2024年新高考数学全真模拟卷（江苏专用）•新高考试卷结构

这是一份2024年新高考数学全真模拟卷（江苏专用）•新高考试卷结构，共19页。试卷主要包含了在等差数列中，已知则的值为，已知向量，，若，则，函数的图象如图所示，则，已知，若，， 则，复数，已知函数，，则下列结论正确的是，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。


班级_______ 姓名：_______ 考号：_______
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．在等差数列中，已知则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
5．双曲线的左､右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A．3B．4C．D．2
6．已知，若，， 则（ ）
A．B．C．D．
7．若“，”是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
10．下列命题中正确的是（ ）
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量X~，若，则
C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强．
11．已知圆，圆分别是圆与圆上的动点，则（ ）
A．若圆与圆无公共点，则
B．当时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当时，的取值范围为
D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则不可能等于
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）
13．已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列的通项公式为 ；若是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前n项和= ．
14．如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求b的值．
16．（15分）
为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)当二面角为时，求.
18．（17分）
已知函数，其中．
(1)若，证明；
(2)讨论的极值点的个数．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以(λ为非零的正实数)代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线l的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线l与椭圆、分别交于两点，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换， 得抛物线，…．若，求数列的通项公式.
参考答案
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．在等差数列中，已知则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式和前项和性质即可得到，解出即可.
【详解】由题意得，
，
即，解得.
故选：C.
2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合，再由，则，应用集合间的包含关系即可.
【详解】，且，则，
则.
故选：C
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，即，
所以，所以.
故选：C.
4．函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域可判断的符号，分别令可判断的符号.
【详解】由，得，所以的定义域为，
由图可知，得，
令，则，得，
由图可知，得，
令，得，由图可知，得，
所以，
综上，，，，
故选：D
5．双曲线的左､右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A．3B．4C．D．2
【答案】D
【分析】由题意利用均值定理可得，再利用双曲线的几何性质求解即可.
【详解】设，
则，，所以，
将曲线方程代入得，
又由均值定理得，
当且仅当，即时等号成立，
所以离心率，
故选：D.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
6．已知，若，， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断的奇偶性和单调性，通过奇偶性把，，转化在同一单调区间，利用单调性比较即可.
【详解】由题意，
故为偶函数，
当时，，故，
所以，，
所以，
故当时，单调递增，
，
因，所以，即，
设函数，
，故在区间上单调递增，
所以，
所以，即，
所以，
所以，即，
故选：B
7．若“，”是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定对于恒成立，变换，根据三角函数的值域得到答案.
【详解】“，”是假命题，
即对于恒成立，即，
，，故.
故选：B
8．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
【答案】D
【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.
故选：D.
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
【答案】ABC
【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.
【详解】对于A：，
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，B正确；
对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；
故选：ABC
10．下列命题中正确的是（ ）
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量X~，若，则
C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强．
【答案】ACD
【分析】由中位数的意义判断A，由二项分布方差公式判断B，由正态分布的对称性质判断C，由相关系数的意义判断D.
【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；
对选项B，，则，因此，故B错误；
对选项C，，函数为偶函数，
则，
区间与关于对称，
故，选项C正确；
对选项D，在回归分析中，样本相关系数越接近1，样本数据的线性相关程度越强，选项D正确．
故选：ACD.
11．已知圆，圆分别是圆与圆上的动点，则（ ）
A．若圆与圆无公共点，则
B．当时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当时，的取值范围为
D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则不可能等于
【答案】BC
【分析】根据两圆标准方程可求出它们的圆心和半径，利用圆心距与半径的关系可求得A错误；代入将两圆方程相减可得B正确；由圆上点到定点距离的最值即可判断C正确；假设可得，又易知需满足，可得D正确.
【详解】易知圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径为；
对于A，圆与圆无公共点，则或，
即可得或，解得或，可知A错误；
对于B，当时，公共弦，
整理可得，即B对；
对于C，当时可知两圆外离，，即
故C对；
对于D，若，可知四边形为正方形，如下图所示：

则可得，而，即，
而，所以存在满足，即D错误.
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）
【答案】80
【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可.
【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是，
则，系数为80.
故答案为：80
13．已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列的通项公式为 ；若是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前n项和= ．
【答案】 ；
【分析】因为为等差数列，故只需求出首项和公差即可，结合题意可知，，根据等差数列通项公式的求法即可求得；因为为等比数列，故只需求得公比和首项即可，结合，即可得的通项公式，进而求得，带入中，再用乘公比错位相减的方法即可求得。
【详解】解：由题不妨设设数列的公差为，
由题意可知，，，
所以，即，
所以；
设等比数列的公比为，则，
因为，所以，又，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
两式相减可得：
，
所以.
故答案为：；
14．如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．
【答案】
【分析】取得圆台轴截面利用勾股定理求出外接球半径，即可得出该球的表面积.
【详解】取圆台轴截面如下图所示：
易知，设外接球的半径为，
利用勾股定理可得，且，
即可得，解得，
所以该球的表面积为；
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求b的值．
【详解】（1）
因为，
所以
（2）
因为，，所以，
因为，
又因为，即，
联立整理得，解得或.
16．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
【详解】（1）
，，
，
所以X的分布为
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.

(1)证明：平面；
(2)当二面角为时，求.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，，建立空间直角坐标系，
设，
∵，
，

设平面的一个法向量为，
则，
令得，故
，
故平面；
（2）平面的一个法向量，
，
.
18．已知函数，其中．
(1)若，证明；
(2)讨论的极值点的个数．
【详解】（1）证明：当时，，，，，
又易知在上为增函数，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而.
（2）由题意知，函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
19．在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以(λ为非零的正实数)代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线l的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线l与椭圆、分别交于两点，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换， 得抛物线，…．若，求数列的通项公式.
【详解】（1）由条件得，整理得，
所以的方程为．
（2）因为关于原点“伸缩变换”，
对作变换，得，
联立，解得点A的坐标为．
联立，解得点的坐标为；
所以，所以或，
所以或，
因此，椭圆的方程为或．
（3）对作变换，
得抛物线，得，
又因为，所以，即，
当时，，
得适用上式，
所以数列的通项公式．
X
0
10
20
30
P