（x）在区间（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
（2）设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点．
17．（15分）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H．
（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分．
（2）求直线BD与平面EFG的距离．
18．（17分）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由．
19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点．当l垂直于x轴时，．
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d（M，N）．
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d（M，N）；
（ⅱ）若d（M，N），d（N，M）均存在，记两者中的较大者为H（M，N）．已知H（X，Y），H（Y，Z），H（X，Z）均存在，证明：．注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
满意
不满意
男
440
60
女
460
40
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635