备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（八）

这是一份备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（八），共11页。试卷主要包含了已如曲线在处的切线与直线垂直.等内容，欢迎下载使用。
1．（本题13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
2．（本题15分）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；
(2)甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
3．（本题15分）如图，在三棱柱中，与的距离为，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．
4．（本题17分）在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.
5．（本题17分）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（八）（新结构）
解答题（共77分）
1．（本题13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.
【详解】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为.
2．（本题15分）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；
(2)甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
【答案】(1)分布列见解析，；(2)
【分析】（1）根据题意分析可知，结合二项分布求分布列，进而可得期望；
（2）根据题意求单人不能获奖的概率，进而结合独立事件概率乘法公式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为，上三级台阶的概率为，
且的可能取值为，
可得，则有：
，
，
所以的分布列为：
的数学期望.
（2）因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，
可知不能获得奖品的概率为，
所以甲､乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率.
3．（本题15分）如图，在三棱柱中，与的距离为，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）取棱中点D，连接，因为，所以
因为三棱柱，所以，
所以，所以
因为，所以，；
因为，，所以，所以，
同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）取中点O，连接，取中点P，连接，则，
由（1）知平面，所以平面
因为平面，平面，
所以，，
因为，则
以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
可设点，，
，，，
设面的法向量为，得，
取，则，，所以
设直线与平面所成角为，
则
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.
4．（本题17分）在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设，根据代入坐标化简得到轨迹方程；
（2）设直线，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出的纵坐标，从而有，代入韦达定理式化简得，从而得到直线所过定点，得到点轨迹方程，从而得到最大值.
【详解】（1）设，则的中点，
根据题意得，
即，
整理得，
化简整理，得点的轨迹方程.
（2）设，
由对称性可知直线的斜率存在，所以可设直线，
联立直线与曲线的方程，得，
消元整理，得，
则，①
②
所以，
令，得点纵坐标，
同理可得点纵坐标，
故，
将代入上式整理，
得，
将②代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，
且与始终有两个交点，又，
，垂足为，所以点轨迹是以为直径的圆（不含点），
设中点为，则圆心，半径为1，所以，
当且仅当点在线段上时，取最大值.
【点睛】关键点点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入化简求出直线恒过，则得到点轨迹，最后求出最值.
5．（本题17分）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）根据新定义，由项系数相等可得；
（2）利用新定义证明即可；
（3）根据多项式的乘法可得，然后利用通项公式整理化简即可得证.
【详解】（1）因为
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因为，
所以
又因为
所以，
所以.
（3）对于，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
【点睛】难点点睛：本题属于新定义问题，主要难点在于对新定义的理解，利用多项式的乘法分析，结合通项公式即可得证.
6
7
8
9